Newtonovský potenciál
Pojem potenciál je v zásadě matematický pojem. Představuje se nejen v mechanice, ale také v mnoha dalších vědních oborech, jako je fyzika, elektřina nebo termodynamika.
Newtonovskému potenciálu říkáme jakýkoli skalární potenciál „at “.
1r{\ displaystyle {\ tfrac {1} {r}}}
Analytické vyjádření elementární práce síly
V tomto článku jsme rovině nebo prostoru poskytli ortonormální souřadný systém, ve kterém jsou vyjádřeny všechny souřadnice. Každý bod y má souřadnice typu (x, y, z).
Nechť F je síla působící v bodě P (x, y, z). Pojďme promítnout sílu :
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}
F→=(XYZ){\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ začátek {pmatrix} X \\ Y \\ Z \ konec {pmatrix}}}.
Předpokládejme, že P se pohybuje o nekonečně dlouhou délku „dl“, která vyčnívá na tři osy v „dx“, „dy“ a „dz“.
Základní práce se rovná:
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}
dŽ=XdX+Ydy+Zdz{\ displaystyle \ mathrm {d} W = X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z}.
dW je „ celkový diferenciál “ funkce síly, kterou pojmenujeme .
U(X,y,z){\ displaystyle U (x, y, z)}
Celková práce od P do P 'je:
Ž=∫pp′XdX+Ydy+Zdz{\ displaystyle W = \ int _ {p} ^ {p '} X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z}.
Silové pole
Silové pole je definován, když víme, že v každé ze svých bodech hodnoty a směru aplikované síly:
F→=(XYZ)=(F(X,y,z)G(X,y,z)h(X,y,z)){\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ begin {pmatrix} X \\ Y \\ Z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} f (x, y, z) \\ g (x , y, z) \\ h (x, y, z) \ end {pmatrix}}}.
V případě gravitace jsou siločáry v podstatě svislé:
X=0, Y=0 a Z=-mG{\ displaystyle X = 0, ~ Y = 0 {\ text {a}} Z = -mg}.
Silová funkce a potenciální funkce
Silové pole je odvozeno od silové funkce :
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}U(X,y,z){\ displaystyle U (x, y, z)}
XdX+Ydy+Zdz=∂U∂XdX+∂U∂ydy+∂U∂zdz{\ displaystyle X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z = {\ frac {\ částečné U} {\ částečné x}} \ mathrm {d} x + {\ frac {\ částečné U} {\ částečné y}} \ mathrm {d} y + {\ frac {\ částečné U} {\ částečné z}} \ mathrm {d} z}.
Proto odvodíme projekce síly na tři osy :
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}
X=∂U∂X,Y=∂U∂y,Z=∂U∂z{\ displaystyle X = {\ frac {\ částečné U} {\ částečné x}}, \ quad Y = {\ frac {\ částečné U} {\ částečné y}}, \ quad Z = {\ frac {\ částečné U } {\ částečné z}}}.
Síly silového pole jsou odvozeny od potenciální funkce , která se rovná funkci , změněné znaménko:
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}PROTI(X,y,z){\ displaystyle V (x, y, z)}U(X,y,z){\ displaystyle U (x, y, z)}
PROTI(X,y,z)=-U(X,y,z){\ displaystyle V (x, y, z) = - U (x, y, z)}.
Pro projekce odvozujeme následující vztah :
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}
X=-∂PROTI∂X,Y=-∂PROTI∂y,Z=-∂PROTI∂z{\ displaystyle X = - {\ frac {\ částečné V} {\ částečné x}}, \ quad Y = - {\ frac {\ částečné V} {\ částečné y}}, \ quad Z = - {\ frac { \ částečné V} {\ částečné z}}}.
Gravitační potenciál
Známe univerzální zákon přitažlivosti stanovený Isaacem Newtonem, kde se síla mění nepřímo s druhou mocninou vzdálenosti:
F=Gmm′r2{\ displaystyle f = G {\ frac {mm '} {r ^ {2}}}}.
