Napsaný čtvercový problém

Vepsaný čtverec problém , známý také jako Toeplitz domněnky , je otevřený problém v geometrii . Tento problém je uveden následovně:

Připouští nějaká jednoduchá uzavřená křivka (nazývaná také Jordanova křivka ) vepsaný čtverec?

Formuloval Otto Toeplitz v roce 1911 a navzdory mnoha pokrokům je tento problém dodnes nevyřešen.

Stav výzkumu

• První velký pokrok pochází od Arnolda Emcha, který v roce 1913 dokázal výsledek pro jakoukoli konvexní křivku .
• V roce 1929 Lev Schnirelmann rozšířil tento výsledek na křivky dvakrát diferencovatelné a takové, že druhá derivace je spojitá. Důkaz, který studoval v roce 1965 Heinrich Guggenheimer, který doplnil a opravil některé technické body.
• V roce 1950 zveřejnila Ogilvy důkaz o obecném problému bez jakýchkoli podmínek. Tento důkaz se však ukáže jako nepravdivý.
• V roce 1989 Walter Stromquist dokázal, že jakákoli lokálně monotónní křivka připouští alespoň jeden vepsaný čtverec. S výjimkou fraktálních křivek a několika dalších křivek jsou do této věty zahrnuty všechny křivky. Tento důležitý výsledek dokazuje, že každá křivka, kterou lze nakreslit papírem a tužkou, připouští vepsaný čtverec.

Metoda pro konstrukci zapsaného čtverce libovolné křivky by byla:

• • Přibližte tuto křivku řadou lokálně monotónních křivek.
  • Výsledek Stromquist použijte k získání čtverce s každou iterací.
  • Vezměte limit řady čtverců.

Jediným problémem této metody je, že nemůžeme zaručit, že získaný čtverec není zdegenerovaný (ze strany nulové délky).

• V roce 1995 Nielsen a Wright dokázali, že každá křivka připouštějící střed symetrie připouští alespoň jeden vepsaný čtverec. To umožňuje dokázat Toeplitzovu domněnku pro ještě větší počet křivek, které nejsou obsaženy ve Stromquistově větě, jako jsou symetrické fraktální křivky. Například Kochova vločka , která není místně monotónní, ale připouští střed symetrie, má tedy alespoň jeden vepsaný čtverec.

Varianty a zevšeobecnění

V roce 1980 bylo prokázáno, že jakákoli křivka Jordan C připouští vepsaný trojúhelník podobný danému trojúhelníku T a existuje metoda k jeho nalezení. Tento výsledek byl dokončen v roce 1992 stanovením, že množina vrcholů trojúhelníků podobných T a zapsaných do C je hustá v C.
Pokud místo čtverce považujeme tentokrát za zapsaný obdélník, výsledek obecně prokázal Herbert Vaughan v 1977.

externí odkazy

• Čtverec v křivce od Étienna Ghysa na webových stránkách images des Maths
• (en) Mark J. Nielsen, Figures Inslined in Curves. Krátká prohlídka starého problému
• (en) Igor Pak, problém diskrétního čtvercového kolíku
• (fr) Vizuální ukázka problému vepsaného obdélníku
• (fr) Některé přístupy k problému na blogu Terence Tao

Reference

1. Toeplitz, Oscar: Ueber einige aufgaben der analysis situs Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 94 (1911), str.  197 .
2. Emch, Arnold: Některé vlastnosti uzavřených konvexních křivek v rovině. Hořký. J. Math. 35 (1913), č. 4, s.  407–412 .
3. LG Shnirelman , O určitých geometrických vlastnostech uzavřených křivek (v ruštině) Uspehi Matem. Nauk 10, (1944), str.  34–44 .
4. Guggenheimer, Heinrich: Konečné množiny na křivkách a plochách. Israel J. Math. 3 (1965) str.  104–112 .
5. Ogilvy, CS: Pokročilé problémy a řešení: 4325, Amer. Matematika. Měsíční 57 (1950), č. 6, 423–424
6. Stromquist, Walter: Vepsané čtverce a čtvercové čtverhrany v uzavřených křivkách. Mathematika 36 (1989), č. 2, s.  187–197 .
7. Mark J. Nielsen a SE Wright, Obdélníky vepsané do symetrických kontinu , Geometriae Dedicata 56: 285-297 (1995)
8. Mark D. Meyerson, Rovnostranné trojúhelníky a spojité křivky, Fond. Matematika. 110: 1-9 (1980).
9. Mark J. Nielsen, Trojúhelníky zapsané do jednoduchých uzavřených křivek, Geometriae Dedicata 43: 291-297 (1992).
10. Vaughan H., Vyvažovací akty, Sborník topologie. 6: 59-75 (1981), Mark D. Meyerson