Hydraulický skok

Vodní skok je jev běžně pozorována u vodních toků volný povrch jako řek a jezy. Když kapalina prochází významnou ztrátou rychlosti, povrch toku prudce stoupá. Kinetická energie se transformuje na potenciální energii a turbulenci, což má za následek nevratné ztráty náboje. Tok, který byl rychlý, zpomaluje a hromadí se na sobě jako nadzvuková rázová vlna .

Tento jev závisí na počáteční rychlosti kapaliny. Pokud je tato rychlost nižší než kritická, není možný žádný skok. Když rychlost kapaliny není významně větší než kritická rychlost, přechod se jeví jako systém vln. Pokud se rychlost proudění zvýší, přechod je čím dál prudší, dokud se přechodová zóna nerozbije a nezhroutí sama na sebe. Když k tomuto jevu dojde, objeví se skok ve spojení s prudkými turbulencemi , tvorbou válečků a vln.

Dva hlavní projevy hydraulického skoku jsou:

• stacionární hydraulický skok, kdy se rychlý tok změní na pomalejší (obrázek 1 a 2);
• přílivová otvor , který je vlna se proti proudu (obrázek 3).

Koncept hydraulického skoku lze zobecnit v meteorologii za přítomnosti reliéfních vln . Stejně jako u toku v řece, i když je důležitá rychlost vzduchu ( vítr ), vytvářejí se hydraulické skoky, které mohou být dostatečně prudké, aby rozbily letadlo.

Hydraulický skok ve volném povrchovém toku

U toků charakterizovaných přechodem z přívalového proudu na tok podobný proudu se proudnice prudce rozcházejí a tok se rychle mění s ohledem na profil volné plochy. Pokud je vzestup ve vodním potrubí dostatečně vysoký, je pozorován jeden nebo více válců víceméně nestabilních s výrazným rázem a turbulencí, které vedou k nezanedbatelnému rozptylu energie.

Hydraulický skok označuje pouze tento přechod. Je doprovázen ztrátou energie ( tlakovou ztrátou ). Kromě toho se část kinetické energie přeměňuje na energii potenciální (rychlost klesá a výška se zvyšuje). Skok se vyznačuje silnou turbulencí .

Tyto vlastnosti umožnily technikům (od roku 1950 ) vyměnit přepady „v po sobě jdoucích kaskádách“, také známé jako „schody se schodištěmi“ ( stupňovité přepady ) používané po dobu nejméně 3 500 let a vybavené přibližně 1/3 severoamerických přehrad tím, že je nahradí s nádržemi rozptylujícími energii hydraulickým skokem, mnohem levnější. Ale technika „schodiště“ našel obnovený zájem o pozdním XX tého  století, protože to je efektivnější re-okysličovat vodu brát upstream cisternovými dna přehrady, méně traumatické pro vodní organismy v toku, a proto, že díky nové materiály a lepší znalost dvoufázových toků (druhý ve skutečnosti strhává velké množství vzduchu s vodou v superkritickém stavu proudění a vytváří „bílou“ a „pěnivou“ vodu, a proto je mnohem objemnější), je dnes méně nutné k nadměrné instalaci zařízení. Nedávno také prokázal, že přítomnost vzduchu ve vodě proudící vysokou rychlostí snižuje nebo zabraňuje erozi materiálů kavitací.

Froude číslo, kritický tok

Zvažujeme obdélníkový otevřený říční kanál. Nechť v je rychlost vody a h je hloubka. Následující množství se nazývá hydraulické zatížení E :

E=12proti2+Gh{\ displaystyle E = {1 \ nad 2} v ^ {2} + gh}

Tok Q definujeme jako množství:

Q=protih{\ displaystyle Q = vh}

U dané hydraulické hlavy bude průtok Q maximální, když:

proti0=Gh0{\ displaystyle v_ {0} = {\ sqrt {gh_ {0}}}}

Takový tok se nazývá kritický tok.

Výpočet kritického průtoku

Snažíme se určit, jaká je výška h₀, pro kterou bude průtok maximální pro dané zatížení E. Taková výška se nazývá kritická výška.

