Věta o zapsaném úhlu a středovém úhlu
V rovině euklidovské geometrie , přesněji v geometrii kruhu , věty o vepsaném úhlu a o úhlu ve středu vytvářejí vztahy spojující vepsané úhly a úhly ve středu, které zachycují stejný oblouk .
- Na centrální úhel věta uvádí, že v kruhu, centrální opatření úhel dvakrát úhel vepsán záchytné stejný oblouk (obr 1 a 2, ).
- Úhel vepsaný věta je důsledkem toho předchozího a uvádí, že dvě vepsané úhly záchytné stejný oblouk kruhu mají stejnou míru (obrázek 1).
Existují dvě verze těchto vět, jedna týkající se geometrických úhlů a druhá týkající se orientovaných úhlů .
Věta o středovém úhlu
Verze s geometrickými úhly
Věta - Nechť M bod na kružnici se středem y O, A a B jsou dva odlišné body M. V případě, že kruh AMB úhly AOB intercept stejném oblouku AB, pak: .
Proto existují dvě situace, jedna v závislosti na úhlu vepsaný z vrcholu M je akutní , tedy úhel ve středu z výběžku vrchol O (obrázek 1), druhý v závislosti na úhlu vepsaný z vrcholu M je tupý , tedy úhel u reentrantní vrchol centrum O (obrázek 2).
Konkrétní případPřípad úhlu zapsaného do půlkruhu je konkrétním případem, kdy úhel ve středu je plochý úhel, a proto je vepsaný úhel pravým úhlem.
Verze týkající se orientovaných úhlů
Výrok a důkaz vlastnosti jsou mnohem jednodušší s orientovanými úhly.
Věta - Nechť , B a M tři odlišné body a Γ kruh středu O prostřednictvím A a B . Bod M patří k y tehdy a jen tehdy, pokud: .
Vepsaná věta o úhlu
Verze s geometrickými úhly
Dodatek - Dva úhly vepsané do kruhu a zachycující stejný oblouk mají stejnou míru.
Tato vlastnost je okamžitým důsledkem výše uvedené věty o středovém úhlu .
Doplněk - Dva úhly zapsané do kruhu zachycující doplňkové kruhové oblouky jsou další .
Vepsané úhly zachycují dva doplňkové oblouky, pokud jsou jejich vrcholy na obou stranách akordu spojeného s těmito dvěma oblouky.
Uvedená vlastnost je opět přímým důsledkem věty o středním úhlu. Když jsou oblouky komplementární, součet úhlů ve středu dává plný úhel. Protože zapsané úhly se rovnají polovině úhlů ve středu, součet zapsaných úhlů dává plochý úhel.
AplikaceTato věta je základem pojmu zaostřovacího kruhu nebo Rowlandova kruhu ve spektrometrii .
Úhel akordu a tečnaVlastnost zapsaných úhlů je zobecněna na úhly tvořené akordem, který oblouky oblouku dotýká tečnou:
Vepsaný úhel má stejnou míru jako úhel tvořený tětivou, která spojuje konce oblouku, s částí tečny ke kružnici na jednom z konců tětivy, která se nachází proti dotyčnému l úhlu vzhledem k akord.
Napsaný úhel má stejnou míru jako úhel jednoho ze dvou úhlů vytvořených tečnou (TT ') ke kružnici v A s tětivou [AB]:
Vepsaný úhel je stejná míra jako úhel tětivy [BA] s tangensou [AT].
je mezní poloha vepsaného úhlu, když M „směřuje“ k A.
Demonstrace
Pokud H je středem [AB], úhly a mají své strany dvě na dvě kolmé, mají stejnou míru.
(OH), který je půlící rovinou rovnoramenného trojúhelníku BOA, máme a skutečně se rovná polovině míry úhlu ve středu, a tedy míře úhlu podle věty úhlu ve středu.
Verze týkající se orientovaných úhlů
Pro úhly orientovaných, vlastnost je charakteristika okruhu přes body , M a B .
Věta - Pokud je kružnice ohraničená ne plochým trojúhelníkem AMB, pak pro jakýkoli bod N odlišný od A a B máme
.
Všimněte si, že rovnost platí pouze při uzavření π, což vysvětluje, že geometrické úhly mohou být další.
Poznámky a odkazy
- Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku s názvem „ Věta o vepsaném úhlu “ (viz seznam autorů ) .
- Vepsaný úhel je úhel, jehož vrchol patří do kruhu. V diagramu je tedy úhel AMO zapsán do kruhu, protože M je umístěn na obvodu.
- Ukázku najdete například v kapitole „Vepsaný úhel a úhel ve středu“ lekce „Vepsaná věta o úhlu“ na Wikiversity .
- Demonstraci najdete například v kapitole „Verze týkající se orientovaných úhlů“ lekce „Věta o zapsaném úhlu“ na Wikiversity .
- Jeden z oblouků, doplněný druhým, tvoří celý kruh. Viz doplňkové (teorie množin) .