Jacobiho eliptická funkce

V matematice , Jacobi eliptický funkce jsou eliptické funkce velkého historického významu.

Představený Carl Gustav Jakob Jacobi kolem roku 1830 , mají přímé aplikace, například v rovnici kyvadla . Představují také analogie s trigonometrickými funkcemi , které jsou zvýrazněny výběrem notací $sn$ a $cn$ , které připomínají $sin$ a $cos$ . Pokud se eliptické theta funkce Weierstrassové zdají lépe vyhovující teoretickým úvahám, praktické fyzické problémy se více odvolávají na Jacobiho funkce.

Úvod

Existuje 12 Jacobiho eliptických funkcí.

Jsou to funkce komplexní proměnné, ale které závisí na parametru $k$ prvku] 0,1 [, implikovaném v notacích. $k se$ nazývá modul Jacobiho funkcí. S tímto parametrem $k$ spojíme dvě čísla $K$ a $K '$ , která jsou definována eliptickými integrály a stejně jako číslo se nazývají komoduly . ${\ displaystyle K = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} }}}$ ${\ displaystyle K '= \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1- (1-k ^ {2}) \ sin ^ { 2} \ theta}}}}$ ${\ displaystyle k '= {\ sqrt {1-k ^ {2}}}}$

V komplexní rovině máme obdélník, jehož čtyři vrcholy jsou konvenčně označeny $s$ , $c$ , $d$ a $n$ , takže $s$ je v počátku, $c$ v bodě úsečky $K$ na reálné ose, $d$ v komplexním připojovacím bodě $K + i K '$ a $n$ v připojovacím bodě $i K'$ na imaginární ose.

Název každé z Jacobiho funkcí je poté spojen s dvojicí tvořenou dvěma vrcholy obdélníku. Jména 12 Jacobiho eliptických funkcí jsou tedy: $sc$ , $sd$ , $sn$ , $cd$ , $cn$ , $cs$ , $dn$ , $ds$ , $dc$ , $ns$ , $nc$ a $nd$ .

Pro jakýkoli vrchol $p$ mezi čtyřmi vrcholy $s$ $c$ $d$ $n$ a pro jakýkoli vrchol $q$ vzatý mezi tři zbývající vrcholy je Jacobiho funkce $pq$ jedinou funkcí komplexní proměnné, která je dvojnásobně periodická a meromorfní a která splňuje vlastnosti následující :

Připouští jednoduchou nulu na vrcholu $p$ a jednoduchý pól na vrcholu $q$ .
Je to perioda periody $4 K$ podle skutečné osy a perioda periody $4 K '$ podle imaginární osy. Čísla $K$ a $K '$ se nazývají „čtvrtinová období“.
Je periodická ve směru $pq$ , s periodou dvojnásobnou ve vzdálenosti od $p$ do $q$ .
Koeficient prvního členu jeho vývoje v řadě v sousedství $u$ = 0 má hodnotu 1. Jinými slovy, tento první člen má hodnotu $u$ , 1 / $u$ nebo 1 podle toho, zda vrchol odpovídající $u$ = 0 je a nula, pól nebo obyčejný bod funkce.

V obecnějším rámci je $k$ složité, stejně jako $K$ a $K '$ , a pracujeme z rovnoběžníku. Pokud jsou však $K$ a $K '$ reálné, pak Jacobiho eliptické funkce získají skutečné hodnoty, když se použijí na skutečnou proměnnou.

Definice

Mezi dvanácti Jacobiho funkcemi jsou tři, nazývané základní Jacobiho funkce. Jsou to $sn$ , $cn$ a $dn$ . Z nich definujeme další Jacobiho funkce. Abychom definovali tři základní funkce, zavedeme mezilehlou funkci, Jacobiho amplitudovou funkci.