Řešíme:

dproti0dh0h0+proti0=dQdh0=0{\ displaystyle {dv_ {0} \ over dh_ {0}} h_ {0} + v_ {0} = {dQ \ over dh_ {0}} = 0}

My máme :

0=dE=proti0dproti0+Gdh0{\ displaystyle 0 = dE = v_ {0} dv_ {0} + gdh_ {0}}

a tak:

dproti0dh0=-Gproti0{\ displaystyle {dv_ {0} \ over dh_ {0}} = - {g \ over v_ {0}}}

Nakonec tedy vyřešíme:

-Gproti0h0+proti0=0{\ displaystyle - {g \ over v_ {0}} h_ {0} + v_ {0} = 0}

a nakonec :

proti0=Gh0{\ displaystyle v_ {0} = {\ sqrt {gh_ {0}}}}  

Nyní definujeme číslo Froude takto:

Fr2=proti02Gh0{\ displaystyle Fr ^ {2} = {v_ {0} ^ {2} \ nad gh_ {0}}}

Tok bude považován za podkritický, pokud Fr <1 , kritický, pokud Fr = 1 a superkritický, pokud Fr> 1 .

Belangerova rovnice

Považujeme superkritický tok za překážkou. Ukážeme, že tok bude vystaven skoku, který sníží hydraulické zatížení. Předpokládá se, že na počátku je tok výšky h₁ a rychlosti v₁ . Připomíná se, že přidružené číslo Froude bude:

Fr2=proti12Gh1{\ displaystyle Fr ^ {2} = {v_ {1} ^ {2} \ nad gh_ {1}}}

Belangerova rovnice vyjadřuje výšku h₂ skoku následovně:

h2h1=-1+1+8Fr22{\ displaystyle {h_ {2} \ over h_ {1}} = {- 1 + {\ sqrt {1 + 8Fr ^ {2}}} \ nad 2}}

Je vidět, že když je tok mírně superkritický, bude tok za hydraulickým skokem velmi dobrý kritický odhad. I když Fr = 2 , číslo Froude pod skokem bude blízké 1.

Když je však počet Froude proti proudu velký, tok po proudu se stane výrazně podkritickým.

Důkaz Belangerovy rovnice

Jak uvidíme později, je výhodné předpokládat, že gravitační zrychlení není podél toku rovnoměrné . Tato další hypotéza umožní zobecnit tento model na meteorologické jevy pod horou.

Superkritický proud není ve stabilním stavu a tok se odskočí. Během odskoku bude tok turbulentní a energie ( náboj ) se rozptýlí jako teplo . Nemůžeme proto použít zákon zachování energie. Můžeme však napsat, že rozdíl v míře pohybu proti proudu a během skoku se rovná tlakové síle působící na tekutinu. Nechť v₂ je rychlost toku při hydraulickém skoku a h let je výška skoku. Nechť ρ je hustota kapaliny. Domníváme se, že nekonečně malá základna vodního sloupce delta S . Předpokládáme, že v poloze x je výška h a rychlost v . Nyní uvažujeme hybnost v xx pro nekonečně malý sloupec:

δP(X)=ρδSh(X)proti(X){\ displaystyle \ delta P (x) = \ rho \ delta Sh (x) v (x)}

Jak uvidíme později, je výhodné předpokládat

V x + δ x , kde δ x je nekonečně malý , bude hybnost:

δP(X+δX)=ρδSh(X+δX)proti(X+δX){\ displaystyle \ delta P (x + \ delta x) = \ rho \ delta Sh (x + \ delta x) v (x + \ delta x)}

Nechť L je šířka kanálu, pak máme:

δS=LδX{\ displaystyle \ delta S = L \ delta x}.

Rozdíl v hybnosti tedy bude:

ΔδP=ρLδX(dhdXproti+dprotidXh)δX{\ Displaystyle \ Delta \ delta P = \ rho L \ delta x \ left ({dh \ over dx} v + {dv \ over dx} h \ right) \ delta x}

Tlaková síla δ F_p ve výšce z bude:

δFp(z)=ρ[G(X+δX)(h(X+δX)-z)-G(X)(h(X)-z)+12(proti(X+dX)2-proti(X)2)]Lδz{\ Displaystyle \ delta F_ {p} (z) = \ rho \ left [g (x + \ delta x) (h (x + \ delta x) -z) -g (x) (h (x) -z ) + {1 \ nad 2} \ doleva (v (x + dx) ^ {2} -v (x) ^ {2} \ doprava) \ doprava] L \ delta z}

Vyvíjíme a proto:

δFp(z)=ρ[(G(X)+dGdX(h(X)-z)δX)(h(X+δX)-z)-G(X)(h(X)-z)+12(proti(X+dX)2-proti(X)2)]Lδz{\ Displaystyle \ delta F_ {p} (z) = \ rho \ left [\ left (g (x) + {dg \ over dx} (h (x) -z) \ delta x \ right) (h (x + \ delta x) -z) -g (x) (h (x) -z) + {1 \ nad 2} \ left (v (x + dx) ^ {2} -v (x) ^ {2} \ right) \ right] L \ delta z}

Proto:

δFp(z)=ρ[G(X)(h(X+δX)-z)+dGdXδX(h(X+δX)-z)-G(X)(h(X)-z)+12(proti(X+dX)2-proti(X)2)]Lδz{\ Displaystyle \ delta F_ {p} (z) = \ rho \ left [g (x) (h (x + \ delta x) -z) + {dg \ over dx} \ delta x (h (x + \ delta x) -z) -g (x) (h (x) -z) + {1 \ nad 2} \ vlevo (v (x + dx) ^ {2} -v (x) ^ {2} \ vpravo ) \ right] L \ delta z}

Získáváme proto:

δFp(z)=ρ[Gdh(X)dXδX+dGdX(h(X)-z)δX+proti(X)dprotidXδX]Lδz{\ Displaystyle \ delta F_ {p} (z) = \ rho \ left [g {dh (x) \ nad dx} \ delta x + {dg \ nad dx} (h (x) -z) \ delta x + v (x) {dv \ over dx} \ delta x \ right] L \ delta z}

Integrací podél z získáme:

δFp=ρ[Gdh(X)dXhδX+12dGdXhδX+proti(X)dprotidXδX]Lh{\ displaystyle \ delta F_ {p} = \ rho \ left [g {dh (x) \ nad dx} h \ delta x + {1 \ nad 2} {dg \ nad dx} h \ delta x + v (x ) {dv \ over dx} \ delta x \ right] Lh}

Pomocí Newtonova zákona píšeme:

ΔδP=δFpδt{\ displaystyle \ Delta \ delta P = \ delta F_ {p} \ delta t}

My máme δt=δXproti{\ displaystyle \ delta t = {\ delta x \ přes v}}

Kombinací rovnic získáme:

ρ[Gdh(X)dXhδX+12dGdXhδX+proti(X)dprotidXδX]LhδXproti=ρLδX(dhdXproti+dprotidXh)δX{\ displaystyle \ rho \ left [g {dh (x) \ nad dx} h \ delta x + {1 \ nad 2} {dg \ nad dx} h \ delta x + v (x) {dv \ nad dx} \ delta x \ right] Lh {\ delta x \ over v} = \ rho L \ delta x \ left ({dh \ over dx} v + {dv \ over dx} h \ right) \ delta x}

Poté získáme velké zjednodušení:

(Gdh(X)dXh+12dGdXh2+proti(X)dprotidXh)1proti=dhdXproti+dprotidXh{\ displaystyle \ left (g {dh (x) \ over dx} h + {1 \ over 2} {dg \ over dx} h ^ {2} + v (x) {dv \ over dx} h \ right) {1 \ over v} = {dh \ over dx} v + {dv \ over dx} h}

a tak:

Gdh(X)dXh+12dGdXh(X)2=dhdXproti2{\ displaystyle g {dh (x) \ nad dx} h + {1 \ nad 2} {dg \ nad dx} h (x) ^ {2} = {dh \ nad dx} v ^ {2}}

Všimli jsme si, že tok je rovnoměrný, a proto . Proto, proti×h=Q{\ displaystyle v \ times h = Q}

Proto:

dhdX=-Qproti2dprotidX{\ displaystyle {dh \ over dx} = - {Q \ nad v ^ {2}} {dv \ nad dx}}

Proto:

ddX[12Gh2]=Gdh(X)dXh+12dGdXh(X)2=-dprotidXQ{\ displaystyle {d \ over dx} \ left [{1 \ over 2} gh ^ {2} \ right] = g {dh (x) \ over dx} h + {1 \ over 2} {dg \ over dx } h (x) ^ {2} = - {dv \ over dx} Q}

A teď integrací podél x získáme:

12(G2h22-G1h1)2=-Q(proti2-proti1)=Q(proti1-proti2){\ displaystyle {1 \ over 2} (g_ {2} h_ {2} ^ {2} -g_ {1} h_ {1}) ^ {2} = - Q (v_ {2} -v_ {1}) = Q (v_ {1} -v_ {2})}