Uvažujme dvě jednotkové hmotnosti, jednu v bodě O (0,0,0) a druhou v bodě P (x, y, z). Nechť je vzdálenost mezi těžišti obou hmot:
r{\ displaystyle r}
r=‖ÓP→‖=X2+y2+z2{\ displaystyle r = \ | {\ overrightarrow {OP}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}.
K parciální derivace této funkce jsou:
∂r∂X=12X2+y2+z2.2X=Xr{\ displaystyle {\ frac {\ částečné r} {\ částečné x}} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} } .2x = {\ frac {x} {r}}}a (podobně)
∂r∂y=yr,∂r∂z=zr{\ displaystyle {\ frac {\ částečné r} {\ částečné y}} = {\ frac {y} {r}}, \ quad {\ frac {\ částečné r} {\ částečné z}} = {\ frac { z} {r}}}.
Jde tedy o:
U: =1r{\ displaystyle U: = {\ frac {1} {r}}}
∂U∂X=dUdr∂r∂X=-1r2Xr=-Xr3{\ displaystyle {\ frac {\ částečné U} {\ částečné x}} = {\ frac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} r}} {\ frac {\ částečné r} {\ částečné x }} = - {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {x} {r}} = - {\ frac {x} {r ^ {3}}}}a (podobně):
∂U∂y=-yr3,∂U∂z=-zr3{\ displaystyle {\ frac {\ částečné U} {\ částečné y}} = - {\ frac {y} {r ^ {3}}}, \ quad {\ frac {\ částečné U} {\ částečné z}} = - {\ frac {z} {r ^ {3}}}}.
Xr{\ displaystyle {\ frac {x} {r}}}, a jsou kosiny úhlů, které se tvoří se třemi osami a jsou přitažlivou silou (znaménko mínus, protože směřuje k počátku „O“).
yr{\ displaystyle {\ frac {y} {r}}}zr{\ displaystyle {\ frac {z} {r}}}ÓP→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OP}}}-1r2{\ displaystyle - {\ frac {1} {r ^ {2}}}}F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}
Dílčí derivace druhého řádu spočítáme tak, že napíšeme první derivace ve formě produktu . Získáváme tak:
∂U∂X=-X.r-3{\ displaystyle {\ frac {\ částečné U} {\ částečné x}} = - xr ^ {- 3}}uproti{\ displaystyle uv}
∂2U∂X2=proti∂u∂X.u∂proti∂X=-1r3+3X2r5{\ displaystyle {\ frac {\ částečné ^ {2} U} {\ částečné x ^ {2}}} = v {\ frac {\ částečné u} {\ částečné x}}. u {\ frac {\ částečné v } {\ částečné x}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}}} + {\ frac {3x ^ {2}} {r ^ {5}}}}a (podobně)
∂2U∂y2=-1r3+3y2r5,∂2U∂z2=-1r3+3z2r5{\ displaystyle {\ frac {\ částečné ^ {2} U} {\ částečné y ^ {2}}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}}} + {\ frac {3y ^ {2 }} {r ^ {5}}}, \ quad {\ frac {\ částečné ^ {2} U} {\ částečné z ^ {2}}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}} } + {\ frac {3z ^ {2}} {r ^ {5}}}}.
Sčítáním nakonec získáme:
-3r3+3r5(X2+y2+z2)=-3r3+3r5r2=-3r3+3r3=0{\ displaystyle - {\ frac {3} {r ^ {3}}} + {\ frac {3} {r ^ {5}}} (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2 }) = - {\ frac {3} {r ^ {3}}} + {\ frac {3} {r ^ {5}}} r ^ {2} = - {\ frac {3} {r ^ { 3}}} + {\ frac {3} {r ^ {3}}} = 0}a najdeme vztah nalezený Laplaceem :
∂2U∂X2+∂2U∂y2+∂2U∂z2=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné ^ {2} U} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} U} {\ částečné y ^ {2}}} + { \ frac {\ částečné ^ {2} U} {\ částečné z ^ {2}}} = 0},
rovnice, kterou zaznamenáváme kompaktním způsobem
ΔU=0{\ displaystyle \ Delta U = 0}.
Související články
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">