Měřený dynamický systém

Měřit dynamický systém je matematický objekt, představující prostor fáze opatřený zákonem evoluce, zejména studoval v ergodické teorii .

Definice

Měřený dynamický systém dostane prostor pravděpodobnosti a měřitelný mapování f : X → X . Požadujeme, aby f zachovalo míru, což znamená, že: ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {B}}, \ mu)}$

{\ displaystyle \ forall B \ in {\ mathfrak {B}} \ quad \ mu (f ^ {- 1} (B)) = \ mu (B).}

Tato velmi bohatá vlastnost umožňuje získat mocné věty. Kromě toho věta tvrdí, že je zde zpracování pouze kontinuální X → X z kompaktního topologického prostoru X , je pravděpodobnostní míry , Borel , konzervační tuto transformaci. (Jedná se o aplikaci Riesz-Markovovy věty o reprezentaci ).

Příklady

Můžeme studovat logistickou funkci : vezmeme X = [0, 1] af ( x ) = 4 x (1 - x ). Vybavíme X jeho borelianským kmenem a vezmeme to jako měřítko . ${\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} x} {\ pi {\ sqrt {x (1-x)}}}}}$
Tyto otáčky kruhu jsou nejvíce zřejmé příklady Jelikož opatření úhlu normalizovaný dθ / 2π je míra pravděpodobnosti invariantní rotací.
Můžeme zobecnit předchozí transformaci zavedením pro jakoukoli kompaktní topologickou skupinu Borelianovu míru nazvanou Haarova míra, která je neměnná jakoukoli rotací ( tj . Jakoukoli aplikací tvaru x ↦ ax )
Viz také Bernoulliho vyrovnání .

Podívejte se také

Každému měřenému dynamickému systému můžeme přiřadit číslo zvané metrická entropie, které kvantitativně měří jeho dynamickou složitost. Je to navíc konjugační invariant .