Věta o koláži

V matematice věta o koláži stanoví existenci konstruktivní techniky aproximací jakékoli kompaktní množiny bodů v euklidovském prostoru (jako je obrázek) pomocí atraktoru systému iterovaných funkcí , na libovolnou požadovanou míru přesnosti.

Jednoduše řečeno, dokazuje to, že každá kompaktní forma prostoru může být pokryta jeho kopiemi.

Tuto větu, používanou při fraktální kompresi , demonstroval v roce 1985 Michael Barnsley .

Věta

Nechť X je úplný metrický prostor . Buď všechny kompaktní podmnožiny Nevyprazdňujte X . Poskytujeme kompletní metrickou prostorovou strukturu , se Hausdorffovou vzdáleností dál . Buď se má přiblížit k množině, a nechat > 0. Pak existuje rodina kontrakcí (IFS) na X , s kontrakčním poměrem s , takovým, že: ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (X)}$ $h$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (X)}$ ${\ displaystyle L \ v {\ mathcal {H}} (X)}$ $\ varepsilon$ ${\ displaystyle \ {w_ {1}, w_ {2}, \ tečky, w_ {N} \}}$

{\ displaystyle h \ left (L, \ bigcup _ {n = 1} ^ {N} w_ {n} (L) \ right) \ leq \ varepsilon}

A máme

{\ displaystyle h (L, A) \ leq {\ frac {\ varepsilon} {1-s}},}

kde A je přitahovatelem IFS.

Poznámky

Poslední nerovnost bezprostředně vyplývá z nerovnosti

{\ displaystyle h (L, A) \ leq {\ frac {h \ vlevo (L, \ bigcup _ {n = 1} ^ {N} w_ {n} (L) \ right)} {1-s}} }

platí pro všechny a všechny IFS na X , pro atraktor A a pro kontrakční poměr s . ${\ displaystyle L \ v {\ mathcal {H}} (X)}$ ${\ displaystyle \ {w_ {1}, w_ {2}, \ tečky, w_ {N} \}}$

lepící věta zdá, na rozdíl od existence IFS, která se vztahuje k precompacity části , jako zvláštní případ tohoto Banachova věta o pevném bodě . $L$
Jeho zájem je založen na jeho aplikacích.
Kniha Jeana Dieudonného použitá jako reference ve větě má předmluvu Gastona Julie , která vytváří pozoruhodné spojení mezi všemi myšlenkami.

Příklady

Tady ve výše uvedeném rámečku je rodina 4 afinních kontrakcí inspirovaných listem stromu, jehož obrys byl nakreslen a vnitřek zbarven na list papíru, který bude hrát roli . Ujistili jsme se, že je dostatečně malý a že s je řádově 0,5. Dostaneme atraktor vpravo. Tento příklad pomáhá porozumět tomu, co se nazývá inverzní problém , což je hledání automatických metod k získání ifs, který se blíží danému obrazu. ${\ displaystyle \ {w_ {1}, w_ {2}, w_ {3}, w_ {4} \}}$ $L$ ${\ displaystyle h \ left (L, \ bigcup _ {n = 1} ^ {4} w_ {n} (L) \ right)}$

Jedná se o princip konstrukce fraktálního stromu nebo fraktálního mraku , který je variací obdélníku.

Těchto několik objektů, matematicky dokonale definovaných, poskytuje malou představu o motivacích, které jsou schopné animovat matematiky od 80. let .

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Collage theorem “ ( viz seznam autorů ) .

„ Objevení metody vytváření fraktálových obrazů. "
MF Barnsley, S. Demko, „Iterované funkční systémy a globální konstrukce fraktálů,“ Sborník Královské společnosti v Londýně A 399, s. 243-275 (1985)
„ Konstrukce fraktálů metodou IFS, s. 27 “
Jean Dieudonné, prvky analýzy 1 , gauthier-villars,1963( ISBN 978-2-04-010410-8 a 2-04-010410-0 ) , problém 3, s. 61
(in) Barnsley, MF (Michael Fielding), 1946- , Fraktály všude , Academic Press Professional1993( ISBN 0-12-079069-6 , OCLC 28025975 , číst online ) , s. 94, s. 98
" systém iterovaných funkcí, str. 21 "
(in) „Expository Paper of Sandra S. Snyder“ (verze ze dne 6. června 2010 v internetovém archivu ) , na scimath.unl.edu
(in) „ Přehled komprese fraktálového obrazu z literatury “ na Universitat Freiburg
„ Fraktální strom “ , na matematické křivce od Roberta Ferreola
(ne) kolektivní, Věda o fraktálových obrazech , Springer-Verlag,1988( ISBN 0-387-96608-0 ) , s. 236-237
(in) Peitgen, Heinz-Otto, 1945- , Krása fraktálů: obrázky komplexních dynamických systémů , Springer-Verlag ,1986( ISBN 3-540-15851-0 , OCLC 13331323 , číst online ) , PŘEDMLUVA

externí odkazy

(en) Interaktivní popis na cut-the-uzel
(en) Popis Sandra S. Snyder