Všimli jsme si, že:

proti2=proti1h1h2{\ displaystyle v_ {2} = v_ {1} {h_ {1} \ nad h_ {2}}}

Proto:

12(G2h22-G1h12)=Qproti1(1-h1h2)=proti12h1(1-h1h2){\ displaystyle {1 \ nad 2} (g_ {2} h_ {2} ^ {2} -g_ {1} h_ {1} ^ {2}) = Qv_ {1} \ vlevo (1- {h_ {1 } \ over h_ {2}} \ right) = v_ {1} ^ {2} h_ {1} \ left (1- {h_ {1} \ over h_ {2}} \ right)}

V následujícím budeme předpokládat, že gravitační zrychlení je rovnoměrné. S tímto dalším předpokladem tedy získáme:

12G(h2+h1)(h2-h1)h2=proti12h1(h2-h1){\ displaystyle {1 \ nad 2} g (h_ {2} + h_ {1}) (h_ {2} -h_ {1}) h_ {2} = v_ {1} ^ {2} h_ {1} ( h_ {2} -h_ {1})}

Protože existuje hydraulický skok, máme, a proto můžeme dělit h₂-h₁, a proto: h1≠h2{\ displaystyle h_ {1} \ neq h_ {2}}

12G(h2+h1)h2=proti12h1{\ displaystyle {1 \ nad 2} g (h_ {2} + h_ {1}) h_ {2} = v_ {1} ^ {2} h_ {1}}

Dělíme podle, a proto: h12{\ displaystyle h_ {1} ^ {2}}

(h2h1)2+h2h1=2proti12Gh1{\ displaystyle \ left ({h_ {2} \ over h_ {1}} \ right) ^ {2} + {h_ {2} \ over h_ {1}} = 2 {v_ {1} ^ {2} \ nad gh_ {1}}}

Tato rovnice je kvadratická rovnice v y = h₂ / h₁ . Definujeme číslo Froude Fr jako:

Fr2=proti12Gh1{\ displaystyle Fr ^ {2} = {v_ {1} ^ {2} \ nad gh_ {1}}}

Rovnice, která se má vyřešit, je pak:

y2+y-2Fr2=0{\ displaystyle y ^ {2} + y-2Fr ^ {2} = 0}

Pozitivní kořen této rovnice je tedy:

y=-1+1+8Fr22{\ displaystyle y = {- 1 + {\ sqrt {1 + 8Fr ^ {2}}} \ nad 2}}

Pro vysoké počty Froude máme:

X≃2Fr{\ displaystyle x \ simeq {\ sqrt {2}} pá}

Nyní definujeme . Předpokládáme, že h₁ <h₀ . z=h2h0{\ displaystyle z = {h_ {2} \ nad h_ {0}}}

My máme :

z=yh1h0{\ displaystyle z = y {h_ {1} \ nad h_ {0}}}.

My máme :

Fr2=proti12Gh1=proti02Gh0×(proti1proti0)2×h0h1=1×(h0h1)3{\ displaystyle Fr ^ {2} = {v_ {1} ^ {2} \ nad gh_ {1}} = {v_ {0} ^ {2} \ nad gh_ {0}} \ krát \ vlevo ({v_ { 1} \ přes v_ {0}} \ vpravo) ^ {2} \ krát {h_ {0} \ přes h_ {1}} = 1 \ krát \ vlevo ({h_ {0} \ přes h_ {1}} \ vpravo) ^ {3}}

Získáváme proto:

h2h0=h1h0×12[-1+-1+8(h0h1)32]{\ displaystyle {h_ {2} \ nad h_ {0}} = {h_ {1} \ nad h_ {0}} \ krát {1 \ nad 2} \ vlevo [-1 + {\ sqrt {-1 + 8 \ left ({h_ {0} \ over h_ {1}} \ right) ^ {3 \ over 2}}} \ right]}

Nyní uvažujeme o funkci . Máme f (1) = 1 . Píšeme a provádíme omezenou expanzi v okolí 1. Získáváme: F:X→-1+1+8X322X{\ displaystyle f: x \ až {-1 + {\ sqrt {1 + 8x ^ {3 \ nad 2}}} \ přes 2x}}X=1+h{\ displaystyle x = 1 + h}

