Guaova věta

V matematice je De Guova věta rozšířením Pythagorovy věty o geometrii v prostoru . Vyslovili jej René Descartes a Johann Faulhaber již v roce 1622. De Gua to demonstroval v roce 1783 pomocí vzorců Herona Alexandrijského .

Státy

Nechť O, A, B, C je trojstěnný čtyřstěn v O.

Čtverec plochy obličeje ABC je součtem čtverců ploch ostatních tří ploch.

A _ {{ABC}} ^ {2} = A _ {{\ color {blue} ABO}} ^ {2} + A _ {{\ color {green} ACO}} ^ {2} + A _ {{ \ color {red} BCO}} ^ {2}

Demonstrace

Označte a, b, c příslušné délky hran OA, OB, OC

Vezměme si vnitřní objem zmenšený čtyřstěnem, který se rovná $ABC / 6$ = $vs. / 3$ ${\ displaystyle A _ {\ color {blue} ABO}}$ = $b / 3$ ${\ displaystyle A _ {\ color {zelená} ACO}}$ = $na / 3$ ${\ displaystyle A _ {\ color {red} BCO}}$ ale také $h / 3$ ${\ displaystyle A_ {ABC}}$ kde h označuje výšku spojenou s obličejem ABC.

Protože je vektor kolmý k rovině ABC, tato výška stojí za to ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {n}} = (bc) ^ {2} {\ overrightarrow {OA}} + (ac) ^ {2} {\ overrightarrow {OB}} + (ab) ^ {2} {\ overrightarrow {OC}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle h = {<{\ overrightarrow {OA}} | {\ overrightarrow {n}}> \ over || {\ overrightarrow {n}} ||}}$

Takže my, v odpovídajících objemech . Buď zjednodušením ; požadovaný vzorec. ${\ displaystyle {\ frac {abc} {6}} = {\ frac {1} {3}} {\ frac {abc} {\ sqrt {(bc) ^ {2} + (ac) ^ {2} + (ab) ^ {2}}}} A_ {ABC}}$ ${\ displaystyle 4A_ {ABC} ^ {2} = (ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (ac) ^ {2}}$

Rozšíření

Vzorec sahá do vyšších dimenzí, což Descartes poznamenává pro dimenzi 4, ve svých poznámkách z let 1619/1623.

Ukázku tohoto obecného případu lze najít v čísle 6 amerického měsíčníku 2006.

Reference

Historie Královské akademie věd ,1 st 01. 1786, 374 a následující. p. ( číst online ).
Adam and Tannery, Complete Works of Descartes ( číst online ) , s. 256 a následující.
(in) Quadrat, „ Pythagorova věta pro oblasti. " , Americký měsíčník ,červen 2006( číst online ).