Solenoid
Tato stránka se zabývá elektromagnetickým zařízením. Matematický objekt viz Solenoid (matematika) .
Elektromagnet (z řečtiny „ Solen “, „potrubí“, „trubka“ a „ Eidos “, „ve formě“) je zařízení, sestávající z kovové elektrických drátů pravidelně hojení ve šroubovici pro vytvoření dlouhé cívky. Proto má solenoid také termín cívka . Prochází střídavým nebo stejnosměrným proudem a vytváří magnetické pole ve své blízkosti, konkrétněji uvnitř vrtule. Síla magnetického pole závisí na intenzitě proudu, povaze drátu a délce drátu. Bylo to v roce 1820, kdy André-Marie Ampèrepředstavoval si název solenoidu během experimentu na kruhových proudech. V průmyslu se termín solenoid také používá k označení převodníku . Když ji prochází elektrická energie, vytvoří sílu podle své osy navíjení.
Solenoid skončil
Magnetické pole na ose
Rotační solenoid (kruhový) je modelován řadou otáček o poloměru stejné osy, procházející stejným proudem a pravidelně uspořádaných po celé délce .
NE{\ displaystyle N}R{\ displaystyle R}i{\ displaystyle i}l{\ displaystyle l}
Magnetické pole vytvořené proudem se otáčí na své ose:
B(X)=μ0ihřích(θ)32R{\ displaystyle B (x) = \ mu _ {0} \, i \, {\ frac {\ sin (\ theta) ^ {3}} {2R}}}kde je magnetická permeabilita vakua .
μ0{\ displaystyle \ mu _ {0}}
Pole vytvořené solenoidem na jeho ose:
dB(X)=μ0NEilhřích(θ)32RdX{\ displaystyle \ mathrm {d} B (x) = {\ frac {\ mu _ {0} \, N \, i} {l}} \, {\ frac {\ sin (\ theta) ^ {3} } {2R}} \, \ mathrm {d} x}.
Pokračujeme ke změně proměnné: , .
X=Ropálení(θ){\ textstyle x = {\ frac {R} {\ tan (\ theta)}}}dX=-Rhřích(θ)2dθ{\ textstyle \ mathrm {d} x = {\ frac {-R} {\ sin (\ theta) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} \ theta}
Získáváme tak: dB=-μ0NEi2lhříchθdθ{\ displaystyle \ mathrm {d} B = - {\ frac {\ mu _ {0} \, N \, i} {2 \, l}} \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta}
Ve středu solenoidu, tj. Při x = 0 , se tento vzorec stává:
B0=-μ0NEil∫θmnaXθ0hříchθdθ{\ displaystyle B_ {0} = - {\ frac {\ mu _ {0} \, N \, i} {l}} \ int _ {\ theta _ {\ rm {max}}} ^ {\ theta _ {0}} \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta} s , hodnota v x = 0 a .
θ0{\ displaystyle \ theta _ {0}}θ{\ displaystyle \ theta}θmnaX=π/2{\ displaystyle \ theta _ {\ rm {max}} = \ pi / 2}
B0=μ0NEilcosθ0{\ displaystyle B_ {0} = {\ frac {\ mu _ {0} \, N \, i} {l}} \ cos \ theta _ {0}}
Nahrazením za nakonec:cosθ0{\ displaystyle \ cos \ theta _ {0}}ll2+D2{\ displaystyle {\ frac {l} {\ sqrt {l ^ {2} + D ^ {2}}}}}
B0=μ0NEil2+D2{\ displaystyle B_ {0} = {\ frac {\ mu _ {0} \, N \, i} {\ sqrt {l ^ {2} + D ^ {2}}}}}
Interpretace: Magnetické pole vytvořené ve středu se proto zvyšuje přidáním otáček nebo zvýšením intenzity proudu, ale klesá zvětšením průměru solenoidu.
Poznámka: vyjádření magnetického pole pro solenoid lze získat z Ampérovy věty .
Je také možné určit pole na ose jako funkci vzdálenosti x od středu solenoidu umístěním do bodu M od středu, jak je znázorněno na následujícím obrázku.
Odkud : B=-μ0NEil∫θ1θ2hříchθdθ⟹B=μ0NEil(cosθ2+cosθ1){\ displaystyle B = - {\ frac {\ mu _ {0} \, N \, i} {l}} \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \ qquad \ Longrightarrow \ qquad B = {\ frac {\ mu _ {0} \, N \, i} {l}} \ vlevo (\ cos \ theta _ {2} + \ cos \ theta _ {1} \ vpravo)}
Pomocí trigonometrických vzorců :
cosθ2=l+2X2(l+2X)2+D2{\ displaystyle \ cos \ theta _ {2} = {\ frac {l + 2x} {2 {\ sqrt {(l + 2x) ^ {2} + D ^ {2}}}}}}
cosθ1=2X-l2(l-2X)2+D2{\ displaystyle \ cos \ theta _ {1} = {\ frac {2x-l} {2 {\ sqrt {(l-2x) ^ {2} + D ^ {2}}}}}}
Konečně:
B=μ0NEJál(l+2X2(l+2X)2+D2+l-2X2(l-2X)2+D2){\ displaystyle B = \ mu _ {0} {\ frac {NI} {l}} \ vlevo ({\ frac {l + 2x} {2 {\ sqrt {(l + 2x) ^ {2} + D ^ {2}}}}} + {\ frac {l-2x} {2 {\ sqrt {(l-2x) ^ {2} + D ^ {2}}}}} \ vpravo)}
Níže uvedený graf představuje magnetické pole na ose solenoidu řady N = 1 000 závitů o průměru D = 2 cm, procházející stejným proudem I = 0,2 A a uspořádaných pravidelně na délce l = 80 cm.
