Teorie čísel je tradičně obor matematiky, který se zabývá vlastnostmi celých čísel (ať už přirozených nebo relativních celých čísel ). Obecněji řečeno, studijní obor této teorie se týká velké třídy problémů, které přirozeně vznikají při studiu celých čísel. Teorie čísel má v matematice zvláštní místo, a to jak díky propojení s mnoha dalšími obory, tak díky fascinaci svými větami a otevřenými problémy, jejichž výroky jsou často snadno srozumitelné, a to i pro ty, kdo nejsou. -Matematici . To vyjadřuje následující citát Jürgena Neukircha :
"Teorie čísel zaujímá mezi matematickými disciplínami idealizované postavení analogicky s matematikou mezi ostatními vědami." "
Termín „ aritmetika “ se také používá k označení teorie čísel. Je to poměrně starý pojem, který již není tak populární jako kdysi; aby nedocházelo ke zmatkům, až do začátku dvacátého století byla teorie čísel také někdy označována jako „vyšší aritmetika“. Přesto je adjektivum aritmetika poměrně rozšířené, zejména pro označení matematických polí ( aritmetická algebraická geometrie , aritmetika křivek a eliptických ploch atd.), Kde omezení otázek a řešení na celá čísla nebo na některá jejich rozšíření hraje rozhodující role. Tento význam pojmu aritmetika by neměl být zaměňován s významem používaným v logice pro studium formálních systémů axiomatizujících celá čísla, jako v Peanově aritmetice .
Teorie čísel je rozdělena do několika studijních oborů v závislosti na použitých metodách a řešených otázkách.
Termín elementární obecně označuje metodu, která nepoužívá komplexní analýzu . Například věta o prvočísle byla prokázána pomocí komplexní analýzy v roce 1896, ale základní důkaz nebyl nalezen až do roku 1949 Erdősem a Selbergem . Termín je poněkud nejednoznačný: například důkazy založené na komplexních tauberiánských větách (např. Věta Wiener-Ikehara ) jsou často považovány za velmi poučné, ale nikoli elementární. Elementární důkaz může být pro většinu čtenářů delší a obtížnější než neelementární důkaz.
Teorie čísel má pověst oboru, ve kterém může laik pochopit mnoho výsledků. Důkazy pro tyto výsledky zároveň nejsou nijak zvlášť přístupné, částečně proto, že rozsah nástrojů, které používají, je v matematice neobvykle široký.
Mnoho otázek v teorii elementárních čísel se jeví jako jednoduché, ale vyžaduje velmi hlubokou úvahu a nové přístupy, například následující příklady:
Teorie diofantických rovnic se dokonce ukázala jako nerozhodnutelná , to znamená, že lze sestavit explicitní rovnici, jejíž existenci řešení nelze prokázat pomocí obvyklých matematických axiomů (c 'je Matijasevičova věta ).
Analytické teorie čísel může být definován:
Některé předměty obecně považované za součást teorie analytických čísel, například teorie sít , jsou místo toho definovány druhou definicí.
Příklady problémů v teorii analytických čísel jsou teorém o prvočísle, Goldbachova domněnka (nebo domněnka dvojitých prvočísel nebo Hardy-Littlewoodova domněnka ), Waringův problém nebo Riemannova hypotéza . Mezi nejdůležitější nástroje analytické teorie čísel patří kruhová metoda , sítové metody a L funkce . Teorie modulárních forem (a obecněji automorfních forem ) zaujímá v analytické teorii čísel stále ústřednější místo.
Algebraické číslo je komplexní číslo , které je roztok polynomu rovnice s koeficienty v oboru . Například, jakékoli řešení z je algebraické číslo. Algebraické teorie čísel studuje obory algebraických čísel. Analytické a algebraické teorie čísel se tedy mohou překrývat: první je definována svými metodami, druhá svými studijními objekty.
Základem tohoto odvětví, jak je známe, byly založeny na konci XIX th století, kdy se ideály a vyhodnocení byly vyvinuty. Zdá se, že impuls pro rozvoj ideálů ( Ernst Kummer ) vychází ze studia zákonů vyšší vzájemnosti, tj. Zobecnění zákona kvadratické vzájemnosti .
