V analýze se Rieszova reprezentace věta (některé verze jsou někdy označovány jako Riesz- Markov teorém ) je věta , která „představuje“ určité prvky dvojí z prostoru spojitých funkcí s kompaktním nosičem definované na místně kompaktním topologického prostoru s využitím měření .
Počínaje (kladnou) mírou Borel na topologickém prostoru X , můžeme ji použít k integraci všech spojitých digitálních funkcí s kompaktní podporou . Takto definovaná mapa na vektorovém prostoru C c ( X ) složeném ze všech těchto funkcí je kladná lineární forma (v tom smyslu, že posílá jakoukoli funkci s kladnými hodnotami do kladného reálného).
Rieszova věta o reprezentaci stanoví za určitých předpokladů převrácenou hodnotu této vlastnosti: dáme si kladnou lineární formu na C c ( X ) a chceme vědět, jestli ji lze reprezentovat jako integrální s ohledem na Borelovu míru, a pokud ano pokud je měření jedinečné.
Existuje velké množství variant a dnes se jedná spíše o soubor vět, z nichž některé jsou uvedeny níže. Hypotézy užitečné pro prokázání existence jsou dobře stabilizovány z jednoho zdroje na druhý ( místní kompaktnost a separace z X jsou potřebné ); na druhou stranu existuje několik variant různé technické náročnosti, které umožňují zapsat výsledky jedinečnosti.
V prohlášení níže:
U všech těchto konvencí slovní zásoby můžeme konstatovat:
Věta : Nechť X je lokálně kompaktní a samostatný topologický prostor a nechť Λ je kladná lineární forma na C c ( X ). Na X existuje Borelova míra μ, která představuje Λ v následujícím smyslu:pro libovolné f patřící do C c ( X ), Λ ( f ) = ∫ f dμ. Kromě toho existuje na X jedna Borelova míra, která tedy představuje Λ a je vnitřně pravidelná, a jediná, která je kvazi pravidelná.Několik autorů poukazuje na to, že když jsou tyto dvě míry odlišné, první je užitečnější; na jeho vlastnostech je tedy modelována současná definice toho, co se nazývá radonové měření .
Je možné sestrojit Lebesgueovu míru z elementární teorie integrace spojitých funkcí spoléháním se na tuto větu, spíše než spoléháním se na objem rovnoběžnostěn při zahájení stavby.