Kruh

V euklidovské geometrii , je kruh je uzavřená rovinné křivky tvořeny body umístěnými ve stejné vzdálenosti od bodu zvaného centrum . Hodnota této vzdálenosti se nazývá poloměr kruhu.

V euklidovské rovině je to „kolo“, které je ve francouzštině spojeno s pojmem kruh. V neeuklidovské rovině nebo v případě definování neeuklidovské vzdálenosti může být tvar složitější. V prostoru jakékoli dimenze se množina bodů umístěných v konstantní vzdálenosti od středu nazývá koule .

Jiné tvary lze označit jako „kulaté“: povrchy a tělesa, jejichž určitými rovinnými úseky jsou kruhy ( válce , kužely , torus , prsten atd.).

Použití

Kruh je abstraktní matematický objekt, který lze použít k modelování mnoha jevů. Určitý počet vyráběných předmětů má kruhový průřez: válce (válečky, kola, sila), koule (balón, koule, kuličky), kužely (válečky, trychtýře). Vlastnosti kruhů proto umožňují odvodit vlastnosti objektů, jako je jejich objem, který umožňuje odvodit hmotnost objektu (znát jeho hustotu ) nebo jeho kapacitu. Objekty kruhového řezu jsou zajímavé z několika hlavních důvodů:

• tyto předměty se valí , což umožňuje pohyb a posunutí vyžadující malé úsilí ( kola , mechanická ložiska );
• podle definice jsou všechny body ve stejné vzdálenosti od středu; to znamená, že dosažení každého bodu ze středu vyžaduje stejný čas a stejnou energii, což dalo představu hemicycle ( amfiteátr ), ve kterém má zvuk stejnou hlasitost pro všechny, kteří sedí na stejné lavici;
  to je také důležité z hlediska územní organizace a logistiky  ; skutečně, pokud se pohyb provádí stejným způsobem ve všech směrech (v ideálním případě rovný a vodorovný povrch, bez překážek nebo let ptáka bez větru), pak kružnice představuje všechny body, které lze dosáhnout pro danou dobu cesty nebo vzhledem k spotřebě energie ze středu se jedná o pojem akčního rádiusu a zájem problému minimálního kruhu  ;
  při foukání skla se sklo pohybuje od bodu foukání izotropní rychlostí , což dává předmětu přirozeně zaoblený tvar;
• kruh je rovinná křivka, která je pro danou délku ( obvod ) největší oblastí ; Pokud tedy postavíme silo nebo válcovou láhev, máme největší kapacitu pro dané množství materiálu (vyrobit zeď), pokud postavíme kruhový plot, můžeme ubytovat více lidí za dané množství dřeva nebo kamene ; ve stejném duchu je obrana v kruhu vojenská strategie, která umožňuje bránit populaci nebo populaci s minimem prostředků, tváří v tvář útoku přicházejícímu ze všech stran, taktice přesně zvané obklíčení  ;
• tento tvar nepředstavuje žádnou drsnost, tedy žádnou koncentraci napětí  ; předmět mající tento tvar má lepší mechanickou pevnost;
• tento tvar nemá plochou část, takže střela má malou šanci zasáhnout ji „zepředu“, přenáší na ni méně energie, a proto riskuje menší poškození; pokud předmět spadne, je větší pravděpodobnost, že se odrazí bez rozbití; zaoblený předmět je také méně pravděpodobné, že se zraní v případě nárazu do osoby (balón, zaoblené kapoty a nárazníky moderních automobilů);
• jakákoli přímka procházející středem je poloměr, a proto je kolmá na kružnici; tato vlastnost se používá v optice a dává sférická protisrcátka , proto mají čočky také sférické povrchy (lze snadno předpovědět dráhu světla u dioptrií );
• předmět kruhového průřezu a tenké stěny může být vyroben navíjením drátu ( spirálová pružina , cívka ) nebo válcováním plechu ( koncovka , trubka ); předmět dutého nebo masivního kruhového průřezu lze také snadno získat soustružením ( keramika , mechanické soustružení );
• vložíme-li předmět do kruhového kontejneru, vnucujeme jeho polohu, ale neukládáme jeho orientaci; pokud na orientaci nezáleží, ušetří to čas, protože objekt nemusíte otáčet, než jej umístíte; toto je princip centrování (dlouhý nebo krátký) pro umístění (MiP).