Magnetické pole mimo osu
Rovnice, které se chystáme vytvořit, umožní určit axiální a radiální pole v jakémkoli bodě v prostoru, uvnitř nebo vně solenoidu. Zvažte solenoid délky a poloměru .
L{\ displaystyle L}na{\ displaystyle a}
Magnetické pole vytvořené solenoidem může být vyjádřeno vektorovým potenciálem pomocí: B→=∇×NA→{\ displaystyle {\ vec {B}} = \ nabla \ krát {\ vec {A}}}
Vektorový potenciál je polární vektor, to znamená, že patří do roviny symetrie distribuce proudu, a je tedy kolmý k rovině anti-symetrie. Rovina (O, r, z) ve válcovém rámu je antisymetrická rovina distribuce proudu. Geometrie systému tedy znamená, že pouze komponenta je nenulová. Proto můžeme napsat:NA→{\ displaystyle {\ vec {A}}}NAθ{\ displaystyle A _ {\ theta}}Br=-∂NAθ∂z{\ displaystyle B_ {r} = - {\ frac {\ částečné A _ {\ theta}} {\ částečné z}}}
Bz=1r∂(rNAθ)∂r{\ displaystyle B_ {z} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ částečný (rA _ {\ theta})} {\ částečný r}}}
Demonstrace
Pro jednu kruhovou zatáčku máme: kde je poloměr zatáčky, je vzdálenost od místního bodu na zatáčce k bodu, kde chceme vypočítat pole, je intenzita vlákna, je propustnost vlákno. Pro solenoid vyrobený ze série n kruhových závitů na jednotku délky ( ) máme:
NAθ=μJá4π∮navs.ÓsθdθR{\ displaystyle A _ {\ theta} = {\ frac {\ mu I} {4 \ pi}} \ anint {\ frac {acos \ theta d \ theta} {R}}}na{\ displaystyle a}R{\ displaystyle R}Já{\ displaystyle I}μ{\ displaystyle \ mu}ne=NEL{\ displaystyle n = {\ frac {N} {L}}}
NAθ=naμneJá2π∫-L2L2dl∫0πvs.Ósθdθ(z-l)2+r2+na2-2narvs.Ósθ{\ displaystyle A _ {\ theta} = {\ frac {a \ mu nI} {2 \ pi}} \ int _ {- {\ frac {L} {2}}} ^ {\ frac {L} {2 }} dl \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {cos \ theta d \ theta} {\ sqrt {(zl) ^ {2} + r ^ {2} + a ^ {2} -2arcos \ theta}}}}
Můžeme přepsat ve tvaru:
NAθ{\ displaystyle A _ {\ theta}}
NAθ=naμneJá2π∫ξ-ξ+dξ∫0πvs.Ósθdθξ2+r2+na2-2narvs.Ósθ{\ displaystyle A _ {\ theta} = {\ frac {a \ mu nI} {2 \ pi}} \ int _ {\ xi _ {-}} ^ {\ xi _ {+}} d \ xi \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {cos \ theta d \ theta} {\ sqrt {\ xi ^ {2} + r ^ {2} + a ^ {2} -2arcos \ theta}}}}
Kde , a je axiální vzdálenost od počátku k vláknu. Integrací podle získáme:
ξ=z-l{\ displaystyle \ xi = zl}ξ±=z±L2{\ displaystyle \ xi _ {\ pm} = z \ pm {\ frac {L} {2}}}l{\ displaystyle l}ξ{\ displaystyle \ xi}
NAθ=naμneJá2π∫0πvs.Ósθln[ξ+ξ2+r2+na2-2narvs.Ósθ]ξ-ξ+dθ{\ displaystyle A _ {\ theta} = {\ frac {a \ mu nI} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} cos \ theta \ ln \ left [\ xi + {\ sqrt {\ xi ^ {2} + r ^ {2} + a ^ {2} -2arcos \ theta}} \ vpravo] _ {\ xi _ {-}} ^ {\ xi _ {+}} d \ theta}
Integrací po částech máme:
