Matice R0

V matematiky , je -matrix je skutečný čtvercová matice poskytuje konkrétní vlastnosti lineárních komplementaritu problémů . Tyto vlastnosti, které je obtížné vyjádřit několika slovy, jsou popsány v níže uvedené definici. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Definice

Ekvivalentní vlastnosti, které mohou sloužit jako definice pro -matice, vyžadují vyvolání některých pojmů. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Pro vektor znamená notace, že všechny složky vektoru jsou kladné. Vzhledem k tomu, čtvercovou skutečnou matici a vektor , je lineární komplementarita problém spočívá v nalezení vektoru tak, že , a , který je zapsán ve zkrácené způsobem takto: $v \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $v \ geqslant 0$ $v_ {i}$ $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ krát n}}$ $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ geqslant 0$ $Mx + q \ geqslant 0$ $x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0$

${\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.$
O funkci definované na skutečných hodnotách se říká, že je donucovací, pokud má své sady omezených podúrovní , což znamená, že má sklon k nekonečnu, pokud . $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle \ | x \ | \ do \ infty}$

Nyní můžeme dát definici -matice. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

${\ mathbf {R_ {0}}}$ -matrix - Říkáme, že skutečná čtvercová matice je -matrix, pokud platí jedna z následujících ekvivalentních vlastností: ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ krát n}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$

jediným řešením problému je nulové řešení, ${\ mbox {CL}} (M, 0)$
cokoli , funkce je donucovací, $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx + q) \ |}$
funkce je donucovací. ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$

Označíme množinu -matric libovolné objednávky. Říkáme -matricity vlastnost matice, ke které patří ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}.}$

Souvislost mezi problémem a funkcí pochází ze skutečnosti, že je řešením if, a pouze pokud (operátor jedná komponentu po komponentě). ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$ $X$ ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle \ min (x, Mx) = 0}$ $\ min$

Vlastnictví

Spojení se spoluvlastnictvím

Vlastní číslo nebo Paretova vlastní číslo na symetrické skutečné matice je kritická hodnota optimalizačního problému ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ krát n}}$

${\ displaystyle \ min _ {{x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ na vrcholu \ | x \ | = 1} \ na vrcholu x \ geqslant 0} \; x ^ {\! \ top} Mx,}$

tj. hodnota kritéria ve stacionárním bodě tohoto problému, což znamená, že níže uvedený problém lineární komplementarity má nenulové řešení : ${\ displaystyle \ mu = x ^ {\! \ top} Mx}$ $X$

${\ displaystyle 0 \ leqslant x \ perp (M- \ mu I) x \ geqslant 0.}$

Podle definice 1 -matricity vidíme, že pro symetrickou matici tento pojem znamená, že matice nemá nulovou vlastní hodnotu. Může být užitečné tuto definici přiblížit definici vlastních čísel symetrické matice , které lze získat jako kritické hodnoty Rayleighova kvocientu , aniž by zde bylo použito omezení pozitivity. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Dodatky

Související článek

Lineární komplementarita

Bibliografie

(en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Problém lineární komplementarity . Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
(en) F. Facchinei, J.-S. Pang (2003). Konečně dimenzionální variační nerovnosti a problémy s komplementaritou (2 svazky). Springer Series v operačním výzkumu. Springer-Verlag, New York.