Některé objekty reagují na více než jeden z těchto prvků. Například skutečnost, že hlaveň je válcová:

• umožňuje snadnou výrobu, zejména vyvrtávání  ;
• dává mechanickou pevnost (odolnost proti tlaku výbuchu);
• usnadňuje zavádění munice (pro zavádění ji nemusíte otáčet kolem její osy);
• cvičením vrtule v hlavni lze během střelby vytisknout rotační pohyb, který stabilizuje trajektorii.

Pokud má objekt zakřivený povrch, lze jej lokálně přiblížit kružnicí. Pokud tedy známe vlastnosti kruhu, známe místní vlastnosti objektu. To je to, co dalo pojmy oscilační kružnice , poloměr zakřivení a sférické harmonické .

Pokud máte objekty nebo lidi v kruhu, víte, že se k nim můžete dostat se stejnou námahou z centra, ale také, že je můžete vidět stejným způsobem, což může usnadnit dohled. Mohou být také označeny pomocí jediného parametru, směru; to je například zájem o jehlové číselníky . To také dává představy o válcových a sférických souřadnicích .

Podle jeho definice je velmi snadné nakreslit euklidovský kruh: stačí mít objekt, jehož dva konce mají konstantní vzdálenost, napnuté lano nebo například větev (dokonce zkroucenou), nebo častěji kompas . Je proto snadné nakreslit „dokonalý“ kruh, což z něj dělá privilegovaný studijní nástroj pro geometrii.

U složitějších problémů a tvarů můžeme použít pojem elipsa .

Kruh lze použít k symbolickému znázornění objektů „víceméně kulatých“:

• z nebeských těles ( planet , měsíců , hvězd ) a jejich oběžné dráhy (které jsou ve skutečnosti eliptický);
• ovál obličeje ( hlava Toto , smajlíci );
• otvor.

Z čistě symbolického hlediska představuje:

• určitá forma dokonalosti , které na základě své symetrie a jeho nepřítomnosti drsnosti, protože podle Ronsard , „nic je vynikající na světě, pokud to není kulatý“  ; od starověkého Řecka byla sférická spojována s dokonalostí, a tedy s božstvím; pro Keplera kruh představuje Nejsvětější Trojici , „Otec ve středu, Syn na povrchu, Duch svatý ve stejném vztahu od středu k okraji.“ A ačkoli střed, povrch a interval jsou zjevně tři, přesto jsou jeden, do té míry, že si člověk ani nedokáže představit, že chybí, aniž by byl zničen celek “  ;
• plynulý a nekonečný pohyb, pojem cyklu  ; je to jedna z reprezentací doporučení ( ouroboros ), kontinuity, věčnosti a cyklického času (viz časové kolo Kalachakra Tantra ), s variantou spirály  ;
• rovnost mezi lidmi, jako u kulatého stolu o králi Artušovi .

Definice

Po dlouhou dobu běžný jazyk používal slovo „kruh“ k pojmenování křivky ( obvodu ) stejně jako plochy, kterou vymezuje. V dnešní době, v matematice , kruh označuje výhradně zakřivenou čáru, přičemž povrch se zase nazývá disk .

Poměr obvodu kruhu k jeho průměru definuje číslo pi .