NAθ=naμneJá2π[sineθln[ξ+ξ2+r2+na2-2narvs.Ósθ]ξ-ξ+]θ=0θ=π-naμneJá2π∫0π[narsine2θdθ(ξ+ξ2+r2+na2-2narvs.Ósθ)ξ2+r2+na2-2narvs.Ósθ]ξ-ξ+{\ displaystyle A _ {\ theta} = {\ frac {a \ mu nI} {2 \ pi}} \ left [sin \ theta \ ln \ left [\ xi + {\ sqrt {\ xi ^ {2} + r ^ {2} + a ^ {2} -2arcos \ theta}} \ right] _ {\ xi _ {-}} ^ {\ xi _ {+}} \ right] _ {\ theta = 0} ^ { \ theta = \ pi} - {\ frac {a \ mu nI} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ left [{\ frac {arsin ^ {2} \ theta d \ theta } {(\ xi + {\ sqrt {\ xi ^ {2} + r ^ {2} + a ^ {2} -2arcos \ theta}}) {\ sqrt {\ xi ^ {2} + r ^ {2 } + a ^ {2} -2arcos \ theta}}}} \ vpravo] _ {\ xi _ {-}} ^ {\ xi _ {+}}}
Vidíme, že první termín je vyloučen. Vynásobením druhého funkčního období a jejich přeuspořádáním nakonec získáme:
ξ2+r2+na2-2narvs.Ósθ-ξξ2+r2+na2-2narvs.Ósθ-ξ{\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {\ xi ^ {2} + r ^ {2} + a ^ {2} -2arcos \ theta}} - \ xi} {{\ sqrt {\ xi ^ {2} + r ^ {2} + a ^ {2} -2arcos \ theta}} - \ xi}}}
NAθ=na2μneJár2π∫0π[ξsine2θdθ(na2+r2-2narvs.Ósθ)ξ2+r2+na2-2narvs.Ósθ]ξ-ξ+{\ displaystyle A _ {\ theta} = {\ frac {a ^ {2} \ mu nIr} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ left [{\ frac {\ xi sin ^ {2} \ theta d \ theta} {(a ^ {2} + r ^ {2} -2arcos \ theta) {\ sqrt {\ xi ^ {2} + r ^ {2} + a ^ {2} - 2arcos \ theta}}}} \ vpravo] _ {\ xi _ {-}} ^ {\ xi _ {+}}}
Od této chvíle budeme schopni určit radiální a axiální složky magnetického pole.
Nejprve je napsána radiální složka :Br{\ displaystyle B_ {r}}Br=-∂NAθ∂z=-∂∂z(naμneJá2π∫ξ-ξ+dξ∫0πvs.Ósθdθξ2+r2+na2-2narvs.Ósθ)=-naμneJá2π∫0π[vs.Ósθdθξ2+r2+na2-2narvs.Ósθ]ξ-ξ+{\ displaystyle B_ {r} = - {\ frac {\ částečné A _ {\ theta}} {\ částečné z}} = - {\ frac {\ částečné} {\ částečné z}} \ vlevo ({\ frac { a \ mu nI} {2 \ pi}} \ int _ {\ xi _ {-}} ^ {\ xi _ {+}} d \ xi \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {cos \ theta d \ theta} {\ sqrt {\ xi ^ {2} + r ^ {2} + a ^ {2} -2arcos \ theta}}} \ right) = - {\ frac {a \ mu nI} { 2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ vlevo [{\ frac {cos \ theta d \ theta} {\ sqrt {\ xi ^ {2} + r ^ {2} + a ^ { 2} -2arcos \ theta}}} \ vpravo] _ {\ xi _ {-}} ^ {\ xi _ {+}}}
Aby došlo k expresi axiální složku , je třeba nejprve vypočte pomocí výrazu ve tvaru: . Pak máme:
Bz{\ displaystyle B_ {z}}∂NAθ∂r{\ displaystyle {\ frac {\ částečné A _ {\ theta}} {\ částečné r}}}NAθ{\ displaystyle A _ {\ theta}}NAθ=naμneJá2π∫0πvs.Ósθln[ξ+ξ2+r2+na2-2narvs.Ósθ]ξ-ξ+dθ{\ displaystyle A _ {\ theta} = {\ frac {a \ mu nI} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} cos \ theta \ ln \ left [\ xi + {\ sqrt {\ xi ^ {2} + r ^ {2} + a ^ {2} -2arcos \ theta}} \ vpravo] _ {\ xi _ {-}} ^ {\ xi _ {+}} d \ theta}
∂NAθ∂r=-naμneJá2π∫0π[ξvs.Ósθ(r-navs.Ósθ)dθ(r2+na2-2narvs.Ósθ)ξ2+r2+na2-2narvs.Ósθ]ξ-ξ+{\ displaystyle {\ frac {\ částečné A _ {\ theta}} {\ částečné r}} = - {\ frac {a \ mu nI} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ left [{\ frac {\ xi cos \ theta (r-acos \ theta) d \ theta} {(r ^ {2} + a ^ {2} -2arcos \ theta) {\ sqrt {\ xi ^ {2 } + r ^ {2} + a ^ {2} -2arcos \ theta}}}} \ right] _ {\ xi _ {-}} ^ {\ xi _ {+}}}
Máme tedy:
