Magnetostatické

Magnetostatic je studium magnetismu v situacích, kdy je magnetické pole je nezávislá na čase.

Přesněji řečeno, magnetostatika se zabývá výpočtem magnetických polí, pokud jsou známy zdroje těchto polí. Existují dva možné zdroje magnetických polí:

na jedné straně elektrické proudy;
na druhé straně magnetická hmota.

Místní vztahy

Základní vztahy magnetostatiky jsou odvozeny z Maxwellových rovnic v hmotě odstraněním derivací s ohledem na čas. Když jsou tyto časové variace odstraněny, jsou rovnice elektřiny a magnetismu odpojeny, což umožňuje samostatné studium elektrostatiky a magnetostatiky. Základní vztahy magnetostatiky, psané v jejich místní formě, jsou:

\ nabla \ cdot {\ mathbf {B}} = 0

\ nabla \ times {\ mathbf {H}} = {\ mathbf {j}}

nebo

B označuje magnetické pole , někdy také nazývané magnetická indukce nebo hustota magnetického toku ;
H označuje magnetické buzení , někdy také nazývané magnetické pole ;
j je hustota elektrického proudu;
∇ je operátor nabla , který se zde používá k zápisu divergence (∇⋅) a rotačního (∇ ×).

Poznámka nejednoznačnost expresního magnetického pole , které mohou, podle souvislosti označují B nebo H . Ve zbytku článku budeme označovat pole explicitně B nebo H, kdykoli je důležité rozlišovat.

K výše uvedeným vztahům musíme přidat ten, který spojuje B a H :

{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \, (\ mathbf {H} + \ mathbf {M})}

nebo

M je magnetizace uvažovaného média;
μ 0 je základní konstanta nazývaná magnetická permeabilita vakua.

Vidíme, že rozdíl mezi B a H je opravdu užitečný pouze v magnetizovaných médiích (kde M ≠ 0 ). Předpokládá se, že magnetizace je známá, výše uvedený vztah umožňuje vypočítat B velmi jednoduše jako funkci H a naopak. V důsledku toho pokaždé, když chceme vypočítat magnetické pole, můžeme zvolit výpočet B nebo H lhostejně , druhé se odvodí okamžitě. Tyto dvě možnosti odpovídají dvěma přístupům k magnetostatickým výpočtům:

imperiální přístup;
Coulombův přístup.

Amperealní přístup

Přístup ampérienne snaží pro výpočet B . V současné době je ve vzdělávání upřednostňována, protože je blízko elektromagnetismu ve vakuu. Rovnice k řešení jsou:

\ nabla \ cdot {\ mathbf {B}} = 0

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \, (\ mathbf {j} + \ nabla \ times \ mathbf {M})}

Lze si všimnout, že pojem ∇ × M ve druhé rovnici působí jako další proud, což způsobilo, že byl interpretován jako mikroskopická proudová hustota (nazývaná vázaný proud ) vznikající z pohybu elektronů na jejich atomových drahách. Tato klasická interpretace kvantového jevu má však svá omezení: i když dostatečně dobře popisuje magnetismus vyplývající z orbitálního momentu hybnosti , plně nezohledňuje to spojené s rotací elektronů.

V praxi se amperický přístup upřednostňuje v situacích, kde není magnetizovaná hmota a pole je způsobeno výhradně proudem. Potom se umístíme v tomto případě, kde pak máme ∇ × B = μ 0 j . Najít obecný případ (v přítomnosti magnetického materiálu) jen nahradit j o j + ∇ x M .

Vázané povrchové proudy

Často se stává, že máme co do činění se systémy, které mají povrchy, kde je magnetizace diskontinuální. Pokud je například magnet s rovnoměrnou magnetizací ponořen do vakua, změní se magnetizace na povrchu magnetu diskontinuálně z konečné hodnoty (uvnitř) na nulu (venku). V tomto případě může být vázaná proudová hustota ∇ × M nekonečná. V takovém případě nahradíme na povrchu objemovou hustotu proudu vázaného na povrchovou hustotu :

{\ displaystyle \ mathbf {j} _ {ms} = (\ mathbf {M} _ {1} - \ mathbf {M} _ {2}) \ times \ mathbf {n} _ {12}}

kde M 1 a M 2 jsou magnetizace na každé straně diskontinuitního povrchu an 12 je jednotkový vektor kolmý k tomuto povrchu, orientovaný od 1 do 2. Účinek na pole tohoto povrchového proudu má vyvolat diskontinuitu B :

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \, \ Delta \ mathbf {M} _ {\ paralelní}}

nebo

Δ M a Δ B představují diskontinuity M a B (počítané ve stejném směru);
Δ M ∥ představuje část Δ M, která je rovnoběžná s povrchem.

Tato diskontinuita ovlivňuje pouze část B rovnoběžnou s povrchem. Normální část B zůstává spojitá.