Neúplný eliptický integrál prvního druhu a funkce amplitudy

Připomínáme, že neúplný eliptický integrál prvního druhu spojený s modulem $k$ je rostoucí lichá funkce na reálných číslech definovaných:

{\ displaystyle F (a, k) = \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} x} }}}

Všimli jsme si, že konstanta $K$ definovaná dříve není nic jiného než . Říká se tomu úplný eliptický integrál prvního druhu . ${\ displaystyle F ({\ frac {\ pi} {2}}, k)}$

Jacobiho amplitudovou funkci nazýváme reciproční funkcí $F$ , označenou $A$ :

{\ displaystyle u = F (a, k) \ iff a = A (u, k)}

To je samo o sobě zvláštní a roste na real, a zvyšuje n kdy $u$ se zvýší o $2 K$ .

Tři základní funkce Jacobiho (1827)

Jsou definovány takto:

funkce sinus Jacobi : . Na skutečné, je periodická období $4.$ $K$ . ${\ displaystyle {\ rm {sn}} (u, k) = \ sin (A (u, k))}$
Funkce cosinus Jacobi : . Na skutečné, je periodická období $4.$ $K$ . ${\ displaystyle {\ rm {cn}} (u, k) = \ cos (A (u, k))}$
Funkce dn Jacobi : . Na skutečné, to je periodická s periodou $2$ $K$ . ${\ displaystyle {\ rm {dn}} (u, k) = {\ sqrt {1-k ^ {2} {\ rm {sn}} (u, k) ^ {2}}}}$

$sn$ je lichá funkce, zatímco $cn$ a $dn$ jsou sudé.

Hraniční případy

Najdeme kruhové a hyperbolické trigonometrické funkce pro mezní hodnoty 0 a 1 $k$ :

Pokud $k$ = 0, najdeme obyčejnou trigonometrii. Ve skutečnosti , , a $K '$ je poslán do nekonečna. $sn$ je sinus, $cn$ kosinus a $dn$ konstantní funkce 1. ${\ displaystyle F (a, 0) = a}$ ${\ displaystyle A (u) = u}$ ${\ displaystyle K = {\ frac {\ pi} {2}}}$
Pokud $k$ = 1, vidíme funkce hyperbolické trigonometrie. Opravdu, aby ( Gudermannův vzorec ) byl $K$ poslán do nekonečna a . $sn$ je funkce $tanh$ , $cn$ a $dn$ funkce $1 / cosh$ . ${\ displaystyle u = F (a, 1) = {\ rm {argth}} (\ sin (a))}$ ${\ displaystyle \ sin (a) = \ tanh (u)}$ ${\ displaystyle K '= {\ frac {\ pi} {2}}}$

Ostatní funkce

Gudermann (1838) a poté Glaisher (1882) představí dalších devět funkcí:

{\ displaystyle {\ rm {ns}} (u, k) = {\ frac {1} {{\ rm {sn}} (u, k)}}}

` `

{\ displaystyle {\ rm {nc}} (u, k) = {\ frac {1} {{\ rm {cn}} (u, k)}}}

{\ displaystyle {\ rm {nd}} (u, k) = {\ frac {1} {{\ rm {dn}} (u, k)}}}

{\ displaystyle {\ rm {sc}} (u, k) = {\ frac {{\ rm {sn}} (u, k)} {{\ rm {cn}} (u, k)}}}

{\ displaystyle {\ rm {cs}} (u, k) = {\ frac {{\ rm {cn}} (u, k)} {{\ rm {sn}} (u, k)}}}

{\ displaystyle {\ rm {sd}} (u, k) = {\ frac {{\ rm {sn}} (u, k)} {{\ rm {dn}} (u, k)}}}

{\ displaystyle {\ rm {ds}} (u, k) = {\ frac {{\ rm {dn}} (u, k)} {{\ rm {sn}} (u, k)}}}

{\ displaystyle {\ rm {cd}} (u, k) = {\ frac {{\ rm {cn}} (u, k)} {{\ rm {dn}} (u, k)}}}

{\ displaystyle {\ rm {dc}} (u, k) = {\ frac {{\ rm {dn}} (u, k)} {{\ rm {cn}} (u, k)}}}

