Podpora funkcí

Podporu funkce nebo aplikace je součástí jeho souborem definic , na kterém užitečné informace o této funkce se koncentruje . Pro numerickou funkci je to část domény, kde není nula, a pro homeomorfismus nebo permutaci část domény, kde není neměnná.

Podpora funkce

Definice

Dovolit být funkce s komplexními hodnotami, které jsou definovány na topologického prostoru . F{\ displaystyle f} X{\ displaystyle X}

Definice  : Jeden požaduje podporu z poznamenal, je přilnavost množiny bodů, ve kterých není funkce zrušena. F{\ displaystyle f}supp⁡(F){\ displaystyle \ operatorname {supp} (f)}

supp⁡(F): ={X∈X∣F(X)≠0}¯{\ displaystyle \ operatorname {supp} (f): = {\ overline {\ {x \ v X \ mid f (x) \ neq 0 \}}}}.

Je součástí uzavřen v X .

Kompaktní podpůrná funkce

Kontinuální funkce s kompaktní podporou mají vlastnosti, které jsou často užitečné.

• Funkce C ∞ s kompaktním nosičem se používají ke konstrukci legalizovat sekvencí . Ty umožňují pomocí konvolučního produktu aproximovat funkci danou řadou běžných funkcí.
• Budeme otevřeni . Funkce kompaktního podpory jsou husté v prostoru pro . Můžeme tedy uvažovat o prokázání vlastností mezer pomocí argumentu hustoty: nejdříve prokážeme vlastnost na funkcích s kompaktní podporou a pak přejdeme k limitu.Ω{\ displaystyle \ Omega}Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}Lp(Ω){\ displaystyle \ mathrm {L} ^ {p} (\ Omega)}1⩽p<∞{\ displaystyle 1 \ leqslant p <\ infty}Lp{\ displaystyle \ mathrm {L} ^ {p}}VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
• Je označen prostor kompaktně podporovaných funkcí v otevřeném prostoru . Někteří autoři však používají jiné notace jako nebo . Ve skutečnosti jsou distribuce definovány jako prvky topologického duálního systému s odpovídající topologií.VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}Ω{\ displaystyle \ Omega}Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}VSvs.∞(Ω){\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}D(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}VS0∞(Ω){\ displaystyle C_ {0} ^ {\ infty} (\ Omega)}VSvs.∞(Ω){\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}
• Na metrického prostoru, digitální spojité funkce s kompaktní podporou jsou stejnoměrně spojitá . Toto je Heineova věta .

Základní podpora měřitelné funkce

Chceme definovat základní podporu měřitelné funkce takovým způsobem, že záleží pouze na třídě ekvivalence funkcí rovné téměř všude, tedy s výjimkou množiny nulové míry . F{\ displaystyle f}F{\ displaystyle f}

Definice

Dovolit být otevřenou a měřitelnou funkcí. Ω{\ displaystyle \ Omega}RNE{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}F:Ω→VS{\ displaystyle f: \ Omega \ to \ mathbb {C}}

Tvrzení  : Považujeme open - skončil bodů v sousedství která pb . Takže dál . ω{\ displaystyle \ omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}F=0{\ displaystyle f = 0} F=0 p.p.{\ displaystyle f = 0 ~ pp}ω{\ displaystyle \ omega}

Demonstrace

Nechť spočetná otevřená base of . Pro všechno existuje otevřená tato základna, například on . Podle σ-aditivity opatření , zapnuto . (ωne){\ displaystyle \ left (\ omega _ {n} \ right)}Ω{\ displaystyle \ Omega}X∈ω{\ displaystyle x \ in \ omega}ωneX{\ displaystyle \ omega _ {n_ {x}}}F=0 p.p.{\ displaystyle f = 0 ~ pp}ωneX{\ displaystyle \ omega _ {n_ {x}}}F=0 p.p.{\ displaystyle f = 0 ~ pp}∪X∈ωωneX=ω{\ displaystyle \ cup _ {x \ in \ omega} \ omega _ {n_ {x}} = \ omega}

