Symetrický polynom

V matematiky , je symetrický polynom je polynom v několika indeterminates , invariantní podle permutací jeho indeterminates. Hrají roli zejména ve vztazích mezi koeficienty a kořeny .

Definice

Nechť A je jednotný komutativní kruh . Polynom Q ( T 1 ,…, T n ) v n neurčitý s koeficienty v A je považován za symetrický, pokud pro jakoukoli permutaci s množiny indexů {1, ..., n } platí následující rovnost:

{\ displaystyle Q (T_ {1}, \ tečky, T_ {n}) = Q (T_ {s (1)}, \ tečky, T_ {s (n)}).}

Příklady

Pro n = 1 je libovolný polynom symetrický.
Pro n = 2, polynomu T 1 + T 2 je symetrická, zatímco polynom T 1 + T 2 2 není.
Pro n = 3, polynom ( T 1 - T 2 ) 2 ( T 1 - T 3 ) 2 ( T 2 - T 3 ) 2 je symetrický;
Důležitou třídu symetrických polynomů tvoří Newtonovy součty definované p k ( T 1 ,…, T n ) = T i k . ${\ displaystyle \ Sigma _ {i = 1} ^ {n}}$

Elementární symetrické polynomy

Symetrické polynomy tvoří sub A - asociativní algebra unital A [ T 1 , ..., T n ]. Generující rodina je dána elementárními symetrickými polynomy, jak uvidíme níže.

Definice

Pro 0 ≤ k ≤ n je k -tý elementární symetrický polynom v n proměnných, σ n , k ( T 1 , ..., T n ), což budeme jednoduše označovat σ k ( T 1 , ..., T n ), součet všech produktů k těchto veličin, to znamená, že tím, že poznamenat sady kombinací z k- čísly z množiny {1, 2, ..., n }: ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {k} (\ {1, \ tečky, n \})}$

{\ displaystyle \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ tečky, T_ {n}) = \ součet _ {I \ in {\ mathcal {P}} _ {k} (\ {1, \ tečky, n \})} \ prod _ {i \ in I} T_ {i} = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq n} T_ {i_ {1}} T_ {i_ {2}} \ cdots T_ {i_ {k}}.}

Tento polynom je skutečně symetrický, protože permutace symetrické skupiny S n bijektivně posílá takovou kombinaci na jinou.

Příklady

${\ displaystyle \ sigma _ {0} (T_ {1}, \ tečky, T_ {n}) = 1}$ ;
${\ displaystyle \ sigma _ {n} (T_ {1}, \ tečky, T_ {n}) = T_ {1} \ cdots T_ {n}}$ ;
${\ displaystyle \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ tečky, T_ {n}) = 0}$ pokud ; $k> n$
${\ displaystyle \ sigma _ {1} (T_ {1}, \ tečky, T_ {n}) = T_ {1} + \ cdots + T_ {n} = \ součet _ {1 \ leq i \ leq n} T_ {i}}$ ;
σ2(T1,...,Tne)=∑1≤i<j≤neTiTj{\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, \ tečky, T_ {n}) = \ součet _ {1 \ leq i <j \ leq n} T_ {i} T_ {j}} ${\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, \ tečky, T_ {n}) = \ součet _ {1 \ leq i <j \ leq n} T_ {i} T_ {j}}$ ,
- Pokud n = 3 , ${\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}) = T_ {1} T_ {2} + T_ {1} T_ {3} + T_ {2} T_ { 3}}$
- Případ n = 4 :; ${\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}, T_ {4}) = T_ {1} T_ {2} + T_ {1} T_ {3} + T_ {1} T_ {4} + T_ {2} T_ {3} + T_ {2} T_ {4} + T_ {3} T_ {4}}$
σ3(T1,...,Tne)=∑1≤i<j<l≤neTiTjTl{\ displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, \ tečky, T_ {n}) = \ součet _ {1 \ leq i <j <l \ leq n} T_ {i} T_ {j} T_ { já}} ${\ displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, \ tečky, T_ {n}) = \ součet _ {1 \ leq i <j <l \ leq n} T_ {i} T_ {j} T_ { já}}$ ,
- Jestliže n = 4: . ${\ displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}, T_ {4}) = T_ {1} T_ {2} T_ {3} + T_ {1} T_ { 2} T_ {4} + T_ {1} T_ {3} T_ {4} + T_ {2} T_ {3} T_ {4}}$

Ekvivalentní definice elementárních symetrických polynomů je:

{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X + T_ {i}) = \ součet _ {k = 0} ^ {n} \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ tečky , T_ {n}) X ^ {nk}.}

Příklady

n = 1 :; ${\ displaystyle X + T = X + \ podpása {T} _ {\ sigma _ {1} (T)}}$
n = 2 :; ${\ displaystyle (X + T_ {1}) (X + T_ {2}) = X ^ {2} + \ podprsenka {(T_ {1} + T_ {2})} _ {\ sigma _ {1} ( T_ {1}, T_ {2})} X + \ underbrace {T_ {1} T_ {2}} _ {\ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2})}}$
n = 3 . ${\ displaystyle (X + T_ {1}) (X + T_ {2}) (X + T_ {3}) = X ^ {3} + \ spodní složená závorka {(T_ {1} + T_ {2} + T_ { 3})} _ {\ sigma _ {1} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})} X ^ {2} + \ underbrace {(T_ {1} T_ {2} + T_ { 1} T_ {3} + T_ {2} T_ {3})} _ {\ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})} X + \ underbrace {T_ {1 } T_ {2} T_ {3}} _ {\ sigma _ {3} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})}}$

Podle této definice, pokud jednotkový polynom R ( X ) stupně n v neurčitém připouští faktorizaci

{\ displaystyle R (X) = X ^ {n} + \ součet _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} X ^ {nk} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X -z_ {i})}

v faktorech stupně 1, pak jsou koeficienty polynomu R uvedeny jako symetrické funkce kořenů z i , to znamená:

{\ displaystyle a_ {k} = (- 1) ^ {k} \ sigma _ {k} (z_ {1}, \ dots, z_ {n}).}

Teorém

Pro jakýkoli symetrický polynom Q ( T 1 ,…, T n ) s koeficienty v A existuje jedinečný polynom P v n neurčitý s koeficienty v A takový, že

{\ displaystyle Q (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}) = P (\ sigma _ {1} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}), \ ldots, \ sigma _ {n } (T_ {1}, \ ldots, T_ {n})).}

Formálněji: morfismus algeber

{\ displaystyle A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] \ to A [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]}

{\ displaystyle P (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) \ mapsto P (\ sigma _ {1} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}), \ ldots, \ sigma _ { n} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}))}

je injektivní a má pro obraz subalgebru symetrických polynomů.

Nebo známky elementárních symetrických polynomů> 0 vyvolat unital podalgebry symetrických polynomů, a jsou algebraicky nezávislé přes A . Tento výsledek se někdy nazývá základní věta o symetrických polynomech .

Další slavný generátorový systém, související s předchozím, se skládá z Newtonových součtů, pokud A obsahuje pole racionálních čísel.

Odkaz

Serge Lang , Algebra [ detail vydání ], kapitola V, § 9

Související článek

Polynomial alterned (in)