V matematice je věta o Lagrange o skupinách nastaví základní výsledek poskytování informací kombinatorické na konečných skupin . Věta vděčí za své jméno matematikovi Josephu-Louisu Lagrangeovi . Někdy se mu říká Euler-Lagrangeova věta, protože zobecňuje Eulerovu větu na celá čísla.
Lagrangeova věta - Pro každou konečnou skupiny G a jakékoliv podskupiny H z G , v pořadí z H (tj. Jeho kardinál ), rozděluje , že z G :
Podle definice je index [ G : H ] z H v G je mohutnost množiny G / H ze tříd dle levé H prvků G . Nebo tyto třídy tvoří oddíl o G a každý z nich má stejnou mohutnost jak H . Podle principu pastýřů odvodíme:
Všimněte si, že tento vzorec zůstává pravdivý, když tři kardinálové, které spojuje, jsou nekonečné, a že se jedná o speciální případ indexového vzorce .
Konečná skupina G ne vždy uspokojí „obrácení Lagrangeovy věty“, tj. Může existovat dělitel d | G | pro které G nepřipouští žádnou podskupinu řádu d . Nejmenší protipříklad je střídavý skupina 4 , který je řádu 12, ale nemá podskupina objednávky 6 (protože jakýkoli podskupina indexem 2 obsahuje čtverce skupiny, nebo v U 4 jsou 9 čtverce).
Cauchyova věta se sylowovy věty , teorém prokázána Philip Hall na podskupiny Hall , tvoří částečném vzájemném Lagrangeova věta.
Pro konečná skupina ověřit „inverzní Lagrangeova věta“, je třeba, aby bylo řešitelný (ale ne postačující: 4 je řešitelný) a postačuje, že jsou super-rozpustný (ale není nutné: ZAŘÍZENÍ skupina symetrický S 4 není super-řešitelný, protože se uznává, s 3 jako maximální podskupinu non-prime indexu).
Konečná skupina G je nilpotentní právě tehdy, pokud splňuje následující silný „reciproční“ Lagrangeova věta: pro libovolného dělitele d | G |, G má normální podskupinu řádu d .
Francouzský matematik Joseph Louis Lagrange prokázáno, že pomocí permutací v neurčité n části polynomu výrazu , je počet výrazů získaných je dělitelem n ! . Sada permutací je dnes vnímána jako skupina s n ! prvky působící na polynomy s n proměnnými. Lagrangeova práce je interpretován jako výpočet kardinálově části s oběžnou dráhu této akce : to tedy jeví jako prekurzor vzniku pojmu skupiny , formální definice, z nichž byl uveden pouze na konci 19. století. Tého století.