Je třeba definovat další pojmy:

• akord je úsečka, jejíž konce jsou na kruhu;
• oblouk je část kružnice vymezené dvěma body;
• šipka je segment spojující středy oblouku kruhu a tětivy definované dvěma stejnými body kruhu;
• poloměr je úsečka spojující střed k bodu na kruhu;
• průměr je tětiva procházející středem; je to úsečka, která vymezuje disk na dvě stejné části. Průměr se skládá ze dvou kolineárních paprsků  ; jeho délka je 2 r  ;
• disk je oblast roviny ohraničené kruhem;
• kruhové výseče je část disku mezi dvěma poloměry;
• kruhového segmentu je část disku sestává z tětivy a oblouku kružnice, že subtends;
• středový úhel je úhel mezi dvěma poloměry kruhu;
• obvod je obvod kruhu a se rovná 2n r .

Rovnice

Kartézské a parametrické rovnice

V rovině opatřené ortonormálním souřadným systémem je kartézská rovnice kružnice se středem C ( a , b ) a poloměrem r :

(X-na)2+(y-b)2=r2{\ displaystyle (xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} = r ^ {2} \,}, buď pro jednotkovou kružnici nebo trigonometrickou kružnici (kružnice, jejíž střed je počátkem referenčního rámečku a jehož poloměr je 1 ): X2+y2=1.{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1.}

Tato rovnice je ve skutečnosti aplikací Pythagorovy věty pro pravý trojúhelník tvořený bodem kruhu a jeho projekcí na dva paprsky rovnoběžné s osami.

Zvýrazněním y získáme dvojitou kartézskou rovnici kruhu (ve skutečnosti rovnici pro každý půlkruh ohraničenou vodorovným průměrem):

y=b±r2-(X-na)2{\ displaystyle y = b \ pm {\ sqrt {r ^ {2} - (xa) ^ {2}}} \,}.

Možné parametrické rovnice kružnice (v závislosti na parametru θ, který zde vyjadřuje orientovaný úhel vektoru spojujícího střed kružnice s jedním z těchto bodů vzhledem k jednotkovému horizontálnímu vektoru referenčního snímku) jsou dány vztahem:

X=na+rcos⁡θ;y=b+rhřích⁡θ{\ displaystyle x = a + r \ cos \ theta; \ qquad y = b + r \ sin \ theta}

tj. pro kruh se středem na počátku (0; 0)  :

X=rcos⁡θ;y=rhřích⁡θ{\ displaystyle x = r \ cos \ theta; \ qquad y = r \ sin \ theta}

a pro kruh jednotek:

X=cos⁡θ;y=hřích⁡θ{\ displaystyle x = \ cos \ theta; \ qquad y = \ sin \ theta}.

Díky teorému úhlu zapsaného do půlkruhu a jeho vzájemnosti můžeme také určit rovnici pro kružnici C o průměru [ AB ]  :

M∈VS⇔MNA→⊥MB→⇔MNA→⋅MB→=0⇔(X-XNAy-yNA)⋅(X-XBy-yB)=0⇔(X-XNA)(X-XB)+(y-yNA)(y-yB)=0⇔X2+y2-(XNA+XB)X-(yNA+yB)y+XNAXB+yNAyB=0.{\ displaystyle {\ begin {aligned} M \ in C & \ Leftrightarrow {\ overrightarrow {MA}} \ perp {\ overrightarrow {MB}} \\ & \ Leftrightarrow {\ overrightarrow {MA}} \ cdot {\ overrightarrow { MB}} = 0 \\ & \ Leftrightarrow {\ binom {x-x_ {A}} {y-y_ {A}}} \ cdot {\ binom {x-x_ {B}} {y-y_ {B} }} = 0 \\ & \ Leftrightarrow \ left (x-x_ {A} \ right) \ left (x-x_ {B} \ right) + \ left (y-y_ {A} \ right) \ left (y - y_ {B} \ right) = 0 \\ & \ Leftrightarrow x ^ {2} + y ^ {2} - \ left (x_ {A} + x_ {B} \ right) x- \ left (y_ {A } + y_ {B} \ vpravo) y + x_ {A} x_ {B} + y_ {A} y_ {B} = 0. \ end {zarovnáno}}}

Průsečíky s přímkou

Analytické geometrie pro určení průsečíku kruhu a přímky . Bez ztráty obecnosti je počátek souřadného systému středem kruhu a osa úsečky je rovnoběžná s přímkou. Jde pak o řešení systému ve formě:

X2+y2=r2Ety=y0{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2} \ quad {\ rm {a}} \ quad y = y_ {0}},

proto hledat řešení x z

X2=r2-y02{\ displaystyle x ^ {2} = r ^ {2} -y_ {0} ^ {2}}.

