Produkt Kronecker
V matematice je produkt Kronecker operací na maticích . Toto je speciální případ tenzorového produktu . Je tedy pojmenován jako pocta německému matematikovi Leopoldovi Kroneckerovi .
Formální definice
Nechť A je matice velikosti m x n a B matice velikosti p x q . Jejich tensor produkt je matice ⊗ B o velikosti MP od nq , definovaný sobě následujících bloků velikost p x q , bloku indexu i , j je rovno až i , j B
Jinými slovy
NA⊗B=(na11B⋯na1neB⋮⋱⋮nam1B⋯namneB){\ displaystyle A \ otimes B = {\ begin {pmatrix} a_ {11} B & \ cdots & a_ {1n} B \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} B & \ cdots & a_ {mn} B \ end {pmatrix}}}Nebo podrobným uvedením koeficientů
NA⊗B=(na11b11na11b12⋯na11b1q⋯⋯na1neb11na1neb12⋯na1neb1qna11b21na11b22⋯na11b2q⋯⋯na1neb21na1neb22⋯na1neb2q⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋱⋮na11bp1na11bp2⋯na11bpq⋯⋯na1nebp1na1nebp2⋯na1nebpq⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋮nam1b11nam1b12⋯nam1b1q⋯⋯namneb11namneb12⋯namneb1qnam1b21nam1b22⋯nam1b2q⋯⋯namneb21namneb22⋯namneb2q⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋱⋮nam1bp1nam1bp2⋯nam1bpq⋯⋯namnebp1namnebp2⋯namnebpq){\ displaystyle A \ otimes B = {\ begin {pmatrix} a_ {11} b_ {11} & a_ {11} b_ {12} & \ cdots & a_ {11} b_ {1q} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} b_ {11} & a_ {1n} b_ {12} & \ cdots & a_ {1n} b_ {1q} \\ a_ {11} b_ {21} & a_ {11} b_ {22} & \ cdots & a_ {11} b_ {2q} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} b_ {21} & a_ {1n} b_ {22} & \ cdots & a_ {1n} b_ {2q} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots &&& \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {11} b_ {p1} & a_ {11} b_ {p2} & \ cdots & a_ {11} b_ { pq} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} b_ {p1} & a_ {1n} b_ {p2} & \ cdots & a_ {1n} b_ {pq} \\\ vdots & \ vdots && \ vdots & \ ddots && \ vdots & \ vdots && \ vdots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots && \ ddots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ a_ {m1} b_ {11} & a_ {m1} b_ {12 } & \ cdots & a_ {m1} b_ {1q} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} b_ {11} & a_ {mn} b_ {12} & \ cdots & a_ {mn} b_ {1q} \ \ a_ {m1} b_ {21} & a_ {m1} b_ {22} & \ cdots & a_ {m1} b_ {2q} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} b_ {21} & a_ {mn} b_ {22} & \ cdots & a_ {mn} b_ {2q} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots &&& \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} b_ {p1 } & a_ {m1} b_ {p2} & \ cdots & a_ {m1} b_ {pq} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} b_ {p1} & a_ {mn} b_ {p2} & \ cdots & a_ {mn} b_ {pq} \ end {pmatrix}}}Příklad
Jak je ukázáno v níže uvedeném příkladu, produkt Kronecker dvou matic spočívá v několikanásobném kopírování druhé matice vynásobením koeficientem odpovídajícím členu první matice.