Těla jsou často studovány jako prodloužení jiných malých těles: těleso L se říká, že je prodloužení z tělesa K , pokud L obsahuje K . Klasifikace Abelian rozšíření byl program teorie třída pole , který byl zahájen na konci XIX th století (částečně Kroneckera a Eisenstein ) a uvědomil si ve velké části od roku 1900 do roku 1950.
Teorie Iwasawa je příkladem aktivní oblasti výzkumu v algebraické teorie čísel. Program Langlands , hlavní rozsáhlý současný výzkumný program v matematice, je někdy popisován jako pokus zobecnit tělo tříd teorie na neabelovské rozšíření.
Ústředním problémem Diophantine geometrie je určení, kdy má Diophantine rovnice řešení, a pokud ano, kolik. Přijatý přístup je uvažovat o řešení rovnice jako o geometrickém objektu.
Například rovnice se dvěma proměnnými definuje křivku v rovině. Obecněji řečeno, rovnice nebo soustava rovnic se dvěma nebo více proměnnými definuje křivku, plochu atd. V n- dimenzionálním prostoru . V geometrii Diophantine si člověk klade otázku, zda jsou na křivce nebo na ploše racionální body (body, jejichž všechny souřadnice jsou racionální) nebo celé body (body, jejichž souřadnice jsou celá celá čísla). Pokud takové body existují, dalším krokem je otázka, kolik jich je a jak jsou distribuovány. Základní otázkou v tomto směru je: existuje konečný nebo nekonečný počet racionálních bodů na dané křivce (nebo ploše)? A co celé body?
Příkladem by mohla být Pythagorova rovnice ; chtěli bychom studovat jeho racionální řešení, tj. řešení taková, že x a y jsou racionální . To znamená žádat o všechna řešení ; Jakékoli řešení této rovnice nám dává řešení , . To odpovídá požadavku na všechny body s racionálními souřadnicemi na křivce popsané (tato křivka je shodou okolností jednotkovou kružnicí ).
Přeformulování otázek na rovnice, pokud jde o body na křivkách, se ukazuje jako úspěšné. Ukázalo se, že konečnost počtu racionálních nebo celočíselných bodů na algebraické křivce závisí zásadně na rodu křivky. Tato oblast úzce souvisí s diofantickými aproximacemi : vzhledem k číslu, jak blízko to může být racionalitě? (Domníváme se, že racionální , s a a b prvočíslem mezi nimi, je dobrou aproximací if , kde je velký.) Tato otázka je zvláště zajímavá, pokud jde o algebraické číslo. Pokud nelze dobře aproximovat, pak některé rovnice nemají úplná nebo racionální řešení. Kromě toho se ukázalo, že několik konceptů má zásadní význam jak v diofantické geometrii, tak ve studiu diofantických aproximací. Tato otázka je obzvláště zajímavá v teorii transcendentního čísla : pokud lze číslo aproximovat lépe než jakékoli algebraické číslo, pak jde o transcendentní číslo . Je tímto argumentem, že bylo prokázáno, že a jsou transcendentní.
Diophantinová geometrie by neměla být zaměňována s geometrií čísel , což je soubor grafických metod pro zodpovězení určitých otázek v algebraické teorii čísel. Termín aritmetická geometrie se bezpochyby nejčastěji používá, když chceme zdůraznit vazby s moderní algebraickou geometrií (jako Faltingova věta ), spíše než na techniky diofantických aproximací.
Jaká je pravděpodobnost, že vezmeme náhodné číslo mezi jedním a jedním milionem? Toto je jen další způsob, jak se zeptat, kolik prvočísel je mezi jedním a jedním milionem. A kolik dělitelů bude mít v průměru?
Hodně z pravděpodobnostní teorie čísel lze považovat za obor studia proměnných, které jsou na sobě téměř nezávislé . Někdy důsledný pravděpodobnostní přístup vede k řadě heuristických algoritmů a otevřeným problémům, zejména k domněnce Cramér .