Reciproční funkce

Můžeme definovat inverzní funkce Jacobiho eliptických funkcí, pro x mezi -1 a 1:

${\ displaystyle \ mathrm {Arcsn} \, (x, k) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {(1-t ^ {2}) (1-k ^ {2} t ^ {2})}}}}$
${\ displaystyle \ mathrm {Arccn} \, (x, k) = \ int _ {x} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {(1-t ^ {2}) (1-k ^ {2} + k ^ {2} t ^ {2})}}}}$

Formulář

Pozoruhodné hodnoty

Pro skutečné hodnoty proměnné:

pro u = 0, máme ${\ displaystyle {\ text {sn}} (0) = 0, \, {\ text {cn}} (0) = 1, \, {\ text {dn}} (0) = 1.}$
pro u = K / 2 máme ${\ displaystyle {\ text {sn}} \ left ({\ frac {K} {2}} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + k '}}}, \, {\ text {cn}} \ left ({\ frac {K} {2}} \ right) = {\ sqrt {\ frac {k '} {1 + k'}}}, \, {\ text {dn}} \ left ({\ frac {K} {2}} \ right) = {\ sqrt {k '}}.}$
pro u = K máme ${\ displaystyle {\ text {sn}} (K) = 1, \, {\ text {cn}} (K) = 0, \, {\ text {dn}} (K) = k '}$

Deriváty

Deriváty základních funkcí jsou:

{\ displaystyle A '(u) = {\ text {dn}} (u)}

{\ displaystyle {\ text {sn}} '(u) = {\ text {cn}} (u) {\ text {dn}} (u)}

{\ displaystyle {\ text {cn}} '(u) = - {\ text {sn}} (u) {\ text {dn}} (u)}

{\ displaystyle {\ text {dn}} '(u) = - k ^ {2} {\ text {sn}} (u) {\ text {cn}} (u)}

Překlad

Máme následující vztahy:

${\ displaystyle {\ text {sn}} (u + K) = {\ frac {{\ text {cn}} (u)} {{\ text {dn}} (u)}} \,}$
${\ displaystyle {\ text {cn}} (u + K) = - k '{\ frac {{\ text {sn}} (u)} {{\ text {dn}} (u)}}}$
${\ displaystyle {\ text {dn}} (u + K) = {\ frac {k '} {{\ text {dn}} (u)}} \,}$
${\ displaystyle {\ text {sn}} (u + 2K) = - {\ text {sn}} (u)}$
${\ displaystyle {\ text {cn}} (u + 2K) = - {\ text {cn}} (u)}$
${\ displaystyle {\ text {dn}} (u + 2K) = {\ text {dn}} (u)}$

Trigonometrické vztahy

Přidání

K dispozici jsou následující vzorce sčítání, které zobecňují trigonometrické vzorce sčítání:

${\ displaystyle {\ text {sn}} (u + v) = {\ frac {{\ text {sn}} (u) {\ text {cn}} (v) {\ text {dn}} (v) + {\ text {sn}} (v) {\ text {cn}} (u) {\ text {dn}} (u)} {1-k ^ {2} {\ text {sn}} ^ {2 } (u) {\ text {sn}} ^ {2} (v)}}}$
${\ displaystyle {\ text {cn}} (u + v) = {\ frac {{\ text {cn}} (u) {\ text {cn}} (v) - {\ text {sn}} (u ) {\ text {dn}} (u) {\ text {sn}} (v) {\ text {dn}} (v)} {1-k ^ {2} {\ text {sn}} ^ {2 } (u) {\ text {sn}} ^ {2} (v)}}}$
${\ displaystyle {\ text {dn}} (u + v) = {\ frac {{\ text {dn}} (u) {\ text {dn}} (v) -k ^ {2} {\ text { sn}} (u) {\ text {cn}} (u) {\ text {sn}} (v) {\ text {cn}} (v)} {1-k ^ {2} {\ text {sn }} ^ {2} (u) {\ text {sn}} ^ {2} (v)}}}$

