Čtveřice

V matematice , je čtveřice je číslo v generalizované smyslu. Čtvrtiny zahrnují reálná a komplexní čísla v číselném systému, kde násobení již není komutativním zákonem . Čtvrtiny představil matematik Ir William William Rowan Hamilton v roce 1843. Nyní nacházejí uplatnění v matematice, ve fyzice , ve výpočetních a technických vědách .

Quaterniony jsou tedy prvním příkladem hyperkomplexních čísel . Podle Frobeniovy věty jsou také poslední v tom smyslu, že neexistuje obecnější číselný systém, pokud se jeden nezřekne asociativity násobení. Matematicky je množina čtveřic je sjednocen asociativní algebra nad tělesem reálných čísel generovaného tří prvků , a splňující kvaternionové vztahů : $\ mathbb {H}$ ${\ textstyle \ mathbb {R}}$ $i$ $j$ $k$

i ^ {2} = j ^ {2} = k ^ {2} = ijk = -1

Je to algebra rozdělení : jakýkoli nenulový kvaternion připouští inverzi. Násobení čtveřic, které nejsou komutativní , je prvním příkladem nekomutativního pole . $\ mathbb {H}$

V publikaci o oktonionech matematik John Baez připomíná postupnou ztrátu vlastností: reálné jsou úplné a uspořádané, komplexy nejsou uspořádané, ale chovají se „algebraicky dobře“, čtveřice již nejsou komutativní a oktoniony již nejsou dokonce asociativní .

Příběh

Kvaterniony „objevil“ Hamilton v roce 1843 . Důležitými předchůdci jeho díla jsou Identita čtyř čtverců Eulera (1748) a vzorec Euler-Rodrigues (1840). Gauss také „objevil“ čtveřice v roce 1819, ale jeho práce byla publikována až v roce 1900.

Hamilton věděl, že ve dvojrozměrné rovině mohou být zastoupena komplexní čísla, a dlouho hledal operaci v trojrozměrném prostoru, která by zobecnila komplexní násobení. Frobenius v roce 1877 ukáže, že tento výzkum byl marný , bylo nutné zavést další rozměr. Podle Hamiltona došlo k jiskře16. října 1843, když šel se svou ženou po královském kanálu v Dublinu . Řešení k němu přišlo ve formě vztahů . Tento vzorec vyryl do kamene Broughamského mostu . Tento nápis, který byl nyní vymazán časem, byl nahrazen pamětní deskou. Dal své jméno čtveřicím a zbytek svého života věnoval jejich studiu a šíření. $i ^ {2} = j ^ {2} = k ^ {2} = ijk = -1$

V Hamiltonově brázdě byla objevena další „čísla“, například octoniony , označovaná jako hyperkomplexní čísla . Čtveřice a hyperkomplexní jiní však byly opuštěny ve prospěch vektorové analýzy na konci XIX th století. Oni zažili oživení od konce XX -tého století, a to zejména v některých technických věd , protože reprezentace, které poskytují prostorové rotace, který se vyhýbá nepřehledná matrice.

Definice

Násobilka(barevná pole ukazují nekomutativitu násobení)

×	$1$	$i$	$j$	$k$
$1$	$1$	$i$	$j$	$k$
$i$	$i$	$-1$	$k$	$- j$
$j$	$j$	$- k$	$-1$	$i$
$k$	$k$	$j$	$- i$	$-1$

Sada čtveřic může být popsán jako jednotící asociativní algebry nad reálných čísel generovaných tři prvky , a který splňuje kvaternionové vztahy . $\ mathbb {H}$ $\ mathbb {R}$ $i$ $j$ $k$ $i ^ {2} = j ^ {2} = k ^ {2} = ijk = -1$

Konkrétně je jakýkoli čtveřice napsána jedinečným způsobem ve formě ${\ textstyle q}$

q=Na+bi+vsj+dk{\ Displaystyle q = a + bi + cj + dk}

{\ Displaystyle q = a + bi + cj + dk}

kde , , a jsou reálná čísla , a jsou tři symboly.