Nechť A je množina N celých čísel. Zvažte množinu A + A = { m + n | m , n ∈ } se skládá ze všech částek dvou prvků A . Je A + A mnohem větší než A ? Sotva vyšší? Vypadá A jako aritmetická posloupnost ? Pokud začneme od dostatečně velké nekonečné množiny A , obsahuje to v aritmetickém postupu spoustu prvků ?
Tyto otázky jsou charakteristické pro kombinatorickou teorii čísel. Jeho zájem o problematiku růstu a distribuce je částečně způsoben rozvojem jejích vazeb s ergodickou teorií , teorií konečných grup , teorií modelů a dalšími oblastmi. Studované množiny nemusí být množinami celých čísel, ale spíše podmnožinami nekomutativních skupin , pro které se tradičně používá multiplikační symbol, a nikoli sčítací symbol; mohou to být také podmnožiny prstenů .
Existují dvě hlavní otázky: „můžeme to vypočítat?“ A „můžeme to rychle vypočítat?“ ". Kdokoli si může vyzkoušet, zda je číslo prvočíslo, nebo pokud tomu tak není, získat jeho prvočíselnou faktorizaci ; rychle se to komplikuje. Dnes známe rychlé algoritmy pro testování primality , ale přes spoustu práce (teoretické i praktické) není žádný algoritmus pro tento úkol opravdu rychlý.
Obtížnost výpočtu může být užitečná: moderní šifrovací protokoly zpráv (například RSA ) závisí na funkcích známých všem, ale jejichž inverze jsou známy jen malému počtu a jejich nalezení pomocí vlastních zdrojů by trvalo příliš dlouho . I když je známo mnoho výpočetních problémů mimo teorii čísel, většina současných šifrovacích protokolů je založena na obtížnosti několika teoretických problémů.
Ukazuje se, že některé věci nemusí být vůbec vypočítatelné ; to lze v některých případech prokázat. Například v roce 1970 bylo prokázáno, čímž se vyřešil desátý problém Hilberta , že neexistuje žádný Turingův stroj schopný vyřešit všechny diofantické rovnice. To znamená, že vzhledem k množině vypočítatelných a vyčíslitelných axiomů existují diofantické rovnice, pro které neexistuje žádný důkaz z axiomů, zda sada rovnic má či nemá celá řešení.
Historickým objevem aritmetické povahy je fragment tabulky: rozbitá hliněná deska Plimpton 322 ( Larsa , Mezopotámie , kolem roku 1800 př. N. L. ) Obsahuje seznam „ pythagorovských trojic “, to znamená celá čísla jako např . Ty jsou příliš velké na to, aby je bylo možné získat vyčerpávajícím výzkumem . Rozvržení tabletu naznačuje, že byl postaven s využitím toho, co v moderním jazyce odpovídá identitě
.Zatímco babylonská teorie čísel se skládá z tohoto jediného fragmentu, babylonská algebra (ve smyslu středoškolské „algebry“ ) byla výjimečně dobře vyvinutá. Pythagoras by se naučil matematiku od Babyloňanů. Mnoho předchozích zdrojů uvádí, že Thales a Pythagoras cestovali a studovali v Egyptě .
Objev iracionality √ 2 je přičítán časným Pythagorejcům. Zdá se, že tento objev způsobil první krizi v matematické historii; jeho důkaz a šíření se někdy připisuje Hippasu , který byl vyloučen z Pytagorovy sekty. To přinutilo rozlišovat mezi čísly (celá čísla a racionální) na jedné straně a délkami a proporcemi (reálná čísla) na straně druhé.
Čínská věta o zbytku se objeví jako cvičení ve Smlouvě Sunzi Suanjing ( III E , IV E nebo V th století před naším letopočtem. ).
Starověké Řecko a začátek helénistického obdobíKromě několika fragmentů nám je matematika starověkého Řecka známá buď prostřednictvím zpráv současných nematematiků, nebo prostřednictvím matematických prací helénistického období. V případě teorie čísel to zahrnuje Platóna a Euklida . Platón se zajímal o matematiku a jasně rozlišoval mezi aritmetikou a počtem. (Pro aritmetiku slyšel teorii o čísle.) Víme, že prostřednictvím jednoho z Platónových dialogů, Theaetetus , Theodore dokázal, že jde o iracionální čísla . Theaetetus byl, stejně jako Platón, učedníkem Theodora; pracoval na rozlišování mezi různými typy srovnatelnosti , a byl proto pravděpodobně průkopníkem ve studiu digitálních systémů.