Čtverce

${\ displaystyle {\ text {sn}} ^ {2} (u) + {\ text {cn}} ^ {2} (u) = 1 \,}$
${\ displaystyle k ^ {2} {\ text {sn}} ^ {2} (u) + {\ text {dn}} ^ {2} (u) = 1 \,}$
${\ displaystyle k ^ {2} {\ text {cn}} ^ {2} (u) + k '^ {2} = {\ text {dn}} ^ {2} (u) \,}$ s na komplementu modulu $k$ . ${\ displaystyle k '= {\ sqrt {1-k ^ {2}}}}$
${\ displaystyle {\ text {cn}} ^ {2} (u) + k '^ {2} {\ text {sn}} ^ {2} (u) = {\ text {dn}} ^ {2} (u) \,}$

Transformuje čtverce na dvojité oblouky

${\ displaystyle {\ text {sn}} ^ {2} (u) = {\ frac {1 - {\ text {cn}} (2u)} {1 + {\ text {dn}} (2u)}} }$
${\ displaystyle {\ text {cn}} ^ {2} (u) = {\ frac {{\ text {dn}} (2u) + {\ text {cn}} (2u)} {1 + {\ text {dn}} (2u)}}}$
${\ displaystyle {\ text {dn}} ^ {2} (u) = {\ frac {{\ text {dn}} (2u) + {\ text {cn}} (2u)} {1 + {\ text {cn}} (2u)}}}$

Diferenciální rovnice

Pravidla derivace Jacobiho funkcí nám umožňují ukázat, že $sn$ , $cn$ a $dn$ jsou řešení následujících diferenciálních rovnic:

$sn$ : ${\ displaystyle {\ ddot {x}} + (1 + k ^ {2}) x-2k ^ {2} x ^ {3} = 0}$
$cn$ : ${\ displaystyle {\ ddot {x}} + (1–2k ^ {2}) x + 2k ^ {2} x ^ {3} = 0}$
$dn$ : ${\ displaystyle {\ ddot {x}} - (2-k ^ {2}) x + 2x ^ {3} = 0}$

Aplikace

Jednoduché oscilační kyvadlo

Uvažujeme o jednoduchém kyvadle délky $l$ kmitajícím v gravitačním poli $g$ . Nechť $θ$ je úhel, který tvoří se sestupnou svislostí, a $θ 0$ jeho maximální amplituda. $θ$ splňuje následující pohybovou rovnici (odvozenou od zachování mechanické energie kyvadla):

{\ displaystyle {{\ dot {\ theta}} ^ {2}} = 2 {\ frac {g} {l}} (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0})}

Řešení této rovnice, která zmizí v čase $t$ = 0, ověří:

{\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = \ sin \ left ({\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ right) \, \ mathrm {sn} (\ omega _ {0} t, k)}

kde modulu hodnoty Jacobiho funkce byla dána hodnota a kde je pulzace jednoduchého kyvadla pro malé amplitudy. ${\ displaystyle k = \ sin \ left ({\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {\ frac {g} {l}}}}$

Demonstrace

Ověřme, že navrhované řešení $θ$ splňuje pohybovou rovnici. Odvozujeme rovnost s ohledem na čas, která dává: ${\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = \ sin \ left ({\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ right) \, \ mathrm {sn} (\ omega _ {0} t) = k \, \ mathrm {sn} (\ omega _ {0} t)}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \, {\ dot {\ theta}} = k \, \ omega _ { 0} \, \ mathrm {cn} (\ omega _ {0} t) \, \ mathrm {dn} (\ omega _ {0} t)}

