Kruh

V euklidovské geometrii , je kruh je uzavřená rovinné křivky tvořeny body umístěnými ve stejné vzdálenosti od bodu zvaného centrum . Hodnota této vzdálenosti se nazývá poloměr kruhu.

V euklidovské rovině je to „kolo“, které je ve francouzštině spojeno s pojmem kruh. V neeuklidovské rovině nebo v případě definování neeuklidovské vzdálenosti může být tvar složitější. V prostoru jakékoli dimenze se množina bodů umístěných v konstantní vzdálenosti od středu nazývá koule .

Jiné tvary lze označit jako „kulaté“: povrchy a tělesa, jejichž určitými rovinnými úseky jsou kruhy ( válce , kužely , torus , prsten atd.).

Použití

Kruh je abstraktní matematický objekt, který lze použít k modelování mnoha jevů. Určitý počet vyráběných předmětů má kruhový průřez: válce (válečky, kola, sila), koule (balón, koule, kuličky), kužely (válečky, trychtýře). Vlastnosti kruhů proto umožňují odvodit vlastnosti objektů, jako je jejich objem, který umožňuje odvodit hmotnost objektu (znát jeho hustotu ) nebo jeho kapacitu. Objekty kruhového řezu jsou zajímavé z několika hlavních důvodů:

Některé objekty reagují na více než jeden z těchto prvků. Například skutečnost, že hlaveň je válcová:

Pokud má objekt zakřivený povrch, lze jej lokálně přiblížit kružnicí. Pokud tedy známe vlastnosti kruhu, známe místní vlastnosti objektu. To je to, co dalo pojmy oscilační kružnice , poloměr zakřivení a sférické harmonické .

Pokud máte objekty nebo lidi v kruhu, víte, že se k nim můžete dostat se stejnou námahou z centra, ale také, že je můžete vidět stejným způsobem, což může usnadnit dohled. Mohou být také označeny pomocí jediného parametru, směru; to je například zájem o jehlové číselníky . To také dává představy o válcových a sférických souřadnicích .

Podle jeho definice je velmi snadné nakreslit euklidovský kruh: stačí mít objekt, jehož dva konce mají konstantní vzdálenost, napnuté lano nebo například větev (dokonce zkroucenou), nebo častěji kompas . Je proto snadné nakreslit „dokonalý“ kruh, což z něj dělá privilegovaný studijní nástroj pro geometrii.

U složitějších problémů a tvarů můžeme použít pojem elipsa .

Kruh lze použít k symbolickému znázornění objektů „víceméně kulatých“:

Z čistě symbolického hlediska představuje:

Definice

Po dlouhou dobu běžný jazyk používal slovo „kruh“ k pojmenování křivky ( obvodu ) stejně jako plochy, kterou vymezuje. V dnešní době, v matematice , kruh označuje výhradně zakřivenou čáru, přičemž povrch se zase nazývá disk .

Poměr obvodu kruhu k jeho průměru definuje číslo pi .

Je třeba definovat další pojmy:

Rovnice

Kartézské a parametrické rovnice

V rovině opatřené ortonormálním souřadným systémem je kartézská rovnice kružnice se středem C ( a , b ) a poloměrem r :

, buď pro jednotkovou kružnici nebo trigonometrickou kružnici (kružnice, jejíž střed je počátkem referenčního rámečku a jehož poloměr je 1 ):

Tato rovnice je ve skutečnosti aplikací Pythagorovy věty pro pravý trojúhelník tvořený bodem kruhu a jeho projekcí na dva paprsky rovnoběžné s osami.

Zvýrazněním y získáme dvojitou kartézskou rovnici kruhu (ve skutečnosti rovnici pro každý půlkruh ohraničenou vodorovným průměrem):

.

Možné parametrické rovnice kružnice (v závislosti na parametru θ, který zde vyjadřuje orientovaný úhel vektoru spojujícího střed kružnice s jedním z těchto bodů vzhledem k jednotkovému horizontálnímu vektoru referenčního snímku) jsou dány vztahem:

tj. pro kruh se středem na počátku (0; 0)  :

a pro kruh jednotek:

.