Bz=1r∂(rNAθ)∂r=naμneJá2π∫0π[ξ(na-rvs.Ósθ)dθ(r2+na2-2narvs.Ósθ)ξ2+r2+na2-2narvs.Ósθ]ξ-ξ+{\ displaystyle B_ {z} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ částečné (rA _ {\ theta})} {\ částečné r}} = {\ frac {a \ mu nI} { 2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ left [{\ frac {\ xi (a-rcos \ theta) d \ theta} {(r ^ {2} + a ^ {2} - 2arcos \ theta) {\ sqrt {\ xi ^ {2} + r ^ {2} + a ^ {2} -2arcos \ theta}}}} \ right] _ {\ xi _ {-}} ^ {\ xi _ {+}}}
Integrací rovnic a na počítači získáme popis magnetického pole vytvořeného konečným solenoidem. Můžeme také vyjádřit tyto rovnice pomocí eliptických integrálů :
Br{\ displaystyle B_ {r}}Bz{\ displaystyle B_ {z}}
Br=-μneJáπnar[2-k22kK.(k)-E(k)k]ξ-ξ+{\ displaystyle B_ {r} = - {\ frac {\ mu nI} {\ pi}} {\ sqrt {\ frac {a} {r}}} \ left [{\ frac {2-k ^ {2} } {2k}} K (k) - {\ frac {E (k)} {k}} \ vpravo] _ {\ xi _ {-}} ^ {\ xi _ {+}}}
kde , je eliptický integrál prvního druhu a je eliptický integrál druhého druhu.
k2=4narξ2+(na+r)2{\ displaystyle k ^ {2} = {\ frac {4ar} {\ xi ^ {2} + (a + r) ^ {2}}}}K.{\ displaystyle K}E{\ displaystyle E}
Bz=μneJá4[ξkπnarK.(k)+(na-r)ξ|(na-r)ξ|λ0(ϕ,k)]ξ-ξ+{\ displaystyle B_ {z} = {\ frac {\ mu nI} {4}} \ vlevo [{\ frac {\ xi k} {\ pi {\ sqrt {ar}}}} K (k) + {\ frac {(ar) \ xi} {| (ar) \ xi |}} \ lambda _ {0} (\ phi, k) \ right] _ {\ xi _ {-}} ^ {\ xi _ {+} }}
kde a je funkce lambda Heuman.
ϕ=opálení-1|ξna-r|{\ displaystyle \ phi = \ tan ^ {- 1} \ vlevo | {\ frac {\ xi} {ar}} \ vpravo |}λ0{\ displaystyle \ lambda _ {0}}
Je užitečné znát zejména variaci pole v blízkosti osy solenoidu. Při tendenci k 0 máme:
r{\ displaystyle r}
Br=μneJá4[na2r(ξ2+na2)3/2]ξ-ξ+{\ displaystyle B_ {r} = {\ frac {\ mu nI} {4}} \ vlevo [{\ frac {a ^ {2} r} {(\ xi ^ {2} + a ^ {2}) ^ {3/2}}} \ vpravo] _ {\ xi _ {-}} ^ {\ xi _ {+}}}
Bz=μneJá2[ξξ2+na2]ξ-ξ+{\ displaystyle B_ {z} = {\ frac {\ mu nI} {2}} \ vlevo [{\ frac {\ xi} {\ sqrt {\ xi ^ {2} + a ^ {2}}}} \ vpravo] _ {\ xi _ {-}} ^ {\ xi _ {+}}}
Je vidět, že zvětšování délky solenoidu snižuje radiální variaci axiálního pole, to znamená, že axiální pole je podél solenoidu stále rovnoměrnější. Najdeme konkrétní případ nekonečně dlouhého solenoidu.
U solenoidů krátkých délek se axiální pole rychle zvyšuje od středu solenoidu směrem ke koncům solenoidu. Ve středu pole tak vypadá díky jednoduché smyčce.
Pak vidíme, že toto pole je téměř homogenní v celém objemu vymezeném solenoidem. To odpovídá siločarám, které jsou téměř navzájem rovnoběžné. Mimo solenoid je pole analogické s polem magnetu .
Další podrobnosti viz také: Potenciál a pole solenoidu konečné délky
Nekonečný solenoidový model
Solenoid je modelován juxtapozicí kruhových závitů procházejících proudem i .
Zvažte zde nekonečný solenoid složený z N otáček a osy otáčení Oz . Pokoušíme se vypočítat magnetické pole uvnitř solenoidu. Za to, že se člověk umístí do válcových souřadnic s ohledem na místní základnu .
(E→r,E→θ,E→z){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {r}, {\ vec {e}} _ {\ theta}, {\ vec {e}} _ {z})}
Studiem symetrií a invariancí systému ukážeme, že magnetické pole je orientováno podél a že záleží pouze na r (vzdálenost k ose otáčení), takže máme:E→z{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {z}}
B→=B(r)E→z{\ displaystyle {\ vec {B}} = B (r) \, {\ vec {e}} _ {z}}
Použitím Ampérovy věty můžeme vypočítat magnetické pole uvnitř solenoidu. Za tímto účelem definujeme obrys Ampér (uzavřený a orientovaný obrys): uvažujeme obdélník ABCD o délce AB = l ( viz obrázek naproti). Obdélník zahrnuje N otáček, z nichž každý prochází stejným proudem o intenzitě i .
Ampereova věta aplikovaná na konturu ABCD dává:
∮NABVSDB→(r)⋅dℓ→=μ0iNE{\ displaystyle \ anint _ {ABCD} {\ vec {B}} (r) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = \ mu _ {0} \, i \, N}
nebo:
-
μ0{\ displaystyle \ mu _ {0}}je magnetická permeabilita vakua;
-
i je intenzita proudu proudícího v zatáčce;
-
N je počet vzájemně postavených závitů tvořících solenoid.
Chasles vztah umožňuje, aby se rozložil integrální součet čtyř integrálů .
∫NABB→(r)⋅dℓ→+∫BVSB→(r)⋅dℓ→+∫VSDB→(r)⋅dℓ→+∫DNAB→(r)⋅dℓ→=μ0iNE{\ displaystyle \ int _ {A} ^ {B} {\ vec {B}} (r) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} + \ int _ {B} ^ {C} { \ vec {B}} (r) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} + \ int _ {C} ^ {D} {\ vec {B}} (r) \ cdot \ mathrm { d} {\ vec {\ ell}} + \ int _ {D} ^ {A} {\ vec {B}} (r) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = \ mu _ {0} \, i \, N}
Nicméně, na segmentech BC a DA , vektorů a jsou ortogonální . Proto jsou integrály na těchto dvou segmentech nulové.
B→(r){\ displaystyle {\ vec {B}} (r)}dℓ→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}}}
Zůstává: .
∫NABB→(r)⋅dℓ→+∫VSDB→(r)⋅dℓ→=μ0iNE{\ displaystyle \ int _ {A} ^ {B} {\ vec {B}} (r) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} + \ int _ {C} ^ {D} { \ vec {B}} (r) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = \ mu _ {0} \, i \, N}
Je možné ukázat, že magnetické pole je mimo nekonečný solenoid nulové. V důsledku toho je integrál na segmentu CD (umístěném mimo solenoid) nulový.
Pak: . A protože segment AB má délku l , získáváme .
∫NABB(r)E→z⋅dℓE→z=μ0NEi{\ displaystyle \ int _ {A} ^ {B} B (r) \, {\ vec {e}} _ {z} \ cdot \ mathrm {d} {\ ell} \; {\ vec {e}} _ {z} = \ mu _ {0} \, N \, i}B(r)l=μ0iNE{\ displaystyle B (r) \, l = \ mu _ {0} \, i \, N}
Všimli jsme si, že magnetické pole uvnitř solenoidu je konečně nezávislé na r a máme:
B=μ0iNEl{\ displaystyle B = {\ frac {\ mu _ {0} \, i \, N} {l}}}
Jak je uvedeno výše, magnetické pole v solenoidu je téměř konstantní. Průchodem proudu i solenoidem získáme indukované magnetické pole normy rovné:B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}B=μ0NEil{\ displaystyle B = {\ frac {\ mu _ {0} \, N \, i} {l}}}
Cílem je vypočítat indukčnost z toku procházejícího solenoidem.
Ignorováním okrajové účinky elektromagnetu, celkový průtok přes solenoid se získá vynásobením pole B o průřezu S . Elektromagnet je skutečně zařízení, které zachycuje tok:Φ{\ displaystyle \ Phi}Φ=NE×B×S{\ displaystyle \ Phi = N \ krát B \ krát S}
Pojem toku vyžaduje, aby byla zohledněna časová složka. To umožňuje vyvolat magnetickou indukci. Ve skutečnosti, když se tok magnetického pole, které prochází vodivým obvodem, v průběhu času mění, objeví se v tomto obvodu napětí zvané elektromotorická síla e . Tyto jevy jsou popsány zákonem Lenz-Faraday .
E=-dΦdt{\ displaystyle e = - {\ frac {\ mathrm {d} \ Phi} {\ mathrm {d} t}}}
Nebo se napětí na svorkách solenoidu také rovná : kde L je indukčnost .
E=-Ldidt{\ displaystyle e = -L \, {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}}}
Vytvořená elektromotorická síla je orientována tak, aby se generovaný proud postavil proti variaci toku. Mluvíme zde o samoindukci. To odpovídá skutečnosti, že zdrojem magnetického pole při vzniku elektromotorické síly v obvodu je elektrický proud protékající stejným obvodem. Existuje tedy zpětná vazba mezi magnetickým polem a změnami proudu v obvodu.