Existují tři případy, v závislosti na tom, zda je vzdálenost mezi středem kruhu a přímkou větší než poloměr, rovný nebo menší:

• pokud je křižovatka prázdná;|y0|>r{\ displaystyle | y_ {0} |> r}
• pokud je přímka tečná ke kružnici v bodě  ;|y0|=r{\ displaystyle | y_ {0} | = r}(0,y0){\ displaystyle (0, y_ {0})}
• jestliže existují dva průsečíky: .|y0|<r{\ displaystyle | y_ {0} | <r}(+r2-y02,y0) a (-r2-y02,y0){\ displaystyle (+ {\ sqrt {r ^ {2} -y_ {0} ^ {2}}}, y_ {0}) {\ text {and}} (- {\ sqrt {r ^ {2} - y_ {0} ^ {2}}}, y_ {0})}

Kruh viděný jako řez

Kruh je elipsa, jejíž ohniska se shodují se středem kruhu; délka hlavní osy se rovná délce vedlejší osy. Jedná se o kuželovitý řez, jehož výstřednost e se rovná 0. Lze jej získat průsečíkem roviny s kuželem otáčení, když je rovina kolmá k ose otáčení kužele (někdy mluvíme o „řezu vpravo“) kužele).

V průmyslovém designu je kruh nejčastěji znázorněn svou vodorovnou osou a svislou osou (ve středových čarách: tenká čára složená z dlouhých a krátkých pomlček), nebo jednoduše s jeho středem zhmotněným přímým křížkem „+“ v jemných čarách. Tvar otáčení, plný nebo dutý ( válec , kužel , koule ) a viděný podél osy otáčení je znázorněn kruhem.

Geometrické vlastnosti

Opatření

Délka oblouku o poloměru r subtended pomocí úhlu ve středu alfa , vyjádřená v radiánech , se rovná aR . Pro úhel 2π (jedno úplné otočení) je tedy délka kruhu 2π r .

Plocha disku ohraničená kruhem o poloměru r je π r 2  ; vezmeme-li akord dané délky l a použijeme jej k vymezení uzavřené plochy, plocha s největší oblastí je ohraničena kružnicí.

Podle legendy o založení Kartága panovník dovolil Féničanům založit město, jehož obvod by byl ohraničen hovězí kůží  ; Dido z toho vytvořil velký pás a zvolil kruhový tvar, aby měl největší plochu.

Lano a šíp z luku

Délka akordu, kterou svírá úhel α, se rovná 2 r sin ( α / 2) .

Můžeme vyjádřit poloměr r kruhu, akord c a šipku f kteréhokoli z jeho oblouků, podle dvou z nich, použitím Pythagorovy věty na pravý trojúhelník tvořený r - f , c / 2 a r, které je přepona:

vs.=2(2r-F)F;r=4F2+vs.28F;F=r-r2-vs.24{\ displaystyle c = 2 {\ sqrt {(2r-f) f}}; \ qquad r = {\ frac {4f ^ {2} + c ^ {2}} {8f}}; \ qquad f = r- {\ sqrt {r ^ {2} - {\ tfrac {c ^ {2}} {4}}}}}.

Vlnitost dvou protilehlých podobných oblouky kruhu spojeny ve stejné průběžně diferencovatelné rovině je nezávislá na poloměru kruhu.