Na

b

vs

d

i

j

k

Čtvrtiny se sčítají a množí stejně jako jiná čísla ( asociativita násobení a sčítání, distributivita násobení nad sčítáním atd. ), Přičemž dávejte pozor, abyste si nedovolili změnit pořadí faktorů v produktu (násobení není komutativní), s výjimkou skutečného faktor. Pokud jsou produkty, symbolů , a se setkal, jsou nahrazeny svými hodnotami: $i$ $j$ $k$

{\ begin {alignedat} {4} i ^ {2} & = - 1, & \ qquad ij & = k, & \ qquad ji & = - k, \\ j ^ {2} & = - 1, & \ qquad jk & = i, & kj & = - i, \\ k ^ {2} & = - 1, & \ qquad ki & = j, & ik & = - j, \ end {alignedat}}

Vzorec kondenzuje všechny tyto vztahy. $i ^ {2} = j ^ {2} = k ^ {2} = ijk = -1$

Například vynásobme čtveřice a : $q_ {1} = 3i-k$ $q_ {2} = 2 + j + k$

q1q2=(3i-k)(2+j+k)=3i(2+j+k)-k(2+j+k)=6i+3ij+3ik-2k-kj-k2=6i+3k-3j-2k+i+1=1+7i-3j+k.{\ Displaystyle {\ begin {aligned} q_ {1} \, q_ {2} & = (3i -k) (2 + j + k) \\ & = 3i (2 + j + k) -k (2+ j + k) \\ & = 6i + 3ij + 3ik-2k-kj-k ^ {2} \\ & = 6i + 3k-3j-2k + i + 1 \\ & = 1 + 7i-3j + k \ ,. \ end {aligned}}} ${\ Displaystyle {\ begin {aligned} q_ {1} \, q_ {2} & = (3i -k) (2 + j + k) \\ & = 3i (2 + j + k) -k (2+ j + k) \\ & = 6i + 3ij + 3ik-2k-kj-k ^ {2} \\ & = 6i + 3k-3j-2k + i + 1 \\ & = 1 + 7i-3j + k \ ,. \ end {aligned}}}$

Jako reálný vektorový prostor, je kanonicky izomorfní k , na základě roku je dán Quadrupletu . $\ mathbb {H}$ ${\ mathbb {R}} ^ {4}$ $\ mathbb {H}$ $(1, i, j, k)$

Stejně jako všechny uniferous algebry , obsahuje základní pole ve svém středu ; ve skutečnosti existuje rovnost dvou: reálné jsou jedinečné čtveřice, které dojíždějí se všemi ostatními. také obsahuje pole komplexů : výraz může označit lhostejně komplexní číslo nebo čtveřice (je to pohodlný způsob, jak vyjádřit skutečnost, že existuje jediný morfismus algebry, který vysílá komplexní číslo obvykle uvedené na čtveřici ). Přirozeně jde zejména o -vektorový prostor dimenze 2. Jako algebru může být reprezentována jako subalgebra maticových algeber a (viz níže). $\ mathbb {H}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {H}$ $\ mathbb {C}$ $z = a + bi$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ hookrightarrow \ mathbb {H}}$ $i$ $i$ $\ mathbb {H}$ $\ mathbb {C}$ $\ mathbb {H}$ ${\ mathcal {M}} _ {4} (\ mathbb {R})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {2} (\ mathbb {C})}$

Stejně jako jakékoli nenulové reálné nebo komplexní číslo má jakýkoli nenulový čtveřice inverzní (jedinečný, nutně). je tedy nekomutativní pole , v tomto případě a - divize algebra . Tyto věta Frobeniovy zajišťuje, že se jedná o jediný algebra asociativní konečný-rozměrný dělení a unital kromě reálných čísel a komplexních čísel . Pokud dovolíme ztrátu asociativity násobení, najdeme také algebru oktonionů . $\ mathbb {H}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$