(132100122)⊗(055011)=(1⋅(055011)3⋅(055011)2⋅(055011)1⋅(055011)0⋅(055011)0⋅(055011)1⋅(055011)2⋅(055011)2⋅(055011))=(05015010501501001133220500005000001100000501001050100100112222){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \ end {pmatrix}} \ otimes {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 a 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 3 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 2 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} \\ 1 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 0 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 0 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} \\ 1 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \ \ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 2 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} } & 2 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 5 & 0 & 15 & 0 & 10 \\ 5 & 0 & 15 & 0 & 10 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 10 \\ 5 & 0 & 15 & 0 & 10 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \ \ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 10 \\ 5 & 0 & 15 & 0 & 10 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & \} & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 10 & 0 & 2 & 0 & 2 & 10 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 10 & 0 & 2 & 0 & 2 & 10 & 0 & 0 & 2 & 10 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 10 & 0 & 0 & 2
Vlastnosti
Bilinearita, asociativita
Produkt Kronecker je bilineární a asociativní: s výhradou kompatibility velikostí pro A , B a C máme následující rovnice:
NA⊗(B+λ ⋅VS)=(NA⊗B)+λ(NA⊗VS){\ displaystyle A \ otimes (B + \ lambda \ \ cdot C) = (A \ otimes B) + \ lambda (A \ otimes C)}(NA+λ ⋅B)⊗VS=(NA⊗VS)+λ(B⊗VS){\ displaystyle (A + \ lambda \ \ cdot B) \ otimes C = (A \ otimes C) + \ lambda (B \ otimes C)}NA⊗(B⊗VS)=(NA⊗B)⊗VS{\ displaystyle A \ otimes (B \ otimes C) = (A \ otimes B) \ otimes C}Produkt společnosti Kronecker není komutativní; nicméně pro všechna A a B existují dvě permutační matice P a Q takové, že A ⊗ B = P ( B ⊗ A ) Q
Pokud navíc A a B mají stejnou velikost, pak A ⊗ B a B ⊗ A jsou ekvivalentní permutací na základní vektory:
NA⊗B=P-1(B⊗NA)P=tP(B⊗NA)P{\ displaystyle A \ otimes B = P ^ {- 1} (B \ otimes A) P = {} ^ {t} \! P (B \ otimes A) P}kde P je permutační matice.
Vlastnosti obvyklého produktu
Následující vlastnost kombinuje aspekty související s obvyklým produktem matice a produktem Kronecker, když jsou velikosti matic takové, že je možné vytvářet produkty AC a BD :
(NA⊗B)(VS⊗D)=(NAVS)⊗(BD){\ displaystyle (A \ otimes B) (C \ otimes D) = (AC) \ otimes (BD)}Můžeme odvodit, že A ⊗ B je invertibilní právě tehdy, když A a B jsou invertibilní, v takovém případě:
(NA⊗B)-1=NA-1⊗B-1{\ displaystyle (A \ otimes B) ^ {- 1} = A ^ {- 1} \ otimes B ^ {- 1}}Spektrum
Pomocí předchozí vlastnost odvodíme, že pokud X a Y jsou vektory z A a B : a pak:
NAX=λ X{\ displaystyle AX = \ lambda \ X}BY=μ Y{\ displaystyle BY = \ mu \ Y}
(NA⊗B)(X⊗Y)=λμ(X⊗Y){\ displaystyle (A \ otimes B) (X \ otimes Y) = \ lambda \ mu (X \ otimes Y)}Takže pokud a jsou vlastní čísla A a B , pak jsou vlastní čísla A ⊗ B , počítající multiplicitu.
λ1,...,λne{\ displaystyle \ lambda _ {1}, ..., \ lambda _ {n}}μ1,...,μm{\ displaystyle \ mu _ {1}, ..., \ mu _ {m}}{λi⋅μj,i=1 ...ne,j=1 ...m}{\ displaystyle \ lbrace \ lambda _ {i} \ cdot \ mu _ {j}, i = 1 ... n, j = 1 ... m \ rbrace}
Zejména :
Tr(NA⊗B)=Tr(NA)Tr(B){\ displaystyle \ operatorname {Tr} (A \ otimes B) = \ operatorname {Tr} (A) \ operatorname {Tr} (B)}det(NA⊗B)=det(NA)mdet(B)ne{\ displaystyle \ operatorname {det} (A \ otimes B) = \ operatorname {det} (A) ^ {m} \ operatorname {det} (B) ^ {n}}
rg(NA⊗B)=rg(NA)rg(B){\ displaystyle \ operatorname {rg} (A \ otimes B) = \ operatorname {rg} (A) \ operatorname {rg} (B)}
kde Tr znamená stopu , det je determinant a Rg na hodnosti matrice.
Transpozice
Na transpozici máme následující vlastnost :
t(NA⊗B)=tNA⊗tB{\ displaystyle {} ^ {t} \! (A \ otimes B) = {} ^ {t} \! A \ otimes {} ^ {t} \! B}Externí odkaz
(en) Eric W. Weisstein , „ Kronecker Product “ , na MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">