Geometrická symetrie je involutive geometrické transformace , který zachovává rovnoběžnost. Mezi běžné symetrie patří odraz a centrální symetrie .
Geometrická symetrie je speciální případ symetrie . V rovině nebo ve vesmíru existuje několik druhů symetrií .
Poznámka : Pojem symetrie má v matematice také další význam. V expresním symetrie skupiny , symetrie označuje jakoukoliv isometry . Tento termín označuje buď překlad , nebo ortogonální automorfismus , nebo kombinaci obou.
Symetrie středu O je transformace, který v každém bodě M, přidruží bod M ‚tak, že O je na střed [mm‘].
Konstrukce: Nakreslete čáru (d) procházející A a O. Prodlužte ji za O. S kompasem namířeným na O a roztečí rovnou OA, vyřízněte (d) v A '.
Jediným neměnným bodem této symetrie je bod O.
Symetrie se středem O je také rotace s plochým úhlem a homothety se středem O a poměrem -1
Střed symetriePostava má střed symetrie C, pokud je neměnná symetrií středu C.
Příklady středu symetrie:
Sloučenina dvou symetrií se středy O a O ', s O' os O je vektorový překlad
Tato vlastnost umožňuje definovat první skupinu z transformací roviny: že z ústředních symetrií-překlady. Skládáním dvou středových symetrií nebo překladů člověk získá centrální symetrii nebo překlad. A k získání identické mapy postačí komponovat překlad vektoru u překladem vektoru - u , nebo vytvořit centrální symetrii sám.
Středová symetrie zachovává vzdálenosti a orientované úhly. Jedná se tedy o pozitivní izometrii nebo posunutí . Skupina definovaná dříve je tedy podskupinou skupiny posunutí.
Nazývají se také odrazy ( d ) osy . Odraz osy ( d ) je transformace roviny, což ponechává všechny body ( d ), neměnné, a který, v každém bodě M , který není na ( d ), přiřadí bod M ‚tak, že ( d ), je kolmá půlení [MM ']. Jelikož existují dvě ekvivalentní definice kolmé přímky, známe tedy dvě ekvivalentní konstrukce bodu M '.
KonstrukceÚdaje: osa symetrie ( d ), bod .
Cíl: sestrojit A 'symetricky A ortogonální symetrií osy ( d ).
Postava má osu symetrie ( d ) právě tehdy, pokud je neměnná odrazem osy ( d )
Příklady běžných čísel:
Postava se dvěma kolmými osami souměrnosti má jako střed souměrnosti průsečík dvou čar. Například písmena H, I, O, X v jednoduchých písmech (kurzívou a kurzívou) mají často dvě kolmé osy symetrie, tedy také střed symetrie, podobně obdélník, kosočtverec a čtverec.
Odraz a skupina izometriíOdraz zachovává vzdálenosti a úhly. Jedná se tedy o izometrii . Ale nedrží orientaci (viz chirality ). Říkají, že je to protisměšování.
Sloučenina dvou odrazů rovnoběžných os je překlad, se vzdáleností rovnající se dvojnásobku vzdálenosti mezi těmito osami. Na opačném obrázku nám vektorové vlastnosti média umožňují říci to |
|
Složená složka ze dvou odrazů sekančních os je rotace s úhlem rovným dvojnásobku úhlu vytvořeného mezi dvěma osami. Na protějším obrázku nám to vlastnosti na půlech umožňují |
Pak si všimneme, že sada odrazů generuje celou sadu izometrií.
Symetrie vzhledem k přímce ( d ) sledující směr (d ') (ne rovnoběžná s ( d )) je transformace, která ponechává všechny body ( d ) neměnné a která v kterémkoli bodě M, který se nenachází na ( d ) ) přiřaďte bod M ' tak, že přímka (MM') je rovnoběžná s (d ') a střed [MM'] je na ( d )
Tato symetrie je involutive: symetrický z M ' je M . Nabízí menší zájem než jeho bratranci, protože nedodržuje vzdálenosti: zkresluje čísla. Zachovává si však barycentra, a je proto součástí afinních transformací.
Našli jsme stejnou definici a stejné vlastnosti jako pro centrální symetrii v rovině, kromě toho, že centrální symetrie nezachová orientaci v prostoru.
Muž zvedne pravou ruku a jeho obraz zvedne levou ruku.
Najdeme stejnou definici jako v plánu. Ortogonální symetrie vzhledem k přímce je také rotací osy ( d ) a plochého úhlu.
Na rozdíl od toho, co se děje v rovině, si taková symetrie v prostoru udržuje orientaci.
Muž zvedne pravou ruku a jeho obraz zvedne pravou ruku.
Ortogonální symetrie vzhledem k rovině ( P ) je transformace, která ponechává všechny body ( P ) neměnné a která v kterémkoli bodě M, který se nenachází na ( P ), spojuje bod M ' tak, že ( P ) je prostředník roviny [MM ']
Taková symetrie zachovává vzdálenosti a úhly, ale nezachovává orientaci.
Například když zvednete pravou ruku před zrcadlem, váš obraz zvedne levou ruku.
Dokazujeme, že množina symetrií vzhledem k rovinám generuje složením celou sadu izometrií prostoru.
Stejně dobře lze definovat symetrie osy ( d ) podle směru ( P ) nebo symetrie vzhledem k ( P ) podle směru ( d ), za předpokladu, že jakýkoli podprostor rovný nebo rovnoběžný s ( P ) zcela neobsahuje ( d ) ani není zcela obsažen v ( d ) a jejich průnik se redukuje do jediného bodu (jinak tyto transformace nejsou symetrie, ale projekce ).
Ale tyto transformace nejsou izometrií, pokud ( d ) a ( P ) nejsou ortogonální. Tyto transformace (stejně jako projekce) však udržují barycentra a jsou konkrétními případy afinních transformací prostoru.