Skutečné a imaginární části, konjugace, norma a inverze

Je čtveřice (kde , , a jsou reálná čísla). $q = a + bi + cj + dk$ $Na$ $b$ $vs$ $d$

Skutečné číslo se nazývá skutečná (nebo skalární) část a je zaznamenáno . Čtverec , nazývaný čistě imaginární , se nazývá imaginární (nebo vektorová) část a je známý . Takže můžeme psát . $Na$ $q$ $\ operatorname {Re} (q)$ $bi + cj + dk$ $q$ $\ operatorname {Im} (q)$ $q = \ operatorname {Re} (q) + \ operatorname {Im} (q)$

Čtveřice se nazývá (kvaternionové) konjugát z a je třeba poznamenat, (jsou použity jiné značení, například a ). Kvaternionové časování je involutive anti- automorphism : je -Lineární, involutive a obrátí produkty: máme vždy . ${\ displaystyle \ operatorname {Re} (q) - \ operatorname {Im} (q)}$ $q$ $\ overline {q}$ $q ^ {*}$ $q ^ {t}$ $q \ mapsto \ overline {q}$ $\ mathbb {H}$ $\ mathbb {R}$ $\ overline {q_ {1} \, q_ {2}} = \ overline {q_ {2}} \, \, \ overline {q_ {1}}$

Kladné reálné číslo definován se nazývá normu o . Je to euklidovská norma spojená s obvyklým skalárním součinem . Díky vlastnostem kvaternionové konjugace je tato norma multiplikativní: vždy máme . $\ Zelená q \ Zelená$ $\ Green q \ Green ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = q \, \ overline {q}$ $q$ ${\ mathbb {R}} ^ {4}$ $\ Zelená q_ {1} \, q_ {2} \ Zelená = \ Zelená q_ {1} \ Zelená \, \ Zelená q_ {2} \ Zelená$

Jakýkoli nenulový čtveřice připouští (jedinečnou) inverzi danou . To umožňuje dělení čtveřice nenulovým čtveřicí , ale toto dělení lze provést vlevo nebo vpravo (obecně neprodukuje stejný výsledek): nebo . Z tohoto důvodu je zápis nejednoznačný a neměl by být používán. $q$ $q ^ {{- 1}} = {\ frac {1} {\ Green q \ Green ^ {{2}}}} \ overline {q}$ $q_ {1}$ $q_ {2}$ ${q_ {2}} ^ {{- 1}} \, q_ {1}$ $q_ {1} \, {q_ {2}} ^ {{- 1}}$ ${\ frac {q_ {1}} {q_ {2}}}$

Maticové reprezentace

Stejně jako je možné přiřadit matici ke komplexnímu číslu , je možné přiřadit matice ke čtveřicím. Existují dva standardní způsoby, jak toho dosáhnout, prvním je použití reálných matic o rozměru 4 × 4, druhým je použití komplexních matic o rozměru 2 × 2. Tyto asociace nám umožňují identifikovat se jako subalgebra a . $z = a + ib \,$ ${\ begin {pmatrix} a & -b \\ b & a \ end {pmatrix}} \,$ $\ mathbb {H}$ ${\ mathcal {M}} _ {4} (\ mathbb {R})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {2} (\ mathbb {C})}$

Reprezentace čtveřic jako matice 4 × 4 reálných čísel

Pojďme jednat podle sebe násobením vlevo. Tato akce je lineární a věrná, proto definuje morfismus injektivních algeber . Matice spojená s čtveřicí je následující matice $\ mathbb {H}$ $\ mathbb {R}$ ${\ mathbb {H}} \ hookrightarrow \ operatorname {End} _ {{\ mathbb {R}}} ({\ mathbb {H}}) \ cca {\ mathcal {M}} _ {4} (\ mathbb { R}).$ $q = a + bi + cj + dk \,$

