Lagrangeova věta o skupinách

V matematice je věta o Lagrange o skupinách nastaví základní výsledek poskytování informací kombinatorické na konečných skupin . Věta vděčí za své jméno matematikovi Josephu-Louisu Lagrangeovi . Někdy se mu říká Euler-Lagrangeova věta, protože zobecňuje Eulerovu větu na celá čísla.

Státy

Lagrangeova věta  -  Pro každou konečnou skupiny G a jakékoliv podskupiny H z G , v pořadí z H (tj. Jeho kardinál ), rozděluje , že z G  :

Demonstrace

Podle definice je index [ G : H ] z H v G je mohutnost množiny G / H ze tříd dle levé H prvků G . Nebo tyto třídy tvoří oddíl o G a každý z nich má stejnou mohutnost jak H . Podle principu pastýřů odvodíme:

Všimněte si, že tento vzorec zůstává pravdivý, když tři kardinálové, které spojuje, jsou nekonečné, a že se jedná o speciální případ indexového vzorce .

Aplikace

Částečné reciproční

Konečná skupina G ne vždy uspokojí „obrácení Lagrangeovy věty“, tj. Může existovat dělitel d | G | pro které G nepřipouští žádnou podskupinu řádu d . Nejmenší protipříklad je střídavý skupina 4 , který je řádu 12, ale nemá podskupina objednávky 6 (protože jakýkoli podskupina indexem 2 obsahuje čtverce skupiny, nebo v U 4 jsou 9 čtverce).

Cauchyova věta se sylowovy věty , teorém prokázána Philip Hall na podskupiny Hall , tvoří částečném vzájemném Lagrangeova věta.

Pro konečná skupina ověřit „inverzní Lagrangeova věta“, je třeba, aby bylo řešitelný (ale ne postačující: 4 je řešitelný) a postačuje, že jsou super-rozpustný (ale není nutné: ZAŘÍZENÍ skupina symetrický S 4 není super-řešitelný, protože se uznává, s 3 jako maximální podskupinu non-prime indexu).

Konečná skupina G je nilpotentní právě tehdy, pokud splňuje následující silný „reciproční“ Lagrangeova věta: pro libovolného dělitele d | G |, G má normální podskupinu řádu d .

Historický

Francouzský matematik Joseph Louis Lagrange prokázáno, že pomocí permutací v neurčité n části polynomu výrazu , je počet výrazů získaných je dělitelem n ! . Sada permutací je dnes vnímána jako skupina s n ! prvky působící na polynomy s n proměnnými. Lagrangeova práce je interpretován jako výpočet kardinálově části s oběžnou dráhu této akce  : to tedy jeví jako prekurzor vzniku pojmu skupiny , formální definice, z nichž byl uveden pouze na konci 19. století. Tého  století.

Poznámky a odkazy

  1. Pierre Colmez , „  Rubikova kostka, kapesní skupina  “ , na culturemath.ens.fr .
  2. André Warusfel . , Succeed in the rubik: ': s cube , Paris, France loisirs ,devatenáct osmdesát jedna, 190  s. ( ISBN  2-7242-1030-1 a 9782724210309 , OCLC  461676792 , číst online ) , s. 15
  3. Je to „nejmenší“ v tom smyslu, že je to jediný z řádu menší nebo rovný 12 .
  4. J.-L. Lagrange , „  Úvahy o algebraickém rozlišení rovnic, II  “, Nové paměti Královské akademie věd a Berlína-Lettresa v Berlíně ,1771, str.  138-254(spec. s. 202-203), přetištěno v Œuvres de Lagrange , t. 3, Paříž, 1869, s.  305-421 , k dispozici online (spec. Str. 369-370 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">