F(1+h)=-1+1+8(1+h)322(1+h)≃12(1-h)×(-1+9+8×32h)≃12(1-h)×[-1+9(1+129h)]{\ displaystyle f (1 + h) = {- 1 + {\ sqrt {1 + 8 (1 + h) ^ {3 \ nad 2}}} \ nad 2 (1 + h)} \ simeq {1 \ nad 2} (1-h) \ times \ left (-1 + {\ sqrt {9 + 8 \ times {3 \ over 2} h}} \ right) \ simeq {1 \ over 2} (1-h) \ krát \ left [-1 + {\ sqrt {9 \ left (1+ {12 \ over 9} h \ right)}} \ right]}

Proto:

F(1+h)≃12(1-h)×[-1+9×(1+129h)]≃12(1-h)×[-1+3×(1+69h)]≃12(1-h)×[2+189h]≃1{\ displaystyle f (1 + h) \ simeq {1 \ nad 2} (1-h) \ krát \ doleva [-1 + {\ sqrt {9}} \ krát {\ sqrt {\ doleva (1+ {12 \ nad 9} h \ vpravo)}} \ vpravo] \ simeq {1 \ nad 2} (1-h) \ krát \ vlevo [-1 + 3 \ krát \ doleva (1+ {6 \ nad 9} h \ vpravo) \ vpravo] \ simeq {1 \ nad 2} (1 h) \ krát \ vlevo [2+ {18 \ nad 9} h \ vpravo] \ simeq 1}

Takže při první objednávce máme: F(1+h)=1{\ displaystyle f (1 + h) = 1}

Všimněte si, že f (2) = 0,95, a proto pro malá čísla Froude nad jednotou se proud stává přibližně kritickým. Když se však x zvětší, máme:

F(X)≈8X322X=2X{\ displaystyle f (x) \ přibližně {{\ sqrt {8}} x ^ {3 \ nad 2} \ nad 2x} = {\ sqrt {2x}}}

a budeme v přítomnosti významného skoku.

Zvažujeme extrémní případ, kdy . Za těchto podmínek se rovnice x stává: h0=∞{\ displaystyle h_ {0} = \ infty}

X3-3X+2=0{\ displaystyle x ^ {3} -3x + 2 = 0}

Musíme tedy vyřešit:

(X-1)2(X+2)=0{\ displaystyle (x-1) ^ {2} (x + 2) = 0} V tomto omezujícím případě je Froudeovo číslo 1, a proto h₂ = h₁ = h₀ .  

Vliv překážky přes tok

Nyní uvažujeme překážku napříč výškovým tokem H₀ , předpokládáme, že tok nad překážkou je kritický. Nechť h je výška proudu za překážkou. Definujeme:

h0=h-H0{\ displaystyle h_ {0} = h-H_ {0}}

Výška vodního proudu h₁ těsně pod překážkou, jak ji vypočítal Joachim Küttner, bude dána následující rovnicí:

h0+2(H0+h0)=h03h12+2h1{\ displaystyle h_ {0} +2 (H_ {0} + h_ {0}) = {h_ {0} ^ {3} \ nad h_ {1} ^ {2}} + 2 h_ {1}} Důkaz Küttnerovy rovnice

Zákon zachování toku je napsán:

Q=h0proti0=h1proti1{\ displaystyle Q = h_ {0} v_ {0} = h_ {1} v_ {1}}

kde v₁ je rychlost toku po proudu od uzávěru. Předpokládá se, že tok je laminární těsně za překážkou, a proto je energie zachována. My máme :

E=12proti02+G(H0+h0)=12proti12+Gh1{\ displaystyle E = {1 \ nad 2} v_ {0} ^ {2} + g (H_ {0} + h_ {0}) = {1 \ nad 2} v_ {1} ^ {2} + gh_ { 1}}

Dosadíme v₁ a dostaneme:

E=12proti02+G(H0+h0)=12Q2h12+Gh1{\ displaystyle E = {1 \ nad 2} v_ {0} ^ {2} + g (H_ {0} + h_ {0}) = {1 \ nad 2} {Q ^ {2} \ nad h_ {1 } ^ {2}} + gh_ {1}}

Pamatujte si to a to, a proto: proti0=Gh0{\ displaystyle v_ {0} = {\ sqrt {gh_ {0}}}}Q=proti0h0=Gh03{\ displaystyle Q = v_ {0} h_ {0} = {\ sqrt {gh_ {0} ^ {3}}}}