(Na-b-vs-dbNa-dvsvsdNa-bd-vsbNa){\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} \ quad a & \ quad -b & \ quad -c & \ quad -d \\\ quad b & \ quad a & \ quad -d & \ quad c \\\ quad c & \ quad d & \ quad a & \ quad -b \\\ quad d & \ quad -c & \ quad b & \ quad a \ end {pmatrix}} \,}

{\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} \ quad a & \ quad -b & \ quad -c & \ quad -d \\\ quad b & \ quad a & \ quad -d & \ quad c \\\ quad c & \ quad d & \ quad a & \ quad -b \\\ quad d & \ quad -c & \ quad b & \ quad a \ end {pmatrix}} \,}

Reprezentace čtveřic jako 2 × 2 matice komplexních čísel

Výběrem základ ve jako -vector prostor identifikuje až . Z důvodů nekomutativity je zde výhodnější považovat jej za prostor pravého vektoru . Čtverec je tedy identifikován s dvojicí, jako je , a to . $(1, j)$ $\ mathbb {H}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {H}$ ${\ mathbb {C}} ^ {2}$ $\ mathbb {H}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $q = a + bi + cj + dk \,$ ${\ Displaystyle (z_ {1}, z_ {2}) \ in \ mathbb {C} ^ {2}}$ $q = z_ {1} + jz_ {2}$ $z_ {1} = a + bi$ ${\ displaystyle z_ {2} = c-di}$

Jednejme o vynásobením vlevo. Tato akce je -Lineární (což by nemělo být v případě, kdy jsme zvažovali -vector prostor na levé straně). Je také věrný, takže definuje morfismus injektivních algeber Matice spojená s čtveřicí je matice: $\ mathbb {H}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ přibližně \ mathbb {C} ^ {2}}$ $\ mathbb {C}$ $\ mathbb {H}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {H} \ hookrightarrow \ operatorname {End} _ {\ mathbb {C}} (\ mathbb {H}) \ zhruba {\ mathcal {M}} _ {2} (\ mathbb {C}) .}$ $q = a + bi + cj + dk \,$

Mq=(Na+ib-vs-divs-diNa-ib){\ displaystyle M_ {q} = {\ begin {pmatrix} a + ib & -c-di \\ c-di & a-ib \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle M_ {q} = {\ begin {pmatrix} a + ib & -c-di \\ c-di & a-ib \ end {pmatrix}}}

nebo také , kde matice , , a jsou komplexní matrice spojené s čtveřic , , a resp. Tyto matice jsou úzce spjaty s maticemi Pauli v kvantové fyzice . $M_ {q} = a {\ mathbf {1}} + bI + cJ + dK$ ${\ mathbf {1}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}$ $I = {\ begin {pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \ end {pmatrix}}$ $J = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}$ $K = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ - i & 0 \ end {pmatrix}}$ $1$ $i$ $j$ $k$

Jednotkové kvaterniony a polární forma

Tyto čtveřice jednotky jsou, samozřejmě, čtveřice z normy 1.

Polární tvar

Libovolný nenulový kvaternion lze zapsat jednoznačně ve formě , kde je striktně kladné reálné číslo a je jednotkový kvaternion. $q$ $q = \ rho \, u$ $\ rho = \ Zelená q \ Zelená$ $u = {\ frac {1} {\ Green q \ Green}} q$

Analogicky ke komplexním číslům modulu 1 lze jakýkoli jednotkový kvaternion zapsat jako , kde je skutečné číslo a je čistě imaginární jednotkový kvaternion. Zápis lze považovat za jednoduchý zápis označující čtveřice , ale exponenciální funkce v čtveřicích lze definovat obvyklou exponenciální řadou. $u$ $u = e ^ {{\ theta s}} = \ cos (\ theta) + \ sin (\ theta) s$ $\ theta$ $s$ $e ^ {{\ theta s}}$ $\ cos (\ theta) + \ sin (\ theta) s$