Definice  : Klíč podpora je: . F{\ displaystyle f}suppEss⁡(F): =Ω∖ω{\ displaystyle \ operatorname {supp} _ {\ mathrm {ess}} (f): = {\ Omega \ setminus \ omega}}

Poznámka  : pokud je zapnuto , díky výše uvedenému tvrzení to vidíme, a proto je základní podpora měřitelné funkce nezávislá na vybraném zástupci. G=F p.p.{\ displaystyle g = f ~ pp}Ω{\ displaystyle \ Omega}suppEss⁡(G)=suppEss⁡(F){\ displaystyle \ operatorname {supp} _ {\ mathrm {ess}} (g) = \ operatorname {supp} _ {\ mathrm {ess}} (f)}

Příklady

• V případě spojité funkce se snadno zkontroluje, zda se základní podpora shoduje s podporou ( viz výše ).
• To již nemusí nutně platit, pokud to není kontinuální. F{\ displaystyle f}Zvažte například Dirichletovu funkci , tj. charakteristická funkce množiny rationals . Jeho podpora je, ale její základní podpora je prázdná. Ve skutečnosti, jak se opatření inu je nulová .1Q{\ displaystyle 1 _ {\ mathbb {Q}}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}1Q=0 p.p.{\ displaystyle 1 _ {\ mathbb {Q}} = 0 ~ pp}

Podpora konvolučního produktu

Mezi nejčastější příklady sad měřitelných funkce jsou L p prostory . Přesněji řečeno, všechny prvky prostoru L p jsou téměř všude třídy rovnosti měřitelných funkcí.

Tvrzení  : Nechť a s . Tak F∈Lp(Rne){\ displaystyle f \ in \ mathrm {L} ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}G∈Lq(Rne){\ displaystyle g \ in \ mathrm {L} ^ {q} (\ mathbb {R} ^ {n})}1≤1p+1q≤2{\ displaystyle 1 \ leq {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} \ leq 2}

supp⁡(F∗G)⊂supp⁡(F)+supp⁡(G)¯{\ displaystyle \ operatorname {supp} (f * g) \ podmnožina {\ overline {\ operatorname {supp} (f) + \ operatorname {supp} (g)}}}

Poznámky  :

• Kompaktní podpora dvoufunkčního konvolučního produktu je kompaktní podpora.
• Obecně platí, že pokud je kompaktní pouze jedno z médií, není kompaktní.F∗G{\ displaystyle f * g}

Podpora opatření

Podpora borelovské míry (pozitivní) v topologickém prostoru je ze své podstaty průsečíkem všech uzavřených plných měr (tj. Jejichž doplněk je nulové míry). Někteří autoři doplňují tuto definici o další podmínku, která má zabránit některým patologickým příkladům.

Za podmínek zcela běžně splněných (zejména topologický prostor se spočetnou základnou nebo pravidelnost míry ) je doplňkem největšího otevřeného konce míry nula.

Podpora distribuce

Definice

Dovolit být otevřený of a distribuce . Říkáme, že při otevření je nula, když pro jakoukoli testovací funkci, jejíž podpora (jak je definována výše) , máme . Ω{\ displaystyle \ Omega}Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}T∈D′(Ω){\ displaystyle T \ v {\ mathcal {D}} '(\ Omega)}T{\ displaystyle T}U⊂Ω{\ displaystyle U \ podmnožina \ Omega} ϕ∈D(Ω){\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (\ Omega)}U{\ displaystyle U}⟨T,ϕ⟩=0{\ displaystyle \ langle T, \ phi \ rangle = 0}

Definice  : Říkáme podpoře distribuce na komplementu největší otevřené, na které je nula. Bereme to na vědomí . T{\ displaystyle T}Ω{\ displaystyle \ Omega}T{\ displaystyle T}supp⁡(T){\ displaystyle \ operatorname {supp} (T)}

Poznámka  : Podpora je dobře definována, protože pokud je distribuce nulová v každém z otvorů rodiny, je nulová v jejich spojení; jeho podpora je proto doplňkem spojení všech otvorů, na nichž je nulová.