Díky teorému úhlu zapsaného do půlkruhu a jeho vzájemnosti můžeme také určit rovnici pro kružnici C o průměru [ AB ]  :

Průsečíky s přímkou

Analytické geometrie pro určení průsečíku kruhu a přímky . Bez ztráty obecnosti je počátek souřadného systému středem kruhu a osa úsečky je rovnoběžná s přímkou. Jde pak o řešení systému ve formě:

,

proto hledat řešení x z

.

Existují tři případy, v závislosti na tom, zda je vzdálenost mezi středem kruhu a přímkou větší než poloměr, rovný nebo menší:

Kruh viděný jako řez

Kruh je elipsa, jejíž ohniska se shodují se středem kruhu; délka hlavní osy se rovná délce vedlejší osy. Jedná se o kuželovitý řez, jehož výstřednost e se rovná 0. Lze jej získat průsečíkem roviny s kuželem otáčení, když je rovina kolmá k ose otáčení kužele (někdy mluvíme o „řezu vpravo“) kužele).

V průmyslovém designu je kruh nejčastěji znázorněn svou vodorovnou osou a svislou osou (ve středových čarách: tenká čára složená z dlouhých a krátkých pomlček), nebo jednoduše s jeho středem zhmotněným přímým křížkem „+“ v jemných čarách. Tvar otáčení, plný nebo dutý ( válec , kužel , koule ) a viděný podél osy otáčení je znázorněn kruhem.

Geometrické vlastnosti

Opatření

Délka oblouku o poloměru r subtended pomocí úhlu ve středu alfa , vyjádřená v radiánech , se rovná aR . Pro úhel (jedno úplné otočení) je tedy délka kruhu 2π r .

Plocha disku ohraničená kruhem o poloměru r je π r 2  ; vezmeme-li akord dané délky l a použijeme jej k vymezení uzavřené plochy, plocha s největší oblastí je ohraničena kružnicí.

Podle legendy o založení Kartága panovník dovolil Féničanům založit město, jehož obvod by byl ohraničen hovězí kůží  ; Dido z toho vytvořil velký pás a zvolil kruhový tvar, aby měl největší plochu.

Lano a šíp z luku

Délka akordu, kterou svírá úhel α, se rovná 2 r sin ( α / 2) .

Můžeme vyjádřit poloměr r kruhu, akord c a šipku f kteréhokoli z jeho oblouků, podle dvou z nich, použitím Pythagorovy věty na pravý trojúhelník tvořený r - f , c / 2 a r, které je přepona:

.

Vlnitost dvou protilehlých podobných oblouky kruhu spojeny ve stejné průběžně diferencovatelné rovině je nezávislá na poloměru kruhu.

Tečna

Tečna v bodě na kružnici je kolmá k poloměru v tomto bodě.

Tato vlastnost má aplikace v geometrické optice  : světelný paprsek procházející středem sférického zrcadla opouští opět v opačném směru ve stejném směru (máme odraz kolmý na zrcadlo). Pokud umístíme žárovku do středu sférického zrcadla, světlo se vrací na druhou stranu, což umožňuje například „ohýbat“ světlo směrem k parabolickému zrcadlu (princip protisměrného zrcátka).

Uvažujme o kruhu se středem O a bodem A mimo tento kruh. Hledáme tečnu k tomuto kruhu procházejícímu A  ; bodu styku se nazývá T .

Využíváme skutečnost, že trojúhelník AOT je T- obdélník . Tento pravý trojúhelník je proto zapsán do kruhu, jehož střed je středem [ AO ] , nebo dokonce, což je ekvivalentní, že přepona má délku dvojnásobnou od mediánu vyplývajícího z pravého úhlu.

Proto jsme se zjistit střed I o [ AO ] , pak nakreslit oblouk kružnice se středem I a poloměrem IO . Tento kruhový oblouk protíná kruh v bodech tečnosti.