Integrální vztahy

Použitím Stokesovy věty na místní vztahy lze získat dva zajímavé vztahy. Vztah ∇⋅ B = 0 nám dává:

{\ displaystyle \ int \! \! \! \! \! \! \! \ podmnožina \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {S} \ mathbf {B} \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}

kde integrální, který se rozprostírá přes celou uzavřenou plochu S, je tok z B . Toto je teorém o divergenci toku . Druhý vztah se získá integrací ∇ × B = μ 0 j na otevřeném povrchu S:

{\ displaystyle \ anoint _ {\! \! \! \! \ částečné S} \ mathbf {B} \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ mu _ {0} \ iint _ {S} \ mathbf { j} \ mathrm {d} \ mathbf {S}}

kde levý integrál je cirkulace B na obrysu S. Tento vztah je znám jako Ampereova věta . Pravá strana je interpretována jednoduše jako proud protékající povrchem.

Tyto integrální vztahy často umožňují vypočítat B jednoduše v situacích vysoké symetrie.

Příklad

Nebo vypočítat pole vytvořené nekonečným přímým vodičem. Úvahy o symetrii udávají orientaci pole: otáčí se v rovinách kolmých k vodivému drátu. Jeho modul lze vypočítat použitím Ampèrovy věty na povrch S ohraničený siločarou o poloměru a :

{\ displaystyle \ anoint _ {\! \! \! \! \ částečné S} \ mathbf {B} \ mathrm {d} \ mathbf {l} = 2 \, \ pi \, a \, B = \ mu _ {0} \, I}

kde I je proud vedený drátem. Dedukujeme modul B :

{\ displaystyle B = {\ frac {\ mu _ {0} \, I} {2 \, \ pi \, a}}}

Vidíme, že pole klesá v inverzním poměru ke vzdálenosti od drátu.

Vektorový potenciál

Divergence of B je nula, můžeme odvodit B z vektorového potenciálu A :

{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla \ krát \ mathbf {A}}

Aby byla zajištěna jedinečnost A , je obecně nuceno respektovat Coulombův rozchod :

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0}

Čím A je řešení Poissonovy rovnice :

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} + \ mu _ {0} \, \ mathbf {j} = \ mathbf {0}}

Integrované řešení

Můžeme ukázat, že A je dáno integrálem

{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \, \ pi}} \ iiint {\ frac {\ mathbf {j}} {r}} \ mathrm {d} v }

kde integrál zasahuje do celého prostoru (nebo alespoň do zón, kde j ≠ 0 ) a:

r označuje vzdálenost mezi aktuálním bodem integrálu a místem, kde se počítá A;
dv je prvek hlasitosti .

Podobně B je dáno:

{\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \, \ pi}} \ iiint {\ frac {\ mathbf {j} \ times \ mathbf {r}} {r ^ {3}}} \ mathrm {d} v}

nebo:

r je vektor přecházející z aktuálního bodu integrálu do bodu, kde se počítá B ;
r je modul r .

Tento poslední vztah je znám pod jménem Biotův a Savartův zákon .

V případě, že je magnetizován záležitost, musíme samozřejmě vzít v úvahu proudů spojených nahradí j by j + ∇ × M . V přítomnosti vázaných povrchových proudů je nutné přidat k objemovým integrálům povrchové integrály, které jsou odvozeny od předchozích pomocí substituce

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {M} \, \ mathrm {d} v \ longmapsto \ mathbf {j} _ {ms} \, \ mathrm {d} S}

Běžně se setkáváme se situací, kdy proud teče v závitovém obvodu a kde je část drátu zanedbávána. V tomto případě jsou objemové integrály pro A a B nahrazeny lineárními integrály podél drátu pomocí substituce

{\ displaystyle \ mathbf {j} \, \ mathrm {d} v \ longmapsto I \, \ mathrm {d} \ mathbf {l}}

kde I je proud v drátu a na délce prvku , orientovaného podél I .

Příklady

Nekonečné vlákno :

Můžeme si vzít předchozí příklad a vypočítat pole vytvořené nekonečným drátem podle zákona Biot a Savart :

{\ displaystyle B = {\ frac {\ mu _ {0} \, I} {4 \, \ pi}} \ int \ cos (\ theta) {\ frac {\ mathrm {d} l} {r ^ { 2}}} = {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \, \ pi}} \ int {\ frac {1} {a}} \ mathrm {d} (\ sin (\ theta)) = {\ frac {\ mu _ {0} \, I} {2 \, \ pi \, a}}}

Další příklady :

Pole vytvořené na ose kruhové cívky o poloměru R:

{\ displaystyle B = {\ frac {\ mu _ {0} \, I} {2}} {\ frac {R ^ {2}} {(R ^ {2} + z ^ {2}) ^ {3 / 2}}}}

Pole vytvořené nekonečně dlouhým solenoidem :

{\ displaystyle B = \ mu _ {0} \, n_ {1} \, I}

uvnitř solenoidu, pole venku nulové. Množství n 1 označuje počet závitů na jednotku délky.