Příklady

• Pokud je spojitá funkce, pak je zde definovaná podpora totožná s podporami zavedenými dříve pro spojité funkce.T{\ displaystyle T}
• Je- li míra nebo míra pravděpodobnosti , je zde definovaná podpora totožná s podporou dříve definovanou pro opatření.T{\ displaystyle T}
• Pokud je multi-index , distribuce získaná diferenciací Diracova opatření v bodě má sníženou podporu v bodě .α∈NEp{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {N} ^ {p}}Dαδna{\ displaystyle D ^ {\ alpha} \ delta _ {a}}na{\ displaystyle a}na{\ displaystyle a}

Samostatná podpora distribuce

Intuitivně lze singulární podporu distribuce chápat jako množinu bodů, kde distribuci nelze identifikovat pomocí funkce. Jedná se o odlišný koncept od dosud zavedeného.

Definice  : Říkáme singulární podpoře distribuce a označujeme: doplněk největšího otevřeného, ​​na kterém je funkce . T{\ displaystyle T}supp sineG⁡(T){\ displaystyle \ operatorname {supp ~ sing} (T)}T{\ displaystyle T}VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}

Příklad  : kde je distribuce definována pro libovolnou funkci . Zde označuje hlavní hodnotu Cauchy . supp sineG⁡(protip1X)={0}{\ displaystyle \ operatorname {supp ~ sing} (vp {\ frac {1} {x}}) = \ left \ {0 \ right \}}protip 1X{\ displaystyle vp ~ {\ frac {1} {x}}}protip 1X(ϕ)=limϵ→0+∫|X|>ϵϕ(X)XdX{\ displaystyle vp ~ {\ frac {1} {x}} (\ phi) = \ lim _ {\ epsilon \ až 0 ^ {+}} \ int _ {\ left | x \ right |> \ epsilon} { \ frac {\ phi (x)} {x}} \, \ mathrm {d} x}ϕ∈D(Ω){\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (\ Omega)}protip{\ displaystyle vp}

U distribucí několika proměnných umožňuje singulární podpora definovat vlnové fronty a porozumět Huygensovu principu z hlediska matematické analýzy .

Pojem singulární podpory vysvětluje nemožnost násobení distribucí: zhruba řečeno, aby bylo možné znásobení dvou distribucí, musí být jejich singulární podpory disjunktní.

Podpora vektorového pole

V diferenciální geometrii je pro pole vektorů X (na otevřeném nebo na potrubí) adheze bodů x, ve kterých je X ( x ) nula. Pole X generuje tok s parametrem difeomorfismu g t definovaným alespoň lokálně. Tok je globálně definován, pokud má pole X kompaktní podporu. Pro t nenulový dostatečně malá, je nosič g t je přesně nosič X . Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

Podpora homeomorfismu

V topologii je homeomorfismus f od X do X spojitá bijekce a spojitá inverze. Jeho podporou je adheze sady bodů, ve kterých se f ( x ) liší od x . Zejména v diferenciální geometrii a v dynamických systémech je možné se zajímat o difeomorfismy s kompaktní podporou. Slovo difeomorfismus zde má význam a je zvláštním případem homeomorfismu.

Podpora permutace

V kombinatorické analýze je podpora permutace doplňkem sady jejích pevných bodů. Například jakákoli permutace na konečné sadě se jedinečným způsobem rozkládá jako produkt cyklů s disjunktními podporami.

Poznámka  : Poskytnutím množiny, na které permutace pracuje s diskrétní topologií , můžeme považovat permutaci za homeomorfismus a poté se dvě definice podpory shodují.

Podpora sady

Stává se (zejména při studiu sčítatelných rodin ), že nás zajímají rodiny (čísel, vektorů atd.) Indexované nespočetnými množinami; užitečné pojmy (součet řady atd.), které mají význam pouze pro konečné nebo spočetné množiny, definujeme podporu rodiny jako množinu indexů, kde je nenulová.

Odkaz

1. Walter Rudin , Reálná a komplexní analýza [ detail vydání ], definice 2.9.

Bibliografie

• Haïm Brezis , Funkční analýza: teorie a aplikace [ detail vydání ]
• Laurent Schwartz , Theory of Distribuce , Hermann, 1978
• (en) Kosaku Yosida , funkční analýza , Academic Press, 1968

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">