Ocas zákona pravděpodobnosti

V teorii pravděpodobnosti a statistiky se ocas ze zákona pravděpodobnosti je chování zákona pravděpodobnosti v oblasti daleko od jeho střední hodnoty. Ocas zákona se také nazývá ocas .

Ve statističtějším slovníku je běžné hovořit o distribučním ocasu .

Historie a souvislost s kurtosou

Ocas zákona souvisí s jeho špičatostí . Tento koeficient kurtosy udává koncentraci hodnot kolem střední hodnoty zákona, a tedy koncentraci extrémních hodnot, to znamená daleko od průměru. Pro nulovou špičatost je ocas ekvivalentní ocasu normálního rozdělení . Pro negativní kurtosis se říká, že křivka je platikurtic a ocas je lehký (ve skutečnosti, lehčí než normální zákon); zatímco pro pozitivní špičatost je křivka považována za leptokurtickou a ocas je těžký (těžší než normální zákon).

V roce 1908 načrtl William Gosset jako mnemotechnické zařízení dvě kresby představující ptakopysk pro platikurtické křivky a dva klokany pro leptokurtické křivky . Termín ocas ( tail v angličtině) pochází z ocasy zvířat.

Definice

Uvažujme zákon pravděpodobnosti, jehož distribuční funkce je dána . P{\ displaystyle \ mathbb {P}}F(X)=P(X≤X){\ displaystyle F (x) = \ mathbb {P} (X \ leq x)}

Funkce ocas zákona je funkceP{\ displaystyle \ mathbb {P}}F¯(X)=1-F(X)=P(X>X).{\ displaystyle {\ bar {F}} (x) = 1-F (x) = \ mathbb {P} (X> x).}

Zákon říká, že má vlastnost ocasu, pokud má funkce F vlastnost, která závisí pouze na množině hodnot pro jakoukoli konečnou x 0 . P{\ displaystyle \ mathbb {P}}{F¯(X) pro X≥X0}{\ displaystyle \ {{\ bar {F}} (x) {\ text {pro}} x \ geq x_ {0} \}}

Je možné porovnat konce dvou zákonů pravděpodobnosti. Dva zákony příslušných distribučních funkcí F a G se považují za ekvivalentní ocasy, pokud:

F¯(X)G¯(X)→vs.∈]0,∞[{\ displaystyle {\ frac {{\ bar {F}} (x)} {{\ bar {G}} (x)}} \ rightarrow c \ in] 0, \ infty [} když X→+∞{\ displaystyle x \ rightarrow + \ infty}

Druhy ocasů

Lois s těžkým ocasem

Pravděpodobnostní zákon se říká, že má těžký ocas nebo silný ocas, pokud jeho distribuční funkce splňuje:

∫-∞+∞EλXdF¯(X)=∞{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {\ lambda x} \ mathrm {d} {\ overline {F}} (x) = \ infty}za všechno .λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0}

Jinak se říká, že zákon je lehký ocas nebo jemný ocas .

Lois s dlouhým ocasem

Pravděpodobnostní zákon se říká, že má dlouhý ocas nebo dlouhý ocas, pokud není zvýšena podpora jeho distribuční funkce a pokud pro všechna y > 0

F¯(X+y)F¯(X)→1{\ displaystyle {\ frac {{\ bar {F}} (x + y)} {{\ bar {F}} (x)}} \ rightarrow 1}kdy .X→+∞{\ displaystyle x \ rightarrow + \ infty}

Zákony s dlouhým ocasem jsou zákony s dlouhým ocasem.

Poznámky a odkazy

Reference

Funguje

1. Bellos 2011
2. Foss 2011 , s. 1.  1
3. Foss 2011 , str.  2

Články

1. (in) Claudia Klüppelberg , „  Subexponenciální distribuce a integrované ocasy  “ , Journal of Applied Probability , vol.  25, n o  1,1988, str.  132-141 ( číst online )

Bibliografie

• Alex Bellos , Alex v zemi čísel , Robert Laffont ,2011( číst online )
• Patrick Bogaert , Pravděpodobnost pro vědce a inženýry: Úvod do počtu pravděpodobností , Paříž, Éditions De Boeck,2006, 387  s. ( ISBN  2-8041-4794-0 , číst online ).
• (en) Sergey Foss , An Introduction to Heavy-Tailed and Subexponential Distribuce , Springer,2011, 123  s. ( číst online )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">