Nakonec je libovolný čtveřice napsána ve formě , kde je kladné reálné číslo, je reálné číslo a je čistě imaginární jednotkou čtveřice. Můžeme si povšimnout, že rozklad kvartérního argumentu není ojedinělý, pokud není uložen například (tedy zvolit jej na jednotkovou sféru s nulovou skutečnou částí, to znamená ani 1 ani -1) a uložit volbu skutečný v pootevřeném intervalu šířky ). $q = \ rho e ^ {{\ theta s}} = \ rho \ left (\ cos (\ theta) + \ sin (\ theta) s \ right)$ $\ rho = \ Zelená q \ Zelená$ $\ theta$ $s$ ${\ displaystyle \ theta s \ over i}$ ${\ Displaystyle \ Green s \ Green = 1}$ $\ theta$ $2 \ ft$

Zejména je možné rozpoznat Eulerovu identitu v tomto psaní kvaternionu , kde rozklad dává jednotný modul a komplexní argument se rozkládá například na , ale pouze v případě, že ukládá unitární a například v . ${\ Displaystyle -1 = e ^ {\ pi i}}$ ${\ displaystyle \ rho = 1}$ ${\ displaystyle {\ theta s \ over i} = \ pi}$ ${\ displaystyle \ theta = 1, s = \ pi i}$ ${\ Displaystyle \ theta = \ pi, s = i}$ $s$ $\ theta$ $]-\Čurat ]$

Skupina Sp (1)

Čtverce jednotek tvoří multiplikativní skupinu (podskupinu ). Je to známá Lieova skupina . ${\ mathbb {H}} ^ {\ times} = {\ mathbb {H}} \ setminus \ {0 \}$ $\ operatorname {Sp} (1)$

Topologicky je sféra dimenze 3, protože je jednotkovou sférou $\ operatorname {Sp} (1)$ $S ^ {3}$ $({\ mathbb {H}}, \ Vert \ cdot \ Vert) \ cca \ mathbb {R} ^ {4}.$

Působení levého násobení představuje všechny automorfismy jako pravo dimenzionální 1-vektorový prostor, což jsou izometrie, z tohoto důvodu lze nazvat hyperunitární skupina 1. úrovně a lze ji také zaznamenat . $\ operatorname {Sp} (1)$ $\ mathbb {H}$ $\ mathbb {H}$ $\ mathbb {H}$ $\ operatorname {Sp} (1)$ $\ operatorname {U} (1, {\ mathbb {H}})$

Dále dolů je vysvětleno, že je dvojitý potah ze speciální ortogonální skupiny , který ukazuje zejména to, že má pro základní skupinu a univerzální krytinou . je tedy také skupina spinorů . $\ operatorname {Sp} (1)$ $\ operatorname {SO} (3)$ $\ operatorname {SO} (3)$ $\ Z / 2 \ Z$ $\ operatorname {Sp} (1) \ přibližně S ^ {3}$ $\ operatorname {Sp} (1)$ $\ operatorname {Spin} (3)$

Na druhou stranu se identifikace jako subalgebry identifikuje s jednotnou speciální skupinou . $\ mathbb {H}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {2} (\ mathbb {C})}$ $\ operatorname {Sp} (1)$ $\ operatorname {SU} (2)$

Čtvrtiny a geometrie R 3

Skalární a vektorové díly, Hamiltonův produkt

Označte množinu čistých imaginárních čtveřic, takže . Vybaven základnou a indukovanou euklidovskou normou, je 3-dimenzionální euklidovský prostor kanonicky izomorfní . Pod tímto izomorfismem je vektor identifikován s čistým imaginárním kvaternionem a můžeme si dovolit označit quaternion jako . Použije-li se tento zápis je obvyklé volat na skalární část a i jeho vektorový část . $\ operatorname {Im} {\ mathbb {H}}$ ${\ mathbb {H}} = \ mathbb {R} \ oplus \ operatorname {Im} {\ mathbb {H}}$ $(i, j, k)$ $\ operatorname {Im} {\ mathbb {H}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ ${\ vec {v}} \ in \ mathbb {R} ^ {3} = (b, c, d)$ $bi + cj + dk \ in \ operatorname {Im} {\ mathbb {H}}$ $q = a + bi + cj + dk \,$ $q = a + {\ vec {v}}$ $Na$ $q$ ${\ vec {vb}}$

