Věta o hodnosti

V matematice , a přesněji v lineární algebry je rank věta spojuje hodnosti o lineární mapy a dimenze jejího jádra . Jedná se o důsledek věty o izomorfismu . Lze jej interpretovat pojmem lineární index aplikace .

V konečné dimenzi umožňuje zejména charakterizovat invertibilitu lineární mapy nebo matice podle její pozice.

Věta o hodnosti

Věta o umístění  -  Nechť E a F jsou dva vektorové prostory (konečných nebo nekonečných rozměrů) nad polem K a nechme f ∈ L ( E , F ) lineární mapu. Tak

rGF+dimker⁡F=dimE{\ displaystyle {\ rm {rg}} f + {\ rm {dim \,}} \ ker f = {\ rm {dim}} \, E}

kde RG f označuje rozměr obrazu o f .

Tato věta vyplývá bezprostředně z toho, že pro každý vektor podprostoru V části E , máme dim E = matný E / V + slabé V a z na faktorizace věty , podle kterého E / ker ( f ) je izomorfní im ( f ).

Demonstrace, pracnější ale který určuje výsledek, spočívá v ověření, že pro jakéhokoli základu ( u y ) s ∈ S jádra a žádný základ ( f ( u t )), t ∈ T obrazu - indexované podle soupravy S a T disjunkt -, ( u r ) r ∈ S ⋃ T je základem E  :

• Tato rodina je generátor: pro jakýkoli vektor x , poznámkou, x t souřadnice f ( x ), ve spodní části obrázku, a x je takové o x - Σ x t u t v základně jádra, získáme x = ∑ x r u r  ;
• je to zdarