Povrch (analytická geometrie)
V analytické geometrii jeden představuje povrchy , to znamená množinu bodů, na kterých je lokálně možné se lokalizovat pomocí dvou skutečných souřadnic , pomocí vztahů mezi souřadnicemi jejich bodů, které se nazývá rovnice povrchu
nebo parametrickými reprezentace.
Tento článek studuje vlastnosti povrchů, které tento přístup (často nazývaný vnější ) umožňuje popsat. Podrobnější výsledky najdete v části Diferenciální geometrie povrchů .
Afinní vlastnosti
V tomto článku se předpokládá, že jsme poskytli prostor souřadnicovému systému , ve kterém jsou vyjádřeny všechny souřadnice.
Parametrické znázornění
Parametrizované ubrus jsou údaje ze tří funkce dvou proměnných (definované na otevřeném disku, obdélník nebo obecněji otevřený jedním z )
R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}
X=F(u,proti),y=G(u,proti)z=h(u,proti){\ Displaystyle x = f (u, v), \, y = g (u, v) \, z = h (u, v)}.
které představují souřadnice bodu M vzhledem k souřadnicovému systému(Ó,i→,j→,k→){\ displaystyle (O, {\ overrightarrow {i}}, {\ overrightarrow {j}}, {\ overrightarrow {k}})}
Chceme říci, že povrch je obrazem parametrizovaného ubrusu. Je ale nutná určitá opatření: pokud vezmeme f ( u , v ) = u , g ( u , v ) = h ( u , v ) = 0, máme parametrizovaný ubrus, jehož obraz je přímka.
V případě, že je injektivní, jakýkoli bod M z S připouští jedinečnou dvojici ( u , v ) pro předchůdce.
F→=(F,G,h){\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = (f, g, h)}
Důležitým konkrétním případem parametrizované vrstvy je graf funkce dvou proměnných: když . Poté získáme povrch představovaný kartézskou rovnicí .
X=u,y=proti,z=h(u,proti){\ displaystyle x = u, y = v, z = h (u, v)} z=h(X,y){\ displaystyle z = h (x, y)}
Rovnice povrchu
Vzhledem k funkci H tří proměnných je množina bodů M, jejichž souřadnice v referenčním rámci, který jsme si sami ověřili, H (x, y, z) = 0 povrch. Když se v okolí bodu z S , rovnice může být řešena v Z , jsme přivezli, v této oblasti, aby karteziánské rovnice . To je případ, kdy .
(X0,y0,z0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}H(X,y,z)=0{\ displaystyle H (x, y, z) = 0}z=h(X,y){\ displaystyle z = h (x, y)}∂H∂z(X0,y0,z0)≠0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné H} {\ částečné z}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ not = 0}
Více informací
Pokud je člověk spokojen s hledisky, která mu předcházejí, získá příklady, které by bylo lepší vyloučit (srov. Ubrus ). Přechod z parametrizace na rovnici nebo naopak není snadný.
(u,proti)↦(u,0,0){\ displaystyle (u, v) \ mapsto (u, 0,0)}
Parametrizovaný ubrus je pravidelný, pokud
F→=(F,G,h){\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = (f, g, h)}
-
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}je třídaVS1{\ displaystyle C ^ {1}}
- vektory a jsou všude lineárně nezávislé.∂F→∂u{\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ overrightarrow {F}}} {\ částečné u}}}∂F→∂proti{\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ overrightarrow {F}}} {\ částečné v}}}
Příklady
- Parametrizovaný ubrus spojený s povrchem kartézské rovnice z = h ( x , y ) je pravidelný (pokud h je )VS1{\ displaystyle C ^ {1}}
- Pokud F je a jeho parciální derivace se nezruší současně , pak je lokálně graf podle věty o implicitní funkci.VS1{\ displaystyle C ^ {1}}F-1(0){\ displaystyle F ^ {- 1} (0)}F-1(0){\ displaystyle F ^ {- 1} (0)}
Ve skutečnosti je zvláštním případem věty o implicitní funkci následující výsledek.
Věta - Pro část jsou ekvivalentní následující dvě vlastnosti:
S⊂R3{\ displaystyle S \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {3}}
- Za všechno, co existuje otevřený U všech taková, že je obraz pravidelné parametrické ubrus.M∈S{\ displaystyle M \ v S}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}U∩S{\ displaystyle U \ cap S}
- Pro existuje otevřený V o jako buď (po přečerpání souřadnic v případě potřeby), graf funkce .M∈S{\ displaystyle M \ v S}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}PROTI∩S{\ displaystyle V \ cap S}VS1{\ displaystyle C ^ {1}}
V praxi jsou nejčastěji studovanými plochami obrazové schůzky pravidelných vrstev. Pokud tomu tak není, podíváme se na to případ od případu.