E=12Gh0+G(H0+h0)=12Gh03h12+Gh1{\ displaystyle E = {1 \ nad 2} gh_ {0} + g (H_ {0} + h_ {0}) = {1 \ nad 2} {gh_ {0} ^ {3} \ nad h_ {1} ^ {2}} + gh_ {1}}

Tato rovnice je zjednodušená, a proto:

h0+2(H0+h0)=h03h12+2h1{\ displaystyle h_ {0} +2 (H_ {0} + h_ {0}) = {h_ {0} ^ {3} \ nad h_ {1} ^ {2}} + 2 h_ {1}}

Definujeme . Takže nakonec: X=h0h1{\ displaystyle x = {h_ {0} \ nad h_ {1}}}

(2H0h0+3)X=X3+2{\ displaystyle \ left (2 {H_ {0} \ over h_ {0}} + 3 \ right) x = x ^ {3} +2}

Tato rovnice je kubická rovnice v x .

Předpokládejme například, že h₀ = 0,4 × H₀ . Za těchto podmínek dostaneme . X≈1.5{\ displaystyle x \ přibližně 1,5}

Je vidět, že gravitační zrychlení g v konečné rovnici zmizelo.  

Aplikace v meteorologii

Není to tak dávno, co nebyly pochopeny některé povětrnostní jevy pod horami. Můžeme citovat föhn, což je spalující vítr přicházející z jihu, který fouká na sever od alpského oblouku . Tento vítr je často bouřlivé a přesvědčení, že trval až do poloviny XIX th  století bylo, že tento vítr PROVINT přímo od Sahary až k vysvětlení přesnějšímu dostal. Podobně mnoho letadel v minulosti havarovalo dolů po pohoří Sierra Nevada v počasí Chinook , přičemž piloti věřili, že výškoměry nejsou přizpůsobeny, když byly jednoduše zachyceny vysokými přízemními vlnami, které jsou dokonale laminární. Tyto laminární vlny překonávají oblasti turbulence zvané rotory, které mohou být tak prudké, že letadla byla zničena při pokusu o průchod těmito oblastmi.

Joachim Küttner nabídl elegantní vysvětlení všech těchto jevů na základě hydrodynamiky. Bouřlivou povahu föhnu lze vysvětlit jednoduše tím, že vezmeme v úvahu, že proudění vzduchu přes pohoří lze přirovnat k proudění v korytě řeky, jako je Canal du Midi, který se setkává se zámkem (který je obrácen, protože dveře by se zvedly z zem).

Jak tedy bylo ukázáno v části výše, když tok narazí na překážku, jeho tloušťka klesá, zatímco výrazně zrychluje. To vysvětluje, proč může být föhn extrémně prudký právě pod alpským pohořím.

Jak naznačuje Belangerova rovnice, hydraulický skok je doprovázen poklesem tlaku, a proto musí být tato energie rozptýlena ve formě turbulencí a tepla. Čím větší je pokles tlaku, tím větší jsou turbulence.

V následujícím bude vyčísleno násilí rotorů.

Základní předpoklady

Buď virtuální teploty v atmosféře a rozdíl virtuální teplot mezi vzduchovým balíku vzestupné a virtuálním teploty vnějšího vzduchu hmoty. Poté definujeme vztlak leteckého balíku γ jako: θ{\ displaystyle \ theta}Δθ{\ displaystyle \ Delta \ theta}

y=GΔθθ{\ displaystyle \ gamma = {g \ Delta \ theta \ nad \ theta}}

Všimněte si, že γ není uniformní.

Modelování rotorů a reliéfních vlny budou na základě předchozí teorie, kde nahrazují g o y , které mohou být 50 krát menší. Číslo Froude je definováno:

Fr2=proti2yh≈1{\ displaystyle Fr ^ {2} = {v ^ {2} \ nad \ gamma h} \ přibližně 1}

Nahradíme γ . My máme :

y=GΔθθ≃G∂θ∂zΔzθ{\ displaystyle \ gamma = g {\ Delta \ theta \ nad \ theta} \ simeq g {\ částečné \ theta \ nad \ částečné z} {\ Delta z \ nad \ theta}}

Pokud N je frekvence Brunt-Väisälä , pak máme:

y=NE2Δz=NE2H0{\ displaystyle \ gamma = N ^ {2} \ Delta z = N ^ {2} H_ {0}}

Výpočet skoku: případ jednotné frekvence Brunt-Väisälä

V následujícím textu budeme modelovat hydraulický skok v údolí Owens, kde je nadmořská výška 1200  m . Pod tímto údolím je hora Mount Whitney, která má 4 400  metrů . Uvažujeme o západním větru o rychlosti 40 uzlů nebo 20  m / s na vrcholu hory, který je pro tento region typický. V průměru se předpokládá, že řetěz bude 2700  m . Takže H₀ = 2700 m .