Euclid věnoval část svých prvků prvočíslům a dělitelnosti, ústředním předmětům teorie čísel (knihy VII až IX Euklidových prvků ). Zejména dal algoritmus pro výpočet největšího společného dělitele dvou čísel ( Elements , Prop. VII.2) a první známý důkaz existence nekonečna prvočísel ( Elements , Prop. IX. 20).
DiophantusO Diophantovi z Alexandrie víme velmi málo ; pravděpodobně žil ve třetím století našeho letopočtu, tedy asi pět set let po Euklidovi. Arithmetica je sbírka problémů, kde je úkolem je najít racionální řešení polynomiálních rovnic, obvykle ve formě nebo nebo . Dnes tedy mluvíme o diofantických rovnicích, když mluvíme o polynomiálních rovnicích, pro které musíme najít racionální nebo celočíselné řešení.
Zatímco Diophantus se zajímal hlavně o racionální řešení, domníval se o přirozených celých číslech, jako je skutečnost, že jakékoli celé číslo je součtem čtyř čtverců .
Āryabhaṭa, Brahmagupta, BhāskaraZatímco řecká astronomie pravděpodobně ovlivňovala indické učení, až do té míry, že zavedla trigonometrii, zdá se, že indická matematika je domorodou tradicí; Ve skutečnosti neexistují žádné důkazy o tom, že by prvky Euklida dorazily do Indie před XVIII. Stoletím .
Aryabhata ukázaly, že dvojice shodnost (476-550 př.) , By mohl být vyřešen pomocí způsobu nazval kuṭṭaka ; je to blízký a zobecněný postup Euklidova algoritmu , který byl pravděpodobně objeven nezávisle v Indii. Brahmagupta (628 př. N. L. ) Zahájil studium kvadratických rovnic, zejména Pell-Fermatovy rovnice , o kterou se již Archimedes zajímal, a kterou se na Západě začaly řešit až u Fermata a Eulera . Obecný postup (metoda chakravala ) vyřešit rovnici Pell byl nalezen Jayadeva (citováno v XI th století, jeho práce je ztracena); se objeví první přežívající expozice v Bija-Ganita z Bhaskara II . Indické matematiky zůstalo neznámé v Evropě až do konce XVIII -tého století. Práce Brahmagupty a Bhāskary byla přeložena do angličtiny v roce 1817 Henry Colebrooke .
Aritmetika v islámském zlatém věkuBrzy v IX -tého století, kalif Al-Ma'mun objednal překlad četných děl řecké matematiky a alespoň jeden pracovní sanskrtu (dále jen Sindhind , které mohou nebo nemusí být Brahmasphutasiddhanta of Brahmagupta ). Diophantovo hlavní dílo, Arithmetica , přeložil do arabštiny Qusta ibn Luqa (820-912). Podle Roshdiho Rasheda Alhazen , současník Al-Karaji , věděl, co se později bude jmenovat Wilsonova věta .
Západní Evropa ve středověkuKromě pojednání o čtvercích v aritmetickém postupu od Fibonacciho nedošlo ve středověku v západní Evropě k žádnému pokroku v teorii čísel . Na konci renesance se věci v Evropě začaly měnit díky obnovenému studiu děl starověkého Řecka.
Pierre de Fermat (1601-1665) své spisy nikdy nepublikoval; zejména jeho práce na teorii čísel je téměř úplně obsažena v Dopisech matematikům a v Soukromých poznámkách a okrajích. Sotva napsal nějaký důkaz teorie čísel. V terénu neměl žádný vzor. Opakovaně používal uvažování o opakování a zavedl metodu nekonečného sestupu . Jedním z prvních zájmů Fermata byla dokonalá čísla (která se objevují v Euklidových prvcích IX) a přátelská čísla ; to ho vede k práci na celočíselných rozdělovačích, které od počátku patřily mezi předměty korespondence (rok 1636 a následující), které ho kontaktovaly s tehdejší matematickou komunitou. Už pečlivě studoval bachetské vydání Diophantus; po roce 1643 se jeho zájmy obrátily k Diophantinovi a problémům se součty čtverců (léčeno také Diophantem).