Příklady
- Koule se středem O a poloměrem 1 má rovnici . Můžeme také vzít v úvahu parametrizovaný ubrusX2+y2+z2=1{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1}
(u,proti)↦(cosucosproti,hříchucosproti,hříchproti){\ Displaystyle (u, proti) \ mapsto (\ cos u \ cos v, \ sin u \ cos v, \ sin v)}
který je pravidelný a injektivní, ale nikoli surjektivní. Čísla u a v odpovídají zeměpisné délce a šířce geografů. Pravidelnost se ale ztrácí . V každém případě je nemožné realizovat celou sféru pravidelnou injektivní vrstvou: taková vrstva by poskytla homeomorfismus koule s otevřeným plánem.
[0,2π[×]-π2,π2[{\ displaystyle [0,2 \ pi [\ krát] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} [}proti=±π2{\ displaystyle v = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}}
- rovnice představuje kužel otáčení s osou Oz a úhlem .z2=X2+y2{\ displaystyle z ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}π4{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}
Toto je obrázek parametrizovaného ubrusu
(r,θ)↦(rcosθ,rhříchθ,r){\ Displaystyle (r, \ theta) \ mapsto (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta, r)}
což je však pravidelné .
r≠0{\ displaystyle r \ not = 0}
- rotační plocha s osou Oz může být vytvořena pomocí rovnice tvaru (s ) nebo parametrizovaného listu .F(r,z)=0{\ displaystyle F (r, z) = 0}r=X2+y2{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}(r,θ)↦(rcosθ,rhříchθ,F(r)){\ Displaystyle (r, \ theta) \ mapsto \ left (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta, f (r) \ right)}
Koordinované křivky
Nechť S je plocha definovaná s (konstantní), tato rovnice povrch se nazývá souřadnic křivka .
ÓM→=F→(u,proti){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u, v)}proti=proti0{\ displaystyle v = v_ {0}}ÓM→=F→(u,proti0){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u, v_ {0})}VSproti0{\ displaystyle C_ {v_ {0}}}
Když se přes všechny přijatelných hodnot , setkání křivek je plocha S .
proti0{\ displaystyle v_ {0}}proti0,proti1,proti2,...protine{\ displaystyle v_ {0}, v_ {1}, v_ {2}, ... v_ {n}}VSproti0,VSproti1,VSproti2,...VSprotine,{\ displaystyle C_ {v_ {0}}, C_ {v_ {1}}, C_ {v_ {2}}, ... C_ {v_ {n}},}
Stejný proces platí pro definici křivek rovnice .
VSu0{\ displaystyle C_ {u_ {0}}}ÓM→=F→(u0,proti){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u_ {0}, v)}
Křivka nakreslená na povrchu
Je definována aplikací a skládá se ze všech bodů M rovnice:
t↦F(u,proti){\ displaystyle t \ mapsto f (u, v)}
ÓM→=F→(u(t),proti(t)){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u (t), v (t))}Obsažená v S a zmíněný čerpány S .
Tečny a rovina tečná k povrchu
Říkáme tangentu k povrchu S v místě nějaká tangenta ke křivce nakreslené na S obsahem .
M0{\ displaystyle M_ {0}}M0{\ displaystyle M_ {0}}
Dovolit být funkcí a v sousedství vektoru a spojitých parciálních derivací v .
F{\ displaystyle f}(u,proti)↦ÓM→(u,proti){\ displaystyle (u, v) \ mapsto {\ overrightarrow {OM}} (u, v)}u0,proti0{\ displaystyle u_ {0}, v_ {0}}∂M→∂u{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ částečné M}} {\ částečné u}}}∂M→∂proti{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ částečné M}} {\ částečné v}}}u0,proti0{\ displaystyle u_ {0}, v_ {0}}
Pokud jsou vektory a jsou nezávislé (ne kolineární), všechny vektory tečné ke křivkám nakresleným a procházejícím tímto bodem jsou v rovině procházející a obsahující tyto dva vektory. Je to podle definice tečná rovina k bodu .