Předpokládá se, že tok na vrcholu hory je kritický. Pokud v₀ je rychlost větru na vrcholu hory, výška toku h₀ bude tedy dána rovnicí:

proti02=yh0=NE2H0h0{\ displaystyle v_ {0} ^ {2} = \ gamma h_ {0} = N ^ {2} H_ {0} h_ {0}}

Proto:

h0=proti02NE2H0{\ displaystyle h_ {0} = {v_ {0} ^ {2} \ nad N ^ {2} H_ {0}}}

Předpokládáme, že atmosféra je standardní, a proto je to tak. Poté získáme: NE=1.2×10-2{\ displaystyle N = 1,2 \ krát 10 ^ {- 2}}

h0=20×201.2×1.2×10-4×2700≈1000 m{\ displaystyle h_ {0} = {20 \ krát 20 \ více než 1,2 \ krát 1,2 \ krát 10 ^ {- 4} \ krát 2700} \ přibližně 1000 \ m}

Použitím Küttnerovy rovnice získáme, a proto: h1 = 370 m . h0h1=2.7{\ displaystyle {h_ {0} \ nad h_ {1}} = 2,7}

Aplikujeme zachování rovnice hmoty s ohledem na větrné v₁ v Xi . Takže máme: a proto . Takže teoreticky, vítr v Xi by v₁ = 40 x 2,7 = 108 uzlů. V praxi bude vítr na zemi kvůli tření slabší. Všimněte si, že Küttnerův článek je nesprávný, když uvádí, že správný faktor je 2,7. Číslo Froude pro tento pronájem má hodnotu: proti0h0=proti1h1{\ displaystyle v_ {0} h_ {0} = v_ {1} h_ {1}}proti1=proti0h0h1{\ displaystyle v_ {1} = {v_ {0} h_ {0} \ nad h_ {1}}}h0h1≈2{\ displaystyle {h_ {0} \ nad h_ {1}} \ přibližně 2}

Fr=(h0h1)32=2.732=4.5{\ displaystyle Fr = \ left ({h_ {0} \ over h_ {1}} \ right) ^ {3 \ over 2} = 2,7 ^ {3 \ over 2} = 4,5}

Použitím Belangerovy rovnice tedy získáme:

h2h1=-1+8Fr2+12≈2Fr=6.3{\ displaystyle {h_ {2} \ over h_ {1}} = {- 1 + {\ sqrt {8Fr ^ {2} +1}} \ přes 2} \ přibližně {\ sqrt {2}} Fr = 6,3}

Poté získáme h₁ = 2330 metrů. Skok nedosahuje ani výšky hřebenu, který je 2700 metrů. Tento model je proto neúplný.

Zobecněná Belangerova rovnice

Küttner říká, že rotory jsou mnohem prudčí v pozdních odpoledních hodinách, kdy byla země zahřátá sluncem. Oblast ležící na východ od pohoří Sierra Nevada je ve skutečnosti polosuchá oblast a je běžné, že kalifornskou stranu zabírají mraky, zatímco strana je čistá, což umožňuje, aby se spodní vrstvy atmosféry během dne více zahřívaly, který pak má tendenci snižovat teplotní inverzi . Küttner tedy modeloval toto oslabení inverze nižším koeficientem zrychlení na úrovni skoku.

Předpokládá se, že gravitační zrychlení se během hydraulického skoku mění od g₁ do g₂ . Výška skoku je pak dána následující rovnicí, což je zobecněná Belangerova rovnice:

12(G2h22-G1h12)=proti12h1(1-h1h2){\ displaystyle {1 \ over 2} (g_ {2} h_ {2} ^ {2} -g_ {1} h_ {1} ^ {2}) = v_ {1} ^ {2} h_ {1} \ vlevo (1- {h_ {1} \ nad h_ {2}} \ vpravo)}

Jinými slovy, skok bude o to prudčí, že se sníží inverze, a proto se sníží g₂ .