Čtvereček jsme vyjádřili $cn$ a $dn$ pomocí $sn$ , pak použijeme trigonometrické identity:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {1} {4}} \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) {\ dot {\ theta}} ^ {2} & = k ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2} \ left (1- \ mathrm {sn} ^ {2} (\ omega _ {0} t) \ right) \ left ( 1-k ^ {2} \ mathrm {sn} ^ {2} (\ omega _ {0} t) \ vpravo) \\ & = \ omega _ {0} ^ {2} \ vlevo (k ^ {2} -k ^ {2} \, \ mathrm {sn} ^ {2} (\ omega _ {0} t) \ doprava) \ doleva (1- \ sin ^ {2} \ doleva ({\ frac {\ theta}) {2}} \ right) \ right) \\ & = \ omega _ {0} ^ {2} \ left (\ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta _ {0}} {2} } \ right) - \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right) \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2} } \ right) \\ & = \ omega _ {0} ^ {2} {\ frac {\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}} {2}} \ cos ^ {2} \ left ({ \ frac {\ theta} {2}} \ vpravo) \\\ konec {zarovnáno}}}

S vědomím, že jsme se uzdravit . ${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {\ frac {g} {l}}}}$ ${\ displaystyle {{\ dot {\ theta}} ^ {2}} = 2 {\ frac {g} {l}} (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0})}$

Výše uvedený výpočet také ukazuje, že:

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = 2k \, \ omega _ {0} \, \ mathrm {cn} (\ omega _ {0} t)}

Období kyvadla je . Amplitudová funkce se zvyšuje s $t$ a hraje roli „časové stupnice“ přizpůsobené problému: v každém reálném časovém úseku kyvadla se amplituda zvýší o $2π$ . Anisochronicita pohybu je zřejmá, protože doba kyvadla závisí na modulu $k$ , tedy na $θ$ $0$ . ${\ displaystyle T = {\ frac {4K (k)} {\ omega _ {0}}}}$ ${\ displaystyle A (\ omega _ {0} t, k)}$

Pro malé oscilace je $k$ velmi malé, takže funkce $sn$ je podobná sinusu. Aproximací sinusu $θ$ číslem $θ$ a provedením stejného postupu pro $θ 0$ najdeme klasický vzorec . ${\ displaystyle \ theta = \ theta _ {0} \ sin (\ omega _ {0} t)}$

Když má $θ 0$ tendenci k $π$ , $k$ má tendenci k 1 a $K ( k )$ má sklon k nekonečnu jako . Pokud $T$ $0$ je doba jednoduchého kyvadla pro malé oscilace, pak se doba kyvadla stává: ${\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {4} {\ sqrt {1-k ^ {2}}}} \ right)}$ ${\ frac {2 \ pi} {\ omega _ {0}}}$

{\ displaystyle T = T_ {0} \, {\ frac {2} {\ pi}} \ ln \ left ({\ frac {8} {\ pi - \ theta _ {0}}} \ right)}

Po dosažení limitu se $sn$ rovná $tanh$ funkci . Pak máme:

{\ displaystyle \ theta = 2 \ arcsin (\ tanh (\ omega _ {0} t)) = 4 \ arctan (\ exp (\ omega _ {0} t)) - \ pi}

který má tendenci $n$ při $t$ tendenci růst do nekonečna.

Jednoduché rotující kyvadlo

V případě kyvadla animovaného dostatečně vysokou rychlostí, aby se točilo, se píše pohybová rovnice :

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} ^ {2} = {\ frac {2g} {l ^ {2}}} [H-l + l \ cos (\ theta)]}

kde $H$ je konstantní homogenní v délce a přísně větší než $2 l$ . Řešení $θ$ je poté vyjádřeno pomocí Jacobiho amplitudové funkce ve tvaru:

{\ displaystyle \ theta = 2A \ vlevo ({\ sqrt {\ frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \, t, k \ vpravo)}

kde dáme hodnotu modulu Jacobiho funkce . ${\ displaystyle k = {\ sqrt {\ frac {2l} {H}}}}$

Demonstrace

Pokud odvodíme rovnost s ohledem na čas, získáme:

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = 2 {\ sqrt {\ frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \ mathrm {dn} \ left ({\ sqrt {\ frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \, t \ vpravo)}

tedy čtvercem a s přihlédnutím k tomu, že : ${\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = \ sin \ left [A \ left ({\ sqrt {\ frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \, t \ right) \ right] = \ mathrm {sn} \ left ({\ sqrt {\ frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \, t \ right)}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ dot {\ theta}} ^ {2} & = {\ frac {2Hg} {l ^ {2}}} \ left [1-k ^ {2} \ mathrm { sn} ^ {2} \ left ({\ sqrt {\ frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \, t \ right) \ right] \\ & = {\ frac {2Hg} {l ^ { 2}}} \ left [1 - {\ frac {2l} {H}} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right] \\ & = { \ frac {2g} {l ^ {2}}} [Hl (1- \ cos (\ theta))] \ end {zarovnáno}}}

podle očekávání.

Poinsotův pohyb tělesa

Tento pohyb je pohybem tělesa v rotaci, vzatého relativně k jeho středu setrvačnosti $G$ , když je moment ve srovnání s $G$ vnějších sil nulový. Pro každé těleso bez zvláštní symetrie se pohybové rovnice řeší pomocí Jacobiho eliptických funkcí. Zejména tři složky vektoru okamžité rotace v referenčním rámci spojené s tělesem tvořeným hlavními osami setrvačnosti jsou úměrné $cn$ , $sn$ , $dn$ .

Šíření vln

Funkce umožňuje modelovat zvýšení vodní hladiny, když solitonový prochází , jako je tsunami například tam, kde, s výjimkou pro změnu jednotky, $ξ$ je výška vlny, $x$ je úsečka, kde měříme této výška, $t$ je čas a $B$ parametr zohledňující hloubku média. Je to skutečně jedno z řešení rovnice Kortewega a Vriese . Takto modelovaná vlna se nazývá cnoidální vlna . ${\ displaystyle \ xi: (x, t) \ to \ mathrm {cn} ^ {2} (B (x-ct))}$

Optické čerpání

Funkce $sn$ zasahuje do modelování vyčerpání pumpy v optické směsi tří vln, která se používá v optických parametrických oscilátorech .

Podívejte se také

Bibliografie

M. Abramowitz, IA Stegun, Příručka matematických funkcí , Národní úřad pro standardy,1972( číst online ), kapitola 16, LM Milne-Thomson.
Hermann Laurent , Elementární teorie eliptických funkcí , Gauthier-Villars, Paříž,1880( číst online )
Alfred George Greenhill , eliptické funkce a jejich aplikace , G. Carré, Paříž,1895( číst online )
Paul Appell , Émile Lacour, Principy teorie eliptických funkcí a aplikací , Gauthier-Villars et fils, Paříž,1897( číst online )

externí odkazy

WP Reinhardt, PL Walker, „ Jacobian Elliptic Functions “ . Mezi mnoha vlastnostmi Jacobiho eliptických funkcí, které tento web poskytuje, najdete zejména v kapitole 22.20 metody rychlého numerického výpočtu těchto funkcí.

Poznámky a odkazy

Abramowitz-Stegun 1972 , str. 569
Abramowitz-Stegun 1972 , s. 571
Abramowitz-Stegun 1972 , str. 570
WP Reinhardt, PL Walker, „ Jacobian Elliptic Functions “ , na dlmf.nist.gov , §22.15, inverzní funkce
Abramowitz-Stegun 1972 , s. 574
Abramowitz-Stegun 1972 , str. 572
WP Reinhardt, PL Walker, „ Jacobian Elliptic Functions “ , na dlmf.nist.gov , §22.13, Deriváty a diferenciální rovnice
L. Landau, E. Lifchitz, teoretická fyzika, mechanika , elipsy, 1994, str. 176
Paul Elwyn Britton, „ Vláknový laser čerpaný periodicky polarizovanými nelineárními zařízeními na bázi lithium niobátu “ , na University of Southampton ,2000, str. 101, kap. 5 („Parametrické zesílení a generování“)