Nyní s ohledem na solenoid, jehož proud se v průběhu času mění, jak je vidět výše, toto indukuje magnetické pole.
dBdt=μ0NEldidt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} B} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mu _ {0} \, N} {l}} {\ frac {\ mathrm {d } i} {\ mathrm {d} t}}}Zde je magnetické pole zachyceno solenoidem, což z něj dělá tok. Proto:
E=-dΦdt=-NE(μ0NEldidt)S{\ displaystyle e = - {\ frac {\ mathrm {d} \ Phi} {\ mathrm {d} t}} = - N \ vlevo ({\ frac {\ mu _ {0} \, N} {l} } {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}} \ vpravo) S}Přeskupením rovnice získáme:
E=-dΦdt=-μ0NE2Sldidt{\ displaystyle e = - {\ frac {\ mathrm {d} \ Phi} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac {\ mu _ {0} \, N ^ {2} \, S} {l}} {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}}}.
Takže identifikací s výše uvedeným vzorcem odvodíme výraz indukčnosti:
(E=-Ldidt){\ textstyle (e = -L \, {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}})}
L=μ0NE2Sl.{\ displaystyle L = \ mu _ {0} {\ frac {N ^ {2} S} {l}}.}Indukčnost L, která je proto určena geometrií solenoidu, ale je nezávislá na proudu.
Symbol L, který určuje indukčnost, byl zvolen na počest Heinricha Lenza, který jako jeden z prvních pracoval na elektromagnetické indukčnosti.
Jednotky
Jednotka indukčnosti je Henry (H) ve cti Joseph Henry , americký vědec, který objevil jev elektromagnetické indukce nezávisle na výzkum prováděný Angličanem Michael Faraday . Henryho lze vyjádřit v jednotkách mezinárodního systému následujícím způsobem:
[H=PROTINA/s=J/VSNA/s=kG⋅m2⋅s-2/(NA⋅s)NA⋅s-1=kG⋅m2NA2⋅s2=kG⋅m2VS2]{\ displaystyle {\ rm {\ left [H = {\ frac {V} {A / s}} = {\ frac {J / C} {A / s}} = {\ frac {kg \ cdot m ^ { 2} \ cdot s ^ {- 2} / (A \ cdot s)} {A \ cdot s ^ {- 1}}} = {\ frac {kg \ cdot m ^ {2}} {A ^ {2} \ cdot s ^ {2}}} = {\ frac {kg \ cdot m ^ {2}} {C ^ {2}}} \ vpravo]}}}Henry objevil tuto indukčnost tím, že ukázal, že změna intenzity proudu 1 ampér za 1 sekundu způsobí vznik elektromotorické síly 1 volt .
Hodnota indukčnosti podle geometrie
Na internetu existují kalkulačky pro výpočet indukčnosti podle geometrie.
Zde rychle popíšeme vzorce použité pro tyto výpočty.
- Solenoid sekce S , počtu závitů N , délky l , počtu závitů na jednotku délky n :
L=μ0NE2Sl=μ0Slne2{\ displaystyle L = {\ frac {\ mu _ {0} \, N ^ {2} \, S} {l}} = \ mu _ {0} \, S \, l \, n ^ {2} }
Φ=∫BdSΦ=∫nabμ0i2πr=μ0il2π∫nabdrrΦ=μ0l2πln(nab)i⟹EnedEriprotinanetdΦdt=μ0l2πln(nab)didt{\ displaystyle \ Phi = \ int B \; \ mathrm {d} S \ qquad \ Phi = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ mu _ {0} \, i} {2 \ pi \, r}} = {\ frac {\ mu _ {0} \, i \, l} {2 \ pi}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ mathrm {d} r} {r}} \ qquad \ Phi = {\ frac {\ mu _ {0} \, l} {2 \ pi}} \ ln \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) i \ quad {\ overset {\ rm {en \, derivant}} {\ Longrightarrow}} \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ Phi} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mu _ { 0} \, l} {2 \ pi}} \ ln \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}} }.
Identifikací získáváme .
L=μ0l2πln(nab){\ displaystyle L = {\ frac {\ mu _ {0} \, l} {2 \ pi}} \ ln \ vlevo ({\ frac {a} {b}} \ vpravo)}
Φ=NEBSΦ≈NEμ0NEi2πRS⟹EnedEriprotinanetdΦdt≈μ0SNE22πRdidt{\ displaystyle \ Phi = N \, B \, S \ qquad \ Phi \ cca N {\ frac {\ mu _ {0} \, N \, i} {2 \ pi \, R}} S \ quad { \ overset {\ rm {en \, derivant}} {\ Longrightarrow}} \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ Phi} {\ mathrm {d} t}} \ přibližně {\ frac {\ mu _ { 0} \, S \, N ^ {2}} {2 \ pi \, R}} {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}}}.
Identifikací máme: .