Coulombův přístup

V přístupu Coulombova přikládá k výpočtu H . Tento přístup má kořeny v Coulombově práci na silách generovaných póly magnetů. Magnetici jej stále běžně používají. Jedná se o řešení rovnic pro H :

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {H} = \ rho _ {m}}

\ nabla \ times {\ mathbf {H}} = {\ mathbf {j}}

kde jsme definovali

{\ displaystyle \ rho _ {m} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {M}}

Analogicky s elektrostatikou se ρ m nazývá hustota magnetického náboje . Na rozdíl od elektrických nábojů nelze magnetické náboje izolovat. Toku divergence věta vskutku ukazuje, že celkový magnetický náboj vzorku hmoty je nulová. Magnet má proto vždy tolik kladného náboje (severní pól) jako záporného (jižní pól).

Magnetické povrchové náboje

V praxi se magnetický náboj často nachází ve formě lokalizovaného povrchového náboje na površích magnetu. Tento povrchový náboj je výsledkem diskontinuit složky M normálu k povrchu, kde -∇⋅ M je lokálně nekonečný. Takto nabité povrchy se nazývají póly magnetu. Kladně nabitým povrchem je severní pól, záporně nabitým povrchem je jižní pól. Na těchto površích se nahradí objemová hustota náboje povrchovou hustotou:

{\ displaystyle \ sigma _ {m} = (\ mathbf {M} _ {1} - \ mathbf {M} _ {2}) \ cdot \ mathbf {n} _ {12}}

Toto povrchové zatížení má za následek vyvolání diskontinuity H :

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {H} = - \ Delta \ mathbf {M} _ {\ perp}}

kde Δ M ⟂ je část Δ M, která je kolmá k povrchu. Tato diskontinuita ovlivňuje pouze část H kolmou k povrchu. Paralelní část H zůstává spojitá.

Integrální vztahy

Stejně jako v případě B tyto vztahy vyplývají z aplikace Stokesovy věty na místní vztahy. Umožňují také výpočet H v případech vysoké symetrie. Integrace ∇⋅ H = ρ m na konečný objem V dává:

{\ displaystyle \ int \! \! \! \! \! \! \! \ podmnožina \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {\ částečné V} \ mathbf { H} \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ iiint _ {V} \ rho _ {m} \ mathrm {d} v}

kde levé kolo, které se provádí na povrchu, definujícího V je proud vystupující H . Pravý člen není nic jiného než celkový náboj obsažený ve svazku. Druhý vztah se získá integrací ∇ × H = j na otevřené ploše S:

{\ displaystyle \ anoint _ {\! \! \! \! \ částečné S} \ mathbf {H} \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ iint _ {S} \ mathbf {j} \ mathrm {d } \ mathbf {S}}

kde vlevo je plný dopravní H na obrysu S. Toto je verze ampérech napsána pro H .

V praxi je Coulombův přístup upřednostňován v situacích, kdy je pole generováno výhradně magnetizovanou hmotou (magnety) při absenci elektrických proudů. Poté se v tomto případě umístíme, kde máme ∇ × H = 0 . V obecném případě, kdy existují proudy i magnety, bychom samostatně vypočítali příspěvek k H pocházející z proudů (imperiálním přístupem) a příspěvek pocházející z magnetů (Coulombovým přístupem).

Skalární potenciál

Protože jsme předpokládali ∇ × H = 0 (žádné proudy), můžeme odvodit H ze skalárního potenciálu φ podle:

{\ displaystyle \ mathbf {H} = - \ nabla \ phi}

přičemž φ je řešení Poissonovy rovnice :

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi + \ rho _ {m} = 0}

Skutečnost, že H pochází ze skalárního potenciálu, zatímco B pochází z vektorového potenciálu, často stojí za to, aby se Coulomb přiblížil ve prospěch numeriků.

Integrované řešení

Ukazujeme, stejně jako v elektrostatice, že φ a H jsou dány integrály:

{\ displaystyle \ phi = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ iiint {\ frac {\ rho _ {m}} {r}} \ mathrm {d} v}

{\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ iiint \ rho _ {m} {\ frac {\ mathbf {r}} {r ^ {3}}} ~ \ mathrm {d} v}

V častém případě, kdy existují povrchové náboje, je nutné k těmto integrálům přidat povrchové příspěvky, které se získají substitucí:

{\ displaystyle \ rho _ {m} \, \ mathrm {d} v \ longmapsto \ sigma _ {m} \, \ mathrm {d} S}

Podívejte se také

Související články

Bibliografie

Magnétisme: Fondements , kolektivní práce editoval Étienne Du Trémolet de Lacheisserie, EDP Sciences, ( ISBN 2-86883-463-9 ) .
(en) Hystereze v magnetismu: pro fyziky, vědce v oboru materiálů a inženýry , Giorgio Bertotti, Academic Press.