Během hydraulického skoku zapněte a . Zobecněnou Belangerovu rovnici lze zjednodušit takto: h2≫h1{\ displaystyle h_ {2} \ gg h_ {1}}proti1≫proti2{\ displaystyle v_ {1} \ gg v_ {2}}

12G2h22≈proti12h1{\ displaystyle {1 \ nad 2} g_ {2} h_ {2} ^ {2} \ přibližně v_ {1} ^ {2} h_ {1}}

A tak:

h2≈proti12h1G2{\ displaystyle h_ {2} \ přibližně v_ {1} {\ sqrt {2h_ {1} \ nad g_ {2}}}}

Předpokládáme, že g₂ = g₁ / 4 . Předpokládáme, že g₁ = 0,4 m / s² . Viděli jsme, že h₁ = 370 a v₁ = 54 . Poté získáme:

h2=54×2×3700,1=4650{\ displaystyle h_ {2} = 54 \ krát {\ sqrt {2 \ krát 370 \ nad 0,1}} = 4650} metrů.

Za těchto podmínek skok jasně stoupá nad linii hřebene. Je třeba poznamenat, že byly pozorovány skoky až 9000 metrů.

Studie identického jevu v Kolumbii

V Kolumbii je Valley Cauca nachází v Andách odděluje 2 horská pásma v téměř stejným způsobem do údolí Owens, který odděluje Sierra Nevada od Panamint Mountains . Při západním větru je tedy čerstvý vzduch přicházející z Tichého oceánu ohříván föhnovým efektem v údolí Cauca a generuje hydraulický skok, který generuje bouřky.

Poznámky a odkazy

1. (en) Joachim Küttner , Rolf Hertenstein, „  Postřehy rotorů vyvolaných horami a související hypotézy: přehled  “ , Sborník z 10. konference AMS o horské meteorologii , americká meteorologická společnost,2002( číst online )
2. Küttnerův článek , str.  6
3. Chanson H (2001) Dvoufázová charakteristika toků na kurýrech ve schodišťových stupních  ; Bílé uhlí, (8), 16-28.
4. (in) Hubert Chanson, Jean Baptiste Charles Joseph Belanger (1790-1874), rovnice stojatých vod a rovnice Belanger , University of Queensland , 32  s. ( číst online ) , s.  6
5. Küttnerův článek , str.  11
6. ML Dufour, „  Foehn ze dne 23. září 1866  “, Bulletin Vaudoise Society of Natural Sciences , Vaudoise Society of Natural Sciences, sv.  IX, n o  58, 1868( číst online , konzultováno 23. října 2013 )
7. (in) Petra Sebeirt, „  Hannova Foynnova termodynamická teorie a její prezentace v meteorologických učebnicích v průběhu času  “ [PDF] , Preprinty ICHM Polling v roce 2004 , Meteorologický institut Vídeňské přírodní zdroje,2004(zpřístupněno 23. října 2013 )
8. (in) Petra Sebeirt, „  Hannova Foynnova termodynamická teorie a její prezentace v meteorologických učebnicích v průběhu času (orální)  “ [PDF] , Meteorologický ústav Vídeňské přírodní zdroje,2004(zpřístupněno 23. října 2013 )
9. Küttnerův článek , str.  17
10. Küttnerův článek , str.  4
11. (in) Manual Lopez and Wallace Howell, „  Katabatic winds in the equatorial Andes  ,“ Journal of the atmosferical sciences , American Meteorological Society , vol.  24,leden 1967, str.  29–35 ( číst online )

Podívejte se také

Bibliografie

• (en) Hubert Canson, „  Aktuální znalosti hydraulických skoků a souvisejících jevů. Průzkum experimentálních výsledků  “, European Journal of Mechanics B / Fluids , sv.  28, n O  22009, str.  191–210 ( DOI  10.1016 / j.euromechflu.2008.06.004 , číst online )
• [Küttner článek] (en) Joachim Küttner , „  Proud rotoru v závětří hor  “ , GRD výzkumu poznámky , Geofyzikální průzkum ředitelství US Air Force , n o  6,Leden 1959( číst online )
• Alexis Duchesne, "  Kruhová skok, příběh s zvratů  ," Pour la vědu , n o  513,července 2020, str.  58-65 ( online prezentace )

Související články

• Prahová hodnota (přehrada)
• Hydraulické
• Currentologie
• Rybí pas

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">