Tečna

Tečna v bodě na kružnici je kolmá k poloměru v tomto bodě.

Tato vlastnost má aplikace v geometrické optice  : světelný paprsek procházející středem sférického zrcadla opouští opět v opačném směru ve stejném směru (máme odraz kolmý na zrcadlo). Pokud umístíme žárovku do středu sférického zrcadla, světlo se vrací na druhou stranu, což umožňuje například „ohýbat“ světlo směrem k parabolickému zrcadlu (princip protisměrného zrcátka).

Uvažujme o kruhu se středem O a bodem A mimo tento kruh. Hledáme tečnu k tomuto kruhu procházejícímu A  ; bodu styku se nazývá T .

Využíváme skutečnost, že trojúhelník AOT je T- obdélník . Tento pravý trojúhelník je proto zapsán do kruhu, jehož střed je středem [ AO ] , nebo dokonce, což je ekvivalentní, že přepona má délku dvojnásobnou od mediánu vyplývajícího z pravého úhlu.

Proto jsme se zjistit střed I o [ AO ] , pak nakreslit oblouk kružnice se středem I a poloměrem IO . Tento kruhový oblouk protíná kruh v bodech tečnosti.

Prostředník

Kolmé sečna z řetězce prochází středem kruhu. To umožňuje najít střed kruhu: stačí nakreslit dva neparalelní akordy a najít průsečík jejich kolmých přímek.

Můžeme také ukázat, že tři kolmé půlící čáry trojúhelníku jsou souběžné a že průsečík je střed kruhu procházejícího třemi vrcholy, který se nazývá kruh ohraničený trojúhelníkem.

Kruh a pravý trojúhelník

Vezměme na kruhu tři body A , B a C , z nichž dva - A a C - jsou diametrálně odlišné (tj. [ AC ] je průměr). Poté je trojúhelník ABC je obdélník B .

To vyplývá ze skutečnosti, že medián vyplývající z pravého úhlu má hodnotu poloviny přepony (máme poloměr a průměr); toto je vlastnost trojúhelníku zvaná tečka o úhlu půlkruhu nebo Thalesova věta (v Německu a některých anglicky mluvících zemích).

Naopak, nechť A a C jsou dva diametrálně odlišné body kruhu. Nebo B bod v rovině, jako ABC je obdélník B . Pak B patří do kruhu.

Vepsaný úhel, středový úhel

Vezměme dva odlišné body A a B kruhu. O je střed kruhu a C je další bod kruhu. Takže máme

NAÓB^=2×NAVSB^{\ displaystyle {\ widehat {AOB}} = 2 \ krát {\ widehat {ACB}}}

Pro úhel středu , musíme uvažovat úhlového sektoru, který protíná oblouk naproti oblouku, který obsahuje C . NAÓB^{\ displaystyle {\ widehat {AOB}}}

Tato vlastnost se používá v vlnová délka disperzních zařízeních spektrální analýza , je pojem z zaostřování kruhu nebo Rowland kruhu .

Síla bodu vzhledem ke kružnici

Pokud M je bod a Γ je kružnice se středem O a poloměrem R , pak pro jakoukoli přímku procházející M a setkávající se s kružnicí v A a B máme

MNA×MB=|ÓM2-R2|{\ displaystyle MA \ krát MB = | OM ^ {2} -R ^ {2} |}.

Tato hodnota nezávisí na zvolené přímce, ale pouze na poloze M vzhledem ke kružnici.

To si můžeme všimnout

• je-li M mimo kruh, MNA×MB=ÓM2-R2{\ displaystyle MA \ krát MB = OM ^ {2} -R ^ {2}} ;
• pokud je M uvnitř kruhu, ÓM2-R2=-MNA×MB{\ displaystyle OM ^ {2} -R ^ {2} = - MA \ krát MB} ;tento součin odpovídá součinu algebraických měr MA a MB .

Síla bodu M vzhledem ke kruhu y se pak nazývá součin algebraických opatření MA a MB . Tento produkt je nezávislý na zvolené linii a je vždy platný . ÓM2-R2{\ displaystyle OM ^ {2} -R ^ {2}}

Když je bod M mimo kruh, je možné vytvořit tečny ke kruhu. Voláním t bodu kontaktu jedné z těchto tečen, podle Pythagorovy věty v trojúhelníku OMT , síla M je MT 2 .

Rovnost:

MNA×MB=MT2{\ displaystyle MA \ krát MB = MT ^ {2}}

stačí říci, že přímka ( MT ) je tečná ke kružnici.

Síla bodu umožňuje ověřit, že čtyři body jsou cocyclic: opravdu, pokud

• A , B , C , D jsou čtyři body takové, že ( AB ) a ( CD ) se protínají v M a
• MA × MB = MC × MD (v algebraických měřítcích),

pak jsou čtyři body cyklocyklické.

Přehled registrovaných kruhů

Tato část může obsahovat nepublikovanou práci nebo neověřená prohlášení  (30. 8. 2015) . Můžete pomoci přidáním odkazů nebo odebráním nepublikovaného obsahu.

• Poloměr a plocha 2 největších kruhů zapsaných do kruhu s poloměrem R a plochou S  : R′{\ displaystyle R '}S′{\ displaystyle S '}R′=R2;2S′=S2{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {2}} \ ,; \ qquad 2 \, S' = {\ frac {S} {2}}}
• Poloměr a plocha 3 největších vepsaných kruhů: R′{\ displaystyle R '}S′{\ displaystyle S '}R′=R1+43;3S′=9S7+23{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {1 + {\ sqrt {\ frac {4} {3}}}}}} \ \; qqad 3 \, S' = {\ frac {9 \, S } {7 + 2 {\ sqrt {3}}}}}
• Poloměr a plocha 4 největších vepsaných kruhů: R′{\ displaystyle R '}S′{\ displaystyle S '}R′=R1+2=(2-1)R;4S′=4S3+8{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {1 + {\ sqrt {2}}}} = ({\ sqrt {2}} - 1) \, R \ ,; \ qquad 4 \, S' = {\ frac {4 \, S} {3 + {\ sqrt {8}}}}}
• Poloměr 5 největších vepsaných kruhů: R′{\ displaystyle R '}R′=R1+2+45{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {1 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {\ frac {4} {5}}}}}}}}}
• Poloměr a plocha 7 (nebo 6) největších vepsaných kruhů (1 kruh ve středu obklopený 6): R′{\ displaystyle R '}S′{\ displaystyle S '} R′=R3;7S′=7S9{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {3}} \ ,; \ qquad 7 \, S' = {\ frac {7 \, S} {9}}}.

Nápis kruhů se stejným poloměrem v kruhu, rovnostranný trojúhelník, čtverec

Poznámky a odkazy

1. Viz definice adjektivního kola na webu CNRTL .
2. Pierre de Ronsard , Odpověď na urážky a svolávání Nevím, kteří kazatelé a ministři v Ženevě ,1563.
3. „  řecké záloh: Kruh a koule  “ , na virtuálních galeriích Národní knihovny Francie .
4. Johannes Kepler , Kosmografické tajemství ,1596.
5. Například v encyklopedii Diderot a d'Alembert je kruh „prostor ohraničený obvodem“ ( s: L'Encyclopédie / 1re edition / CERCLE ) a slovník Robert edition 1993 uvádí jako třetí význam slovo kruh: „podle aktuálního rozšíření: rovná plocha omezená kruhem“ .
6. Jean Dieudonné , Lineární algebra a elementární geometrie , Paříž, Hermann ,1964např. 2p.96
7. Najděte tyto číslice nápisů kruhů na stránce skládané v plánu .

Podívejte se také

• Zobecněný kruh  (v)
• Kniha III of Euclid's Elements
• Disk - Koule - Koule

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">