Lindemann-Weierstrassova věta

V matematice se Lindemann-Weierstrassova věta říká, že v případě, algebraická čísla $alfa 1 , ..., alfa n$ jsou lineárně nezávislé na terénní Q z racionálních čísel , pak jejich exponentials $e α 1 , ..., e α n$ jsou algebraicky nezávislé na Q . Jinými slovy, prodloužení Q $(e α 1 , ..., e α n )$ z Q je transcendentní ze studia $n$ .

Ekvivalentní formulace věty je následující: pokud $α 0 ,\dots, α n$ jsou odlišná algebraická čísla, pak $e α 0 ,\dots, e α n$ jsou lineárně nezávislé na poli Q algebraických čísel, tj .: ${\ displaystyle a_ {0} {\ rm {e}} ^ {\ alpha _ {0}} + a_ {1} {\ rm {e}} ^ {\ alpha _ {1}} + \ ldots + a_ { n} {\ rm {e}} ^ {\ alpha _ {n}} \ neq 0}$ pro všechna algebraická čísla $a i$ ne celá nula.

V roce 1882 tuto větu oznámil Ferdinand von Lindemann na konci svého článku o zvláštním případu $n = 1$ a okamžitě ji předvedl Karl Weierstrass , který distribuoval svůj rukopis, ale publikaci odložil až do roku 1885.

Případ $n = 1$

V roce 1882, Lindemann načrtl důkaz o tom, že pro jakýkoli non-nula algebraické číslo $A$ počet $odesílání e$ je transcendentní (což opět dokázal, že $e$ je transcendentní a dokázal, že $π$ je také transcendentní ). To je případ $n = 1$ věty demonstrované Weierstrassem.

Opravdu (s první formulací),

$a$ je nenulová je ekvivalentní k: množina ${ a }$ je lineárně volná na Q , a
$e a$ je transcendentní je ekvivalentní s: množina ${e a }$ je algebraicky volná na Q

Pomocí druhé formulace ji můžeme přepsat:

je nenulová je ekvivalentní: $0$ ajsou odlišné, a
$e$ je transcendentní ekvivalentní: $e 0$ a $e má$ lineárně nezávislé na Q .

$P$ -adická domněnka

Analogový $p$ -adic z Lindemann-Weierstrassova věta je domněnka následující: „jsou [ $p$ je prvočíslo a] $β 1 , ..., β n$ z čísel $p$ -adic algebraický [ Q -linéairement nezávislé], které patří do konvergence domény z p -adic exponenciální (en) $exp p$ . Pak se $n$ Numbers $exp p (β 1 ), ..., exp p (β n )$ jsou algebraicky nezávislé Q . "

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Lindemann - Weierstrassova věta “ ( viz seznam autorů ) .

(in) Alan Baker , Teorie transcendentního čísla , Cambridge University Press,1990( 1 st ed. 1975) ( ISBN 9780521397919 , číst on-line ) , kap. 1, Věta 1.4.
(en) David E. Rowe , „Historické události na pozadí sedmého pařížského problému Hilberta “ , David E. Rowe a Wann-Sheng Horng, Delikátní bilance: Globální pohledy na inovace a tradice v historii Matematika , Birkhäuser ,2015, str. 211-244.
(od) KW Weierstrass, „ Abhandlung Zu Lindemanna:„ Über die Ludolph'sche Zahl “ “ , Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. , sv. 5,1885, str. 1067-1085 ( DOI 10.1007 / 978-1-4757-4217-6_23 ).
(in) Michel Waldschmidt , „ Open Diophantine Problems “ , Moscow Mathematical Journal , sv. 4, n o 1,2004, str. 245-305 ( číst online ), Dohad 3.11.

Podívejte se také

Související články

Externí odkaz

(en) „ Důkaz Lindemann-Weierstrassovy věty a že e a $π$ jsou transcendentální “ (ukázka převzata z Bakera 1990 a podrobně) na webu PlanetMath .