Rothova věta
V matematice je Rothova věta neboli Thue - Siegelova - Rothova věta výrokem teorie čísel , konkrétněji o diofantické aproximaci .
Výsledek je následující:
Pro jakékoli iracionální algebraické číslo α a pro jakékoli ε> 0, nerovnost neznámých q > 0 a celá čísla p :
|α-pq|<1q2+ε{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ doprava | <{\ frac {1} {q ^ {2+ \ varepsilon}}} \,}
má pouze konečný počet řešení (podle Dirichletovy věty o aproximaci to již neplatí pro ε = 0 ).
Nebo opět za stejných předpokladů: existuje konstanta A > 0 (v závislosti na α a ε) taková
∀p∈Z,∀q∈NE∗|α-pq|≥NAq2+ε.{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {Z}, \ forall q \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ vpravo | \ geq {\ frac {A} {q ^ {2+ \ varepsilon}}}}
To znamená, že míra iracionality iracionálního algebraického čísla je rovna 2 a umožňuje kontrapozicí ukázat transcendenci určitých čísel (toto číslo však uniká číslu e , které je transcendentní: jeho míra d iracionalita je stejná až 2). Tato věta je navíc zobecněním Liouvilleovy věty, která byla historicky prvním známým kritériem transcendence.
Tento výsledek získal Klaus Roth na Fields medaili v roce 1958.
Poznámky a odkazy
-
(in) Steven R. Finch , Mathematical Constants , UPC ,2003, 602 s. ( ISBN 978-0-521-81805-6 , číst online ) , s. 171-172
-
(en) Daniel Duverney , Teorie čísel: Základní úvod do problematiky diofantinů , World Scientific , kol. "Monografie v teorie čísel" ( n O 4),2010, 335 s. ( ISBN 978-981-4307-46-8 , číst online ) , s. 147
-
(en) Yann Bugeaud , Aproximace algebraickými čísly , CUP,2004, 292 s. ( ISBN 978-0-521-82329-6 , číst online ) , s. 28
-
(in) KF Roth , „ Racionální aproximace algebraických čísel “ , Mathematika , sv. 2, n O 1,1955, str. 1-20 ( DOI 10.1112 / S0025579300000644 )a „Korigendum“, s. 168, DOI : 10.1112 / S0025579300000826 .
Související články
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">