L≈μ0SNE22πR{\ displaystyle L \ cca {\ frac {\ mu _ {0} \, S \, N ^ {2}} {2 \ pi \, R}}}
- Obdélníková smyčka o šířce w , výšce h a poloměru a :
Φ=NE∫BdS=NEμ0NEi2π(∫naXydrr+∫nawXdrr+∫naXydrr+∫naXXdrr){\ displaystyle \ Phi = N \ int B \; \ mathrm {d} S = N \, {\ frac {\ mu _ {0} \, N \, i} {2 \ pi}} \ vlevo (\ int _ {a} ^ {x} {\ frac {y \, \ mathrm {d} r} {r}} + \ int _ {a} ^ {w} {\ frac {x \, \ mathrm {d} r } {r}} + \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {y \, \ mathrm {d} r} {r}} + \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {x \, \ mathrm {d} r} {r}} \ vpravo)}.
Identifikací máme: .
L=μ0NE2π[yln(Xna)+Xln(yna)]{\ displaystyle L = {\ frac {\ mu _ {0} N ^ {2}} {\ pi}} \ left [y \, \ ln \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) + x \, \ ln \ left ({\ frac {y} {a}} \ right) \ right]}
Typy a aplikace solenoidů
Solenoid se díky svým elektrickým a magnetickým vlastnostem používá v mnoha technologických aplikacích. Může být použit jako samostatná cívka . Můžeme přidat měkké železné jádro, v takovém případě to bude souviset s elektromagnetem . Můžeme také zajistit mezeru v jádře, která umožňuje potřebnou otvor pro čtení / zápis aplikací pro zařízení, jako jsou páskové magnetickou pásku nebo pevný disk z počítače .
Aplikace solenoidu je mnoho, protože je často spojen s jinými součástmi. Ve skutečnosti jsou cívky spojené s rezistorem a / nebo kondenzátorem obzvláště široce používány při filtrování: často nacházíme cívky v reproduktorech nebo zvukových zesilovačích. Má také elektromagnetické vlastnosti, protože spojené s magnetem ( elektromagnetem ) nebo jinou cívkou ( transformátor , Helmholtzovy cívky ...) mohou sloužit jako napěťový transformátor, motorový mechanismus, spínač nebo dokonce mikrofony.
Dnes se používají solenoidy, též spojené s jinými součástmi:
- V automobilovém průmyslu pro hydraulické nebo pneumatické ventily, pro blokování voličů převodovek, pro ovládání klimatizace, pro bezpečnostní systém nebo pro joysticky v simulačních hrách,
- V zabezpečení magnetických zavíracích mechanismů dveří v hotelech, kancelářích nebo oblastech s vysokým dohledem
- V medicíně pro dialyzační přístroje nebo stroje, které se používají k řízení toku léků vstřikovaných do krve pacienta,
- V průmyslu pro blokování, polohování, sevření, držení, otáčení, vychylování, ovládání ventilů několika strojů,
- V zemědělství pro řízení průtoku vzduchu a vody pomocí elektromagnetických ventilů, které například regulují průtok vody ve sprinklerových systémech nebo tlak vzduchu v klimatizačních systémech.
Solenoidy ovlivňují velkou část průmyslu, ale jejich aplikace jsou často zaměňovány s aplikacemi elektromagnetů. Proto budeme tyto dva případy řešit nezávisle.
Případ elektromagnetu
Měli byste vědět, že solenoid spojený s jádrem z měkkého železa generuje elektromagnet. Jakmile je proud zastaven, jádro z měkkého železa ztratí svoji magnetizaci. Elektromagnet je také používán pro mnoho aplikací a používá lineární solenoid a otočný elektromagnet je vysvětleno níže.
Lineární solenoid
Když zavedeme elektrický proud vodičem, vytvoří se magnetické pole. Vnitřek solenoidu je pohyblivý válec ze železa nebo oceli nazývaný různými jmény: armatura, píst nebo jádro. Magnetické pole proto působí na kotvu silou přitažlivou nebo odpudivou. Tato síla je úměrná změně indukčnosti cívky s přihlédnutím ke změně polohy kotvy a proudu protékajícího cívkou (Faradayův zákon indukce). Použitá síla vždy posune kotvu ve směru, který zvyšuje indukčnost cívky. Když je proud zastaven, magnetické pole se zastaví a pružina umožňuje zařízení vrátit se do své původní polohy. V závislosti na směru zvoleného proudu bude mít síla buď kladnou hodnotu (odpudivou) nebo zápornou hodnotu (atraktivní).
Existují dva hlavní typy lineárních solenoidů: Push a Pull. Jejich název odkazuje na akci, kterou bude mít síla na rám. V případě Push bude kotva držena uvnitř solenoidu pomocí pružiny. Když je aplikován proud, magnetické pole vytlačí kotvu ze solenoidu. Naproti tomu v případě Pull udržuje použitá pružina kotvu částečně mimo solenoid. Tentokrát, když je aplikován proud, síla vytáhne kotvu do solenoidu. Kotva se tedy používá k zajištění mechanické síly do systému, jako je ovládání pneumatického ventilu v automobilu, nebo pro blokovací mechanismus dveří, což je jedna z nejlepších aplikací tohoto typu solenoidu.
Rotační solenoid
V rotujícím elektromagnetu najdeme stejnou konfiguraci vinutí a armatury, ale s malou úpravou. K jednoduché konstrukci cívky a kotvy byl přidán rotující disk. Rám je namontován ve středu disku, jehož spodní část je drážkovaná. Tělo elektromagnetu je vyrovnáno s jeho drážkami a kuličková ložiska usnadňují pohyb. Když je aplikován proud, kotva se přesune zpět do vinutí. Tato lineární síla se přenáší na disk drážkami, a proto se stává rotační silou. Většina z těchto mechanismů je vybavena pružinou. Když je proud zastaven, pružina vrací kotvu do původní polohy mimo vinutí a obnoví polohu disku.
Případ solenoidu
Vzhledem k samotnému solenoidu můžeme uvést následující aplikace:
- Zajistěte odstranění rušení z napájecího zdroje nebo analogového signálu, poté hraje roli impedance
- Zkraťte anténu (cívka funguje jako zesilovač signálu)
- Nalaďte impedanci obvodu
- Vytvořte filtr pro konkrétní frekvenci nebo frekvenční pásmo
- Hladké jednosměrné proudy (šum je eliminován) nebo řízení růstu proudů v zařízeních výkonové elektroniky
- Skladujte elektromagnetickou energii. Energie je zcela uložena v magnetickém poli v jádru cívky. Pak můžeme vidět supravodivé cívky, které se nazývají SMES (Supravodivé úložiště energie magnetu).
- Působí jako spínač ovládaný v rámci magnetické regulace. Můžete použít transformátor připojený k baterii. Když je baterie odpojena, objeví se silná energie, která umožňuje transformátoru hrát roli posilovače. Pokud je baterie připojena, první cívka transformátoru se po odpojení baterie nabíjí a vybíjí ve druhé cívce. Cívka tedy slouží jako vypínač
- Slouží k osvětlení výbojkami, které používají magnetické a elektronické předřadníky (zářivky, halogenidové výbojky atd.).
Mnoho dalších aplikací je podrobně uvedeno pro cívky.
Magnetický monopole, lano Dirac
Pokud vezmeme v úvahu nekonečně dlouhý solenoid s velmi malým poloměrem, magnetické pole v celém prostoru je magnetickým polem .
Vnitřek solenoidu tvoří jedinečnost zvanou „ Diracova šňůra “, objekt, který nelze v praxi realizovat, ale který je užitečný v kvantové elektrodynamice .
Popis Diracova kabelu pomocí solenoidu umožňuje především konstrukci vektorového potenciálu magnetického pole ve všech prostorech kromě samotného kabelu.
V případě solenoidu můžeme definovat vektorový potenciál A tak, že :, s uniformami A a B v celém prostoru, s výjimkou uvnitř solenoidu.
∇.B=0{\ displaystyle \ nabla .B = 0}∇×NA=B{\ displaystyle \ nabla \ krát A = B}
Poznámky a odkazy
-
Solenoid , na webu cnrtl.fr
-
Divy vědy Svazek 1 (1867) - Louis Figuier, s. 1 719
-
http://physique-univ.fr/onewebmedia/Electromag-c7-site.pdf
-
(in) " Magnetické pole konečného solenoidu " ,Říjen 1960(zpřístupněno 17. dubna 2017 )
-
(in) AK Al-Shaikhli H. Fatima , K. Omar a A. Fadhil , „ Studium magnetického pole konečného solenoidu “ , Circuits and Systems , sv. 04, n o 03,Květen 2013, str. 316–322 ( DOI 10.4236 / cs.2013.43043 , číst online , přistupováno 17. dubna 2017 )
-
(in) „ Inductance - The Physics Hypertextbook “ na Fyzikálním hypertextu (přístup 18. září 2020 ) .
-
" Missouri S & T " na emclab.mst.edu (k dispozici na 1 I. dubna 2017 )
-
(in) „ Aplikace solenoidů v moderním světě “
-
„ Cívky “
-
(in) „ Co je intuitivní vysvětlení řetězce Dirac? » , Na Quora.com
Podívejte se také
Související články
Bibliografie
- John David Jackson ( překlad z angličtiny), klasická elektrodynamika [" Klasická elektrodynamika "] [ podrobnosti publikace ]
- Alfred S. Goldhaber a W. Peter Trower, " Resource Letter MM-1: magnetické monopoly ", v časopise American Journal of Physics , Volume 58, n O 5,Květen 1990
- Edmund E. Callaghan a Stephen H. Maslen, Magnetické pole konečného solenoidu , technická poznámka NASA D-465
- AK Al-Shaikhli, H. Fatima, K. Omar, A. Fadhil, J. Lina, Studium magnetického pole konečného solenoidu
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">