Produkt Hamilton (tj. Produkt čtveřice) z a je pak dán vztahem: $q_ {1} = a_ {1} + {\ vec {v_ {1}}}$ $q_ {2} = a_ {2} + {\ vec {v_ {2}}}$

q1q2=(Na1+proti1→)(Na2+proti2→)=Na+proti→{\ displaystyle q_ {1} q_ {2} = (a_ {1} + {\ vec {v_ {1}}}) (a_ {2} + {\ vec {v_ {2}}}) = a + { \ vec {vb}}}

{\ Displaystyle q_ {1} q_ {2} = (a_ {1} + {\ vec {v_ {1}}}) (a_ {2} + {\ vec {v_ {2}}}) = a + { \ vec {vb}}}

nebo: Na=Na1Na2-proti1→⋅proti2→Etproti→=Na1proti2→+Na2proti1→+proti1→∧proti2→.{\ Displaystyle a = a_ {1} a_ {2} - {\ vec {v_ {1}}} \ cdot {\ vec {v_ {2}}} \ qquad \ mathrm {and} \ qquad {\ vec {v }} = a_ {1} {\ vec {v_ {2}}} + a_ {2} {\ vec {v_ {1}}} + {\ vec {v_ {1}}} \ klín {\ vec {v_ {2}}} \,.}

{\ Displaystyle a = a_ {1} a_ {2} - {\ vec {v_ {1}}} \ cdot {\ vec {v_ {2}}} \ qquad {\ mathrm {and}} \ qquad {\ vec {v}} = a_ {1} {\ vec {v_ {2}}} + a_ {2} {\ vec {v_ {1}}} + {\ vec {v_ {1}}} \ klín {\ vec {v_ {2}}} \,.}

Zde značí skalární produkt v a na součin . Zejména (take ) lze skalární součin a zkřížený součin dvou vektorů in "obnovit", respektive jako skalární část (až ke znaménku) a vektorovou část jejich Hamiltonova součinu.

{\ vec {v_ {1}}} \ cdot {\ vec {v_ {2}}}

\ mathbb {R} ^ {3}

{\ vec {v_ {1}}} \ klín {\ vec {v_ {2}}}

a_ {1} = a_ {2} = 0

\ mathbb {R} ^ {3}

Jednotkové kvaterniony a prostorové rotace

Uvažujme akci on

konjugací : akce čtveřice je dána vztahem . Tato akce zachovává rozklad . Jádrem akce je průnik s centrem (což je ), viz . Tato akce je navíc izometrická z multiplikativity normy a lze ověřit, že zachovává orientaci. Akce vyvolaná proto definuje morfismus skupin

\ operatorname {Sp} (1)

\ mathbb {H}

u \ in \ operatorname {Sp} (1)

q \ v {\ mathbb {H}} \ mapsto c_ {u} (q): = uqu ^ {{- 1}}

{\ mathbb {H}} = \ mathbb {R} \ oplus \ operatorname {Im} {\ mathbb {H}}

\ operatorname {Sp} (1)

\ mathbb {H}

\ mathbb {R}

\ {\ pm 1 \}

\ operatorname {Im} {\ mathbb {H}} \ přibližně \ mathbb {R} ^ {3}

vs:Sp⁡(1)→SÓ(Im⁡H)≈SÓ(3)u↦(vsu:q↦uqu-1){\ displaystyle {\ begin {aligned} c \ colon \ operatorname {Sp} (1) & \ to SO (\ operatorname {Im} \ mathbb {H}) \ cca SO (3) \\ u & \ mapsto (c_ {u}: q \ mapsto uqu ^ {- 1}) \ end {zarovnáno}}}