Výsledky Fermata v aritmetice zahrnují:
Fermatovo prohlášení („Fermatova poslední věta“), které ukázalo, že neexistují řešení rovnice pro všechno, se objevuje pouze na okraji kopie Diophantovy Arithmetiky .
EulerZájem Leonharda Eulera (1707-1783) o teorii čísel byl poprvé stimulován v roce 1729, kdy ho jeden z jeho přátel, amatér Goldbach , nasměroval k některým Fermatovým pracím na toto téma. Tomu se říká „znovuzrození“ moderní teorie čísel po relativním neúspěchu Fermata při upoutávání pozornosti jeho současníků na toto téma. Eulerova práce na teorii čísel zahrnuje následující:
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) byl první, kdo poskytl úplné důkazy o určitých pracích a pozorováních Fermata a Eulera - například teorém čtyř čtverců a teorie Pell-Fermatovy rovnice . Studoval také kvadratické formy definující jejich vztah ekvivalence, ukazující, jak je dát do redukované formy atd.
Adrien-Marie Legendre (1752-1833) byla první, kdo stanovil zákon kvadratické vzájemnosti . Rovněž předpokládal, že dnes je ekvivalentní teorému o prvočísle a Dirichletově teorému o aritmetických postupech . Dal úplnou analýzu rovnice . Na konci svého života jako první dokázal Fermatovu poslední větu pro n = 5.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ve svých Disquisitiones Arithmeticae (1798) demonstroval zákon kvadratické reciprocity a rozvinul teorii kvadratických forem. Zavedl také kongruenční notaci a část věnoval testům primality . Závěrečná část Disquisitiones spojuje kořeny jednoty s teorií čísel. Tímto způsobem Gauss nepochybně zahájil práci Évariste Galois a algebraické teorie čísel .
Začínat na počátku XIX th století, následující vývoj došlo postupně:
"Matematika je královnou vědy a teorie čísel je královnou matematiky." » Gauss
Anglický text k překladu:
Termín takiltum je problematický. Robson dává přednost vykreslení
Anglický text k překladu:
ap.
Anglický text k překladu:
o spolehlivosti Proclus
Anglický text k překladu:
Datum textu bylo zúženo na 220-420 nl (Yan Dunjie) nebo 280-473 nl (Wang Ling) prostřednictvím interních důkazů (= daňové systémy předpokládané v textu).
Anglický text k překladu:
Bylo to spíše v teorii čísel než v jiných oblastech (poznámka v Mahoney 1994 , s. 284). Bachetovy vlastní důkazy byly „směšně nemotorné“
Anglický text k překladu:
Počáteční předměty Fermatovy korespondence zahrnovaly dělitele („alikvotní části“) a mnoho předmětů mimo teorii čísel; viz seznam v dopise od Fermata Robervalovi, 22.IX.1636
Anglický text k překladu:
Všechny následující citace z Fermatovy Varia opery jsou převzaty z Weil 1984 , kap. II. Standardní práce Tannery & Henry zahrnuje revizi Fermatovy posmrtné Varia Opera Mathematica původně připravené jeho synem
Anglický text k překladu:
Euler byl velkorysý při poskytování úvěrů ostatním ( Varadarajan 2006 , s. 14), ne vždy správně.
Anglický text k překladu:
Z předmluvy
Anglický text k překladu:
překlad je převzat z
Anglický text k překladu:
Viz diskuse v části 5 Goldstein a Schappacher 2007 . Rané známky sebeuvědomění jsou již obsaženy v dopisech Fermata: tedy jeho poznámky o tom, co je teorie čísel a jak „Diophantova práce [...] ve skutečnosti k ní [nepatří]“ (citováno v
Anglický text k překladu:
Viz důkaz v Davenport a Montgomery 2000 , část 1.
Anglický text k překladu:
Viz komentář k důležitosti modularity v Iwaniec a Kowalski 2004 , str. 1.