Pravidelnost po kusech
V matematiky , prohlášení o určité vlastnosti analýzy a výsledky konvergenční vztahují k funkcím , které splňují hypotézy, jako je po částech spojitá , po částech diferencovatelná , atd
Tyto funkce jsou seskupeny do tříd pravidelnosti, které jsou vnořenými vektorovými prostory , nazývanými „třída C k po částech“ a označenou Ck
já.
Na pravé straně
Funkce f je po částech spojitá po segmentu [ a , b ], pokud existuje dělení σ: a = a 0 <… <a n = b takové, že omezení f v každém otevřeném intervalu] a i , a i + 1 [připustit kontinuální prodloužení v uzavřeném intervalu [ a i , a i + 1 ].
Jakákoli spojitá funkce na nastavovaném segmentu , stejně jako po částech spojité funkce na [ a , b ].
Konkrétně taková funkce f je spojitá na] a i , a i + 1 [a připouští konečnou hranici vpravo a vlevo v každém a i (která může být odlišná a odlišná od hodnoty f v bodě a i sám).
Definujeme stejným způsobem funkce třídy C k kusy, lineární kusy , atd Je třeba poznamenat, že po částech třída funkcí C 1 , například, není nutně spojitá v a i , ale že i jeho derivát připustit konečné limity na pravé a na levé straně v a i .
Tento koncept se přirozeně vztahuje i na funkce definované v libovolném intervalu: funkce je spojitá (nebo jiná vlastnost) po částech v intervalu I , když je kontinuální (nebo jiné) podle kusů na každém segmentu I .
Ve vyšší dimenzi
Nechť Ω být ohraničena otevřený soubor z ℝ n a w její přilnavosti .
Pro zjednodušení předpokládejme, že Ω je „běžná“ doména (například pro upřesnění myšlenek platí, že věta o divergenci platí pro jakoukoli dostatečně hladkou funkci na ℝ n ).
Tak :
- funkce f od Ω do ℝ je po částech spojitá - označená C0
já( Ω ) - pokud existuje konečná množina disjunktních otvorů Ω i taková, že a omezení f na každý z Ω i připouští kontinuální pokračování na ℝ n ; - funkce f od Ω do ℝ je třídy C k po částech - označená Ck
já( Ω ) - pokud jde o třídu C k –1 a pokud existuje konečná množina disjunktních otvorů Ω i taková, že a omezení f na každý z Ω i je třídy C k ( Ω i ).
Oblasti použití
Kusová pravidelnost se používá k demonstraci důležitých výsledků některých zjednodušených teorií integrace a jejich aplikací, jako je Fourierova řada analýz .