∂M→∂u{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ částečné M}} {\ částečné u}}}∂M→∂proti{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ částečné M}} {\ částečné v}}}M0{\ displaystyle M_ {0}}S{\ displaystyle S}M0{\ displaystyle M_ {0}}S{\ displaystyle S}M0{\ displaystyle M_ {0}}
Dovolit být tečná rovina definovaná bodem a dva nekolineární vektory:
M0(X0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}
∂M→∂u0=(∂X∂u0,∂y∂u0,∂z∂u0){\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ částečné M}} {\ částečné u_ {0}}} = \ vlevo ({\ frac {\ částečné x} {\ částečné u_ {0}}}, {\ frac { \ částečné y} {\ částečné u_ {0}}}, {\ frac {\ částečné z} {\ částečné u_ {0}}} \ vpravo)}, a
∂M→∂proti0=(∂X∂proti0,∂y∂proti0,∂z∂proti0){\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ částečné M}} {\ částečné v_ {0}}} = \ vlevo ({\ frac {\ částečné x} {\ částečné v_ {0}}}, {\ frac { \ částečné y} {\ částečné v_ {0}}}, {\ frac {\ částečné z} {\ částečné v_ {0}}} \ vpravo)}
Jeho rovnice je:
|X-X0∂X∂u0∂X∂proti0y-y0∂y∂u0∂y∂proti0z-z0∂z∂u0∂z∂proti0|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {0} & {\ frac {\ částečné x} {\ částečné u_ {0}}} & {\ frac {\ částečné x} {\ částečné v_ {0}} } \\ y-y_ {0} & {\ frac {\ částečné y} {\ částečné u_ {0}}} & {\ frac {\ částečné y} {\ částečné v_ {0}}} \\ z-z_ {0} & {\ frac {\ částečné z} {\ částečné u_ {0}}} & {\ frac {\ částečné z} {\ částečné v_ {0}}} \ konec {vmatrix}} = 0 \,}Například pokud má rovnice tvar , pózováním
a máme:
S{\ displaystyle S \,}z=h(X,y){\ displaystyle z = h (x, y) \,}p=hX′(X0,y0),{\ displaystyle p = h_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}),}q=hy′(X0,y0),{\ displaystyle q = h_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}),}
z-z0=p(X-X0)+q(y-y0){\ displaystyle z-z_ {0} = p (x-x_ {0}) + q (y-y_ {0}) \,}
Pokud je rovnice implicitní formou a není-li parciální derivace f in nula, můžeme ji snížit na výše uvedený případ pomocí věty o implicitní funkci. Například pokud můžeme psát a máme
S{\ displaystyle S \,}F(X,y,z)=0{\ displaystyle f (x, y, z) = 0 \,}(X0,y0,z0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}Fz′(X0,y0,z0)≠0{\ displaystyle f_ {z} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ not = 0}z=h(X,y){\ displaystyle z = h (x, y) \,}
hX′(X0,y0)=-FX′(X0,y0,z0)Fz′(X0,y0,z0) Et hy′(X0,y0)=-Fy′(X0,y0,z0)Fz′(X0,y0,z0){\ displaystyle h_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {f '_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0} )} {f '_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} \ \ mathrm {and} \ h_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {f '_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})} {f' _ {z} (x_ {0}, y_ {0} , z_ {0})}} \,}.
Potom se zapíše rovnice tečné roviny
(X-X0)FX′(X0,y0,z0)+(y-y0)Fy′(X0,y0,z0)+(z-z0)Fz′(X0,y0,z0)=0{\ displaystyle (x-x_ {0}) f '_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) + (y-y_ {0}) f' _ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) + (z-z_ {0}) f '_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = 0},
nebo ve vektorové formě
M0M→⋅GrNad F(M0)=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M}} \ cdot \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}) = 0}.
Metrické vlastnosti
Normální k povrchu
Rovina tečná k povrchu v bodě je generována vektory a .
S{\ displaystyle S \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}∂M→∂u0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ částečné M}} {\ částečné u_ {0}}}}∂M→∂proti0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ částečné M}} {\ částečné v_ {0}}}}
Jeden nazývá normálu k povrchu v bodě normálu k tečné rovině: připouští tedy směrování vektoru .
S{\ displaystyle S \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}∂M→∂u0∧∂M→∂proti0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ částečné M}} {\ částečné u_ {0}}} \ klín {\ frac {\ overrightarrow {\ částečné M}} {\ částečné v_ {0}}}}
Jeho rovnice jsou:
X-X0∂(y,z)∂(u0,proti0)=y-y0∂(z,X)∂(u0,proti0)=z-z0∂(X,y)∂(u0,proti0){\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {\ frac {\ částečné (y, z)} {\ částečné (u_ {0}, v_ {0})}}}} = {\ frac {y- y_ {0}} {\ frac {\ částečné (z, x)} {\ částečné (u_ {0}, v_ {0})}}} = {\ frac {z-z_ {0}} {\ frac { \ částečné (x, y)} {\ částečné (u_ {0}, v_ {0})}}}},
například Jacobian se rovná .
