Podskupina s jedním parametrem

Podskupina na parametr části skupiny Lie skutečné G je lež skupina morfizmus c  : ℝ → G . Přesněji řečeno, c je rozlišitelná kontrola:

∀s,t∈R,vs.(t+s)=vs.(t)vs.(s){\ displaystyle \ forall s, t \ in \ mathbb {R}, c (t + s) = c (t) c (s)}

Vlastnosti

Odvozením tohoto vztahu s ohledem na proměnnou s a vyhodnocením na s = 0 to přijde:

∀t∈R,vs.′(t)=TELvs.(t)(vs.′(0)){\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R}, c '(t) = T_ {e} L_ {c (t)} \ left (c' (0) \ right)}

kde L c ( t ) označuje levé násobení o c ( t ). Podskupina na parametr získá jako oběžné dráze neutrálního prvku v vektorového pole invariantu vlevo od G . Takové pole X je určeno jeho hodnotou X ( e ) na neutrálním prvku e . Existuje tedy vzájemná korespondence mezi podskupinou jednoho parametru a tečným prostorem g z G do e  :

• se jakákoliv podskupina s parametrem C z G je spojena vektor c ' (0) v g  ;
• na jakýkoliv vektor v ze g je spojena podskupinu s parametrem c  : ℝ → G definuje diferenciální rovnice c '( t ) = T e L c ( t ) [ V ] a počáteční stav c ' (0) = v .

Jednoparametrické podskupiny přirozeně zasahují do definice exponenciální mapy Lieovy skupiny G  :

• exponenciální mapa je mapa exp: g → G definovaná exp ( v ) = c (1), kde c je podskupina jednoho parametru G asociovaná s X  ;
• libovolná jednoparametrická podskupina c je zapsána jednoznačně c ( t ) = exp ( t . v ), kde v = c '(0).

Příklady

Komutativní Lieova skupina

Libovolný konečný dimenzionální reálný vektorový prostor E je Lieova skupina, přičemž vnitřním zákonem je sčítání vektorů. Tečný prostor na 0 E se přirozeně identifikuje s E jako skutečný vektorový prostor. Podskupiny k parametru E jsou jednoduše aplikace t ↦ t . v , kde v běží E  :, které jsou parametrizované vektorové linie E .

Klasifikace komutativních Lieových skupin je známá a základní. Každý komutativní Lie skupina G je realizován jako podíl vektorového prostoru S pomocí diskrétní podskupiny podsítě E . Podskupiny parametr G Tímto způsobem se získá průchodem přímý kvocientu parametrizován E .

Důležitým příkladem je torus ℝ n / ℤ n . Jednoparametrovými podskupinami jsou aplikace c v  : t → t . v mod ℤ n, kde v prochází ℝ n . Objeví se různé chování:

• je-li v úměrné prvku mřížky ℤ n , c v je periodická mapa, ponoření reálné linie a lokální difeomorfismus ℝ na kruhu ℝ n / ℤ n  ;
• jinak je c ponoření do reálné linie, ale obraz není rozmanitý. V dimenzi n = 2 je obraz hustý v torusu. Ve vyšší dimenzi je adheze obrazu difeomorfní subvarieta k torusu a jsou dosažitelné všechny mezilehlé dimenze v rozmezí od 2 do n .

Rotační skupina

Pro jakýkoli nenulový vektor v ℝ 3 mapa R sdružující s t rotaci orientované osy ℝ. v a úhlu t je jednoparametrická podskupina skupiny rotací SO (3) v euklidovském prostoru.

Jedná se přesně o všechny jednoparametrické podskupiny SO (3). Je pozoruhodné poznamenat, že se jedná o periodické aplikace.

Připomínáme, že je běžné parametrizovat skupinu SO (3) čtveřicemi jednotek.

Podskupiny s jedním parametrem S 3 mají jako obrazy stopy skutečných vektorových rovin H obsahující 1. Jedná se o lokální difeomorfismy ℝ na velkých kruzích S 3 .

Jednoparametrická skupina difeomorfismů

Definici lze snadno zobecnit na Lieovy skupiny nekonečné dimenze. Standardní příklad je skupina difeomorfismů diferenciálního potrubí M dimenze n . Je možné například zavést pojem skupiny s jedním parametrem difeomorfismu .

Jednoparametrická skupina difeomorfismů je diferencovatelná mapa f  : ℝ × M → M tak, že sekce f t jsou difeomorfismy potrubí M splňující:

∀t,s∈R,Ft+s=Ft∘Fs{\ displaystyle \ forall t, s \ in \ mathbb {R}, f_ {t + s} = f_ {t} \ circ f_ {s}}

Je to jednoduše rozlišitelná akce na ℝ milionů .

Tuto představu je třeba porovnat s polem vektorů:

• v každé skupině s parametrem difeomorfismus f o M je spojena jedinečné pole vektorů X o M dána vztahem: ∀t∈R,ddtFt(X)=X[Ft(X)]{\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R}, {\ frac {d} {dt}} f_ {t} (x) = X \ left [f_ {t} (x) \ right]} ;
• Naopak, pokud M je kompaktní , jakýkoliv vektor pole X na M je spojena s jediným skupiny na parametr difeomorfismus f určena vztahem výše, a nazývá proud pole X .

Pole je pak považováno za globální .

Pokud má M více struktury (například Riemannovo potrubí , symplektické potrubí nebo kontaktní potrubí ), můžeme chtít, aby sekce f t tuto strukturu zachovaly; v tomto případě je termín diffeomorfismus nahrazen upravenou slovní zásobou.