V matematiky , přesněji do skupiny teorii , pokud H je podskupina ze skupiny G je index podskupiny H v G je počet různých kopií H , abychom se vynásobením vlevo prvek G , že znamená počet xH, když x prochází G (lze si ve skutečnosti vybrat lhostejně, aby se množil vlevo nebo vpravo). Tyto Xh třídy tvořící oddílA levá násobení ve skupině daným prvkem je bijective , součin indexu podskupiny H v G u řádu z H se rovná pořadí G , ze kterého odvodíme, pro skupinové konečných , Lagrangeova věta .
Nechť ( G , •) skupiny a H podskupina G . Vztah x -1 y∈H je vztah rovnocennosti (v x a y ) v G a odpovídající třídy ekvivalence jsou části G formuláře xH , kde x běží G . Nazýváme tyto části G na levé cosets (prvky z G ) po H , nebo modulo M .
Podobně vztah yx -1 ∈H je vztah rovnocennosti v G a odpovídající třídy ekvivalence jsou části G formuláře Hx , kde x běží G . Nazýváme tyto části G na pravé cosets (prvky z G ) po H , nebo modulo M .
(Je zřejmé, že třídy na levé straně a na pravé straně třídy prvků G modulo H splývají, když G je komutativní. Obecněji řečeno, se shodují pouze v případě H je význačný podskupina z G. )
Mapa X↦X –1 je bijekce množiny tříd vlevo na množinu tříd vpravo, takže množina tříd vlevo a množina tříd vpravo mají stejnou mohutnost . Tento kardinál se nazývá index H v G a označuje se ( G : H ), nebo [ G : H ], nebo znovu | G : H |.
Nechť G skupinu, H podskupina G a K podskupina H , tj podskupina G obsažené v H . Dokazujeme vzorec indexů :
Pro K Trivial , jsme zjistili, že pro jakékoli podskupiny H skupiny G ,
který je prokazatelně přímo poznamenat, že třídy modulo H je ekvipotentní k H , tak, že G je disjunktní setkání [ G : H ] „kopie“ z H .
Vztah (1) ukazuje, že index podskupiny dělí pořadí skupiny. V případě, že skupina je konečná, je to Lagrangeova věta .
V této části, označíme G / H všechny zbytky cosets z G modulo podskupiny H z G .
Pokud H a K jsou dvě podskupiny G, pak
protože aplikace
je injekční . Zejména pokud jsou obě [ G : H ] a [ G : K ] konečné, [ G : H∩K ] je také konečné (Poincarého věta).
Pokud H nebo K , je normální v G , nebo dokonce jen sub-normální , [ G : K ] je nejen horní hranici , ale násobek z [ H : H∩K ]. Za tohoto předpokladu tedy máme:
ale tato vlastnost není pravdivá bez takového předpokladu, jak ukazuje příklad G = S 3 , H = {1, s }, K = {1, t }, kde s a t jsou dvě odlišné transpozice .