Spektrální poloměr
Nechť je endomorphism na komplexní Banachova prostoru , nazýváme spektrální poloměr o , a označíme je poloměr nejmenší uzavřenou kouli se středem 0, který obsahuje všechny spektrální hodnoty z . To je vždy menší než nebo rovna úrovni operátora o .
NA{\ displaystyle A}
E{\ displaystyle E}
NA{\ displaystyle A}
ρ(NA){\ displaystyle \ rho (A)}
NA{\ displaystyle A}
NA{\ displaystyle A}![NA](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
V konečné dimenzi je pro endomorfismus komplexních vlastních čísel spektrální poloměr stejný .
λ1,λ2,...,λne{\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, ..., \ lambda _ {n}}
maxi|λi|{\ displaystyle \ max _ {i} {\ vlevo | \ lambda _ {i} \ vpravo |}}![\ max _ {{i}} {\ vlevo | \ lambda _ {i} \ vpravo |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f2c256de007a7c6835aa2d0b8fad2432749659)
Proto pro jakoukoli maticovou normu N , to znamená jakoukoli standardní algebru na (respektive ) a pro jakoukoli matici A v (příslušně ) .
Mne(R){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})}
Mne(VS){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {C})}
Mne(R){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})}
Mne(VS){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {C})}
ρ(NA)≤NE(NA){\ displaystyle \ rho (A) \ leq N (A)}![\ rho (A) \ leq N (A)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a761ff5f9e84c0fb7e4bf4dcf065042a271e6c07)
Demonstrace
Dovolit být vlastní číslo a přidružený vlastní vektor. Všimněte si čtvercové matice, jejíž první sloupec je a ostatní jsou nulové. Máme tedy
a můžeme to zjednodušit, protože vektor je nenulový, je stejný pro matici .
λ{\ displaystyle \ lambda}
NA{\ displaystyle A}
X{\ displaystyle X}
B{\ displaystyle B}
X{\ displaystyle X}
NAB=λB{\ displaystyle AB = \ lambda B}
|λ|NE(B)=NE(NAB)≤NE(NA)NE(B){\ displaystyle | \ lambda | N (B) = N (AB) \ leq N (A) N (B)}
NE(B){\ displaystyle N (B)}
X{\ displaystyle X}
B{\ displaystyle B}![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
Navíc ukážeme , že dolní mez je převzata ze souboru podřízených norem, a tím spíše o soubor norem algebry.
ρ(NA)=infNE(NA){\ displaystyle \ rho (A) = \ inf N (A)}![\ rho (A) = \ inf N (A)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd683f97f17bd43175da7755663337c523b90803)
Gelfandova věta nám říká, že spektrální poloměr endomorfismu je dán vzorcem
.
ρ(NA){\ displaystyle \ rho (A)}
NA{\ displaystyle A}
ρ(NA)=lim+∞‖NAne‖1/ne{\ displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {+ \ infty} \ | A ^ {n} \ | ^ {1 / n}}![\ rho (A) = \ lim _ {{+ \ infty}} \ | A ^ {n} \ | ^ {{1 / n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea3671f056e6b087dc215c41fa9192bdc133028)
Pro normálního operátora (zejména pro autoadjointový operátor ) na Hilbertově prostoru H je spektrální poloměr rovný normě operátora. Z toho vyplývá, že pro každý operátor A o H , .
‖NA‖2=ρ(NA∗NA){\ displaystyle \ | A \ | ^ {2} = \ rho (A ^ {*} A)}![\ | A \ | ^ {2} = \ rho (A ^ {*} A)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250b2634d9e97805c514192c22ebd16221276d56)
Spektrální poloměr proto může být přísně menší než standard operátora. Například matice má spektrální poloměr 0, ale tak (přesněji proto , že máme ).
M=(0100){\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}
M≠0{\ displaystyle M \ neq 0}
‖M‖>0=ρ(M){\ displaystyle \ | M \ |> 0 = \ rho (M)}
‖M‖=1{\ displaystyle \ | M \ | = 1}
‖M‖2=‖tM M‖=ρ(tM M)=1{\ displaystyle \ | M \ | ^ {2} = \ | ^ {\ operatorname {t}} M \ M \ | = \ rho (^ {\ operatorname {t}} M \ M) = 1}![\ | M \ | ^ {2} = \ | ^ {{\ operatorname t}} M \ M \ | = \ rho (^ {{\ operatorname t}} M \ M) = 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5480732b1b1aece40534a4764f16515db97962ff)
Související článek
Spektrum lineárního operátoru
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">