∂(y,z)∂(u0,proti0){\ displaystyle {\ frac {\ částečné (y, z)} {\ částečné (u_ {0}, v_ {0})}}}|∂y∂u0∂y∂proti0∂z∂u0∂z∂proti0|{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} {\ frac {\ částečné y} {\ částečné u_ {0}}} & {\ frac {\ částečné y} {\ částečné v_ {0}}} \\ {\ frac { \ částečné z} {\ částečné u_ {0}}} & {\ frac {\ částečné z} {\ částečné v_ {0}}} \ konec {vmatrix}}}
V případě, že je povrch definován kartézskou rovnicí , je rovnice normály v bodě dána vztahem
S{\ displaystyle S \,}z=h(X,y){\ displaystyle z = h (x, y)}S{\ displaystyle S \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}
X-X0p=y-y0q=z-z0-1{\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {p}} = {\ frac {y-y_ {0}} {q}} = {\ frac {z-z_ {0}} {- 1} } \,}
V případě, že je povrch definován implicitní rovnicí , má normála v bodě pro směrování vektoru gradient v a rovnice je zapsána
S{\ displaystyle S \,}F(X,y,z){\ displaystyle f (x, y, z)}S{\ displaystyle S \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}F{\ displaystyle f \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}
(X-X0)FX′(X0,y0,z0)=(y-y0)Fy′(X0,y0,z0)=(z-z0)Fz′(X0,y0,z0){\ displaystyle {\ frac {(x-x_ {0})} {f_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} = {\ frac {( y-y_ {0})} {f_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} = {\ frac {(z-z_ {0})} {f_ {z} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} \,},
nebo ve vektorové podobě:
M0M→=ρ⋅GrNad F(M0),ρ∈R{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M}} = \ rho \ cdot \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}), \ rho \ in \ mathbb {R}}.
Průnik dvou povrchů
Nechť je křivka , průsečík ploch a jejichž rovnice jsou:
VS{\ displaystyle C \,}S1{\ displaystyle S_ {1} \,}S2{\ displaystyle S_ {2} \,}
S1↦F(X,y,z)=0{\ displaystyle S_ {1} \ mapsto f (x, y, z) = 0}A .
S2↦G(X,y,z)=0{\ displaystyle S_ {2} \ mapsto g (x, y, z) = 0}Každý z těchto dvou povrchů připouští tečnou rovinu , respektive poznamenanou a .
M0(X0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}P1{\ displaystyle P_ {1} \,}P2{\ displaystyle P_ {2} \,}
Přímka vyplývající z průniku rovin a je tečna v .
P1{\ displaystyle P_ {1} \,}P2{\ displaystyle P_ {2} \,}M0{\ displaystyle M_ {0}}VS{\ displaystyle C \,}
Jako hlavní vodítko připouští:
Ž→=GrNad F(M0)∧GrNad G(M0){\ displaystyle {\ overrightarrow {W}} = \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}) \ klín \ mathbf {grad} ~ g (M_ {0})}
Nechť rovnice je:
X-X0∂(F,G)∂(y0,z0)=y-y0∂(F,G)∂(z0,X0)=z-z0∂(F,G)∂(X0,y0){\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {\ frac {\ částečné (f, g)} {\ částečné (y_ {0}, z_ {0})}}}} = {\ frac {y- y_ {0}} {\ frac {\ částečné (f, g)} {\ částečné (z_ {0}, x_ {0})}}} = = {\ frac {z-z_ {0}} {\ frac { \ částečné (f, g)} {\ částečné (x_ {0}, y_ {0})}}}}
Rovnice rovině kolmé na v je plán definován ,
VS{\ displaystyle C \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}M0,GrNad F(M0),GrNad G(M0){\ displaystyle M_ {0}, \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}), \ mathbf {grad} ~ g (M_ {0}) \,}
Jeho rovnice je:
|X-X0∂F∂X(M0)∂G∂X(M0)y-y0∂F∂y(M0)∂G∂y(M0)z-z0∂F∂z(M0)∂G∂z(M0)|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {0} & {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} (M_ {0}) & {\ frac {\ částečné g} {\ částečné x} } (M_ {0}) \\ y-y_ {0} & {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y}} (M_ {0}) & {\ frac {\ částečné g} {\ částečné y} } (M_ {0}) \\ z-z_ {0} & {\ frac {\ částečné f} {\ částečné z}} (M_ {0}) & {\ frac {\ částečné g} {\ částečné z} } (M_ {0}) \ end {vmatrix}} = 0 \,}Podívejte se také
Bibliografie
Související články
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">