V elementární geometrii , že média věta je zvláštní případ Thales teorému připojil k jeho převrácená .
Pokud se segment spojí se středy dvou stran trojúhelníku , je rovnoběžný se třetí stranou a jeho délka je poloviční než délka této třetí strany.
Věta může být graficky znázorněna níže:
Tato vlastnost je demonstrována bez znalosti definice vektoru. Na obrázku (IJ) je čára středů v ABC, kterou chceme dokázat paralelně s (BC).
Nechť K je symetrický J vzhledem k I, pak máme I střed [JK] a IJ = KJ / 2.
Jelikož jsem hypoteticky středem [AB], úhlopříčky AJBK se protínají v jejich společném středu I, takže AJBK je rovnoběžník .
Jeho strany [AJ] a [KB] jsou rovnoběžné a stejně dlouhé, takže je stejná pro [JC] a [KB].
KBCJ není zkřížená (B a C jsou ve stejné polorovině vzhledem k (KJ), B jako symetrický k A vzhledem k I, C jako symetrický k A vzhledem k J).
Pokud má nezkřížený čtyřúhelník dvě protilehlé strany, které jsou rovnoběžné a mají stejnou délku, pak jde o rovnoběžník.KBCJ je tedy rovnoběžník.
Díky vlastnostem rovnoběžníku jsou protilehlé strany [KJ] a [BC] rovnoběžné, přímka (IJ) je tedy rovnoběžná s (BC).
Protože protilehlé strany jsou stejné, z KJ = BC odvodíme: IJ = BC / 2.
Když je pojem vektor již známý - například v případě euklidovského afinního prostoru spojeného s vektorovým prostorem - existuje mnohem kratší důkaz vektoru.
Protože I je střed ( A , B ) a J je střed ( A , C ), máme
, odkud .Vektory a jsou kolineární, takže čáry ( IJ ) a ( BC ) jsou rovnoběžné.
Norma se rovná polovině , jinými slovy vzdálenost IJ se rovná BC / 2.
Můžeme skrýt Chaslesův vztah použitý výše, asimilací afinního prostoru k jeho přidruženému vektorovému prostoru výběrem A jako počátku. Poté se zapíší předchozí rovnice: B = 2 I a C = 2 J , tedy C - B = 2 ( J - I ) .
Toto je speciální případ Thalesovy přímé věty .
Věta - Pokud čára prochází středem jedné strany trojúhelníku a je rovnoběžná s druhou stranou, protíná ve svém středu třetí stranu.
Existuje důkaz, že tato vzájemnost zahrnuje pouze představy o oblasti.
Předpokládáme, že přímka prochází středem I strany [AB], že je rovnoběžná se stranou [BC] a že protíná stranu [AC] v bodě J '. Trojúhelník CBI má stejný vrchol jako trojúhelník CBA a má proto polovinu základny oblast (CBI) = 1 / 2 plocha (CBA). Segment [IJ '] je rovnoběžný se základnou [BC], proto stříháním plocha (CBI) = plocha (CBJ '). Plocha trojúhelníku BCJ 'je tedy polovinou plochy trojúhelníku BCA a body C, J' a A jsou tedy zarovnány CJ ‚= 1 / 2 CA. Bod J 'se tedy rovná středu J segmentu [CA].Alternativně lze inverzní větu dokázat elementárně jako přímou větu : když si všimneme K 'symetrického k J' vzhledem k I, čtyřúhelník AJ'BK 'je rovnoběžník, proto je (BK') paralelní s (J'A) = (CJ '), takže BK'J'C je také rovnoběžník; proto CJ '= BK' = J'A.
Všimněte si, že inverzní teorém lze odvodit z prvního tvrzení přímé věty a naopak: se stejnými zápisy jako výše se J rovná J 'právě tehdy, když (IJ) je paralelní s (IJ'), c „to znamená (BC).