{\ displaystyle {\ begin {aligned} c \ colon \ operatorname {Sp} (1) & \ to SO (\ operatorname {Im} {\ mathbb {H}}) \ cca SO (3) \\ u & \ mapsto (c_ {u}: q \ mapsto uqu ^ {{- 1}}) \ end {zarovnáno}}}

jehož jádro je . Není obtížné ověřit, že pokud označujeme v polární formě , pak je rotace osy směrována (a směrována) o úhel . Morfismus je zejména surjektivní, proto vyvolává izomorfismus .

\ {\ pm 1 \}

u \ in \ operatorname {Sp} (1)

u = e ^ {{\ theta s}} = \ cos (\ theta) + \ sin (\ theta) s

c_ {u}

s

2 \ theta

c: \ operatorname {Sp} (1) \ to \ operatorname {SO} (3)

\ operatorname {Sp} (1) / \ {\ pm 1 \} {\ stackrel {\ sim} {\ to}} \ operatorname {SO} (3)

Zobecnění

Aplikace

Ve strojírenských vědách

Čtveřice a hyperkomplexní jiné byly opuštěny ve prospěch vektorové analýzy od konce XIX th století. Oni zažili oživení od konce XX -tého století pro výpočet v trojrozměrném prostoru, a to zejména proto, že reprezentace poskytují prostorové rotace. Ten je silnější z výpočetního hlediska, než zastoupení matrice (protože více kompaktní, efektivní a numericky stabilní), a nemá nevýhodu blokování kardanový z úhly Eulera . Poskytuje také pohodlný způsob výpočtu interpolace mezi dvěma rotacemi (po geodetickém zapnutí ). $S ^ {3}$

Používají se zejména v počítačové grafice , robotice , teorii řízení , zpracování signálu , molekulární dynamice , prostorové mechanice , teorii řízení . Například je běžné, že se systémy řízení pohybu kosmické lodi řídí pomocí čtveřic.

Ve fyzice

Ve fyzice se čtveřice objevují v krystalografii , kvantové mechanice a kosmologii .

V matematice

V matematice nacházejí uplatnění zejména v teorii čísel a v diferenciální geometrii .

Podívejte se také

APL (jazyk)

Quaternion reprezentace (v)
Structure quaternion (en)
Kvaterniony a rotace v prostoru
Octonion
Sedenion

Reference

Dopis Johnu T. Gravesovi (in) , je Quaternions; nebo na novém Systému imaginářů v Algebře , 17. října 1843.
Boris Abramovich Rozenfelʹd , Historie neeuklidovské geometrie: Evoluce pojmu geometrického prostoru , Springer,1988, 471 str. ( ISBN 978-0-387-96458-4 , číst online ) , s. 385
(in) John Baez, „ Octonions “ , Bulletin of the American Mathematical Society ,2002( číst online ) :
" Skutečná čísla jsou spolehlivým živitelem rodiny, kompletním uspořádaným polem, na které se všichni spoléháme." Složitá čísla jsou o něco zářivější, ale stále úctyhodného mladšího bratra: nejsou uspořádaní, ale algebraicky úplní. Kvaterniony, protože jsou nekomutativní, jsou výstředním bratrancem, kterému se vyhýbají na důležitých rodinných setkáních. Ale octonioni jsou šílený starý strýc, kterého nikdo nepustí z podkroví: jsou neasociační »
„ Imaginární čísla, čtveřice “ , na villemin.gerard.free.fr (přístup 5. července 2021 )
(v) [PDF] Čísluje hyperkomplexní APL

Bibliografie

(en) BL Van Der Waerden, „ Hamiltonův objev čtveřic “ , Mathematics Magazine , roč. 49, n o 5,1976, str. 227-234 ( DOI 10.1080 / 0025570X.1976.11976586 )