Prostředník

Kolmé sečna z řetězce prochází středem kruhu. To umožňuje najít střed kruhu: stačí nakreslit dva neparalelní akordy a najít průsečík jejich kolmých přímek.

Můžeme také ukázat, že tři kolmé půlící čáry trojúhelníku jsou souběžné a že průsečík je střed kruhu procházejícího třemi vrcholy, který se nazývá kruh ohraničený trojúhelníkem.

Kruh a pravý trojúhelník

Vezměme na kruhu tři body A , B a C , z nichž dva - A a C - jsou diametrálně odlišné (tj. [ AC ] je průměr). Poté je trojúhelník ABC je obdélník B .

To vyplývá ze skutečnosti, že medián vyplývající z pravého úhlu má hodnotu poloviny přepony (máme poloměr a průměr); toto je vlastnost trojúhelníku zvaná tečka o úhlu půlkruhu nebo Thalesova věta (v Německu a některých anglicky mluvících zemích).

Naopak, nechť A a C jsou dva diametrálně odlišné body kruhu. Nebo B bod v rovině, jako ABC je obdélník B . Pak B patří do kruhu.

Vepsaný úhel, středový úhel

Vezměme dva odlišné body A a B kruhu. O je střed kruhu a C je další bod kruhu. Takže máme

Pro úhel středu , musíme uvažovat úhlového sektoru, který protíná oblouk naproti oblouku, který obsahuje C .

Tato vlastnost se používá v vlnová délka disperzních zařízeních spektrální analýza , je pojem z zaostřování kruhu nebo Rowland kruhu .

Síla bodu vzhledem ke kružnici

Pokud M je bod a Γ je kružnice se středem O a poloměrem R , pak pro jakoukoli přímku procházející M a setkávající se s kružnicí v A a B máme

.

Tato hodnota nezávisí na zvolené přímce, ale pouze na poloze M vzhledem ke kružnici.

To si můžeme všimnout

Síla bodu M vzhledem ke kruhu y se pak nazývá součin algebraických opatření MA a MB . Tento produkt je nezávislý na zvolené linii a je vždy platný .

Když je bod M mimo kruh, je možné vytvořit tečny ke kruhu. Voláním t bodu kontaktu jedné z těchto tečen, podle Pythagorovy věty v trojúhelníku OMT , síla M je MT 2 .

Rovnost:

stačí říci, že přímka ( MT ) je tečná ke kružnici.

Síla bodu umožňuje ověřit, že čtyři body jsou cocyclic: opravdu, pokud

pak jsou čtyři body cyklocyklické.

Přehled registrovaných kruhů

Tato část může obsahovat nepublikovanou práci nebo neověřená prohlášení  (30. 8. 2015) . Můžete pomoci přidáním odkazů nebo odebráním nepublikovaného obsahu.

Nápis kruhů se stejným poloměrem v kruhu, rovnostranný trojúhelník, čtverec

Poznámky a odkazy

  1. Viz definice adjektivního kola na webu CNRTL .
  2. Pierre de Ronsard , Odpověď na urážky a svolávání Nevím, kteří kazatelé a ministři v Ženevě ,1563.
  3. „  řecké záloh: Kruh a koule  “ , na virtuálních galeriích Národní knihovny Francie .
  4. Johannes Kepler , Kosmografické tajemství ,1596.
  5. Například v encyklopedii Diderot a d'Alembert je kruh „prostor ohraničený obvodem“ ( s: L'Encyclopédie / 1re edition / CERCLE ) a slovník Robert edition 1993 uvádí jako třetí význam slovo kruh: „podle aktuálního rozšíření: rovná plocha omezená kruhem“ .
  6. Jean Dieudonné , Lineární algebra a elementární geometrie , Paříž, Hermann ,1964např. 2p.96
  7. Najděte tyto číslice nápisů kruhů na stránce skládané v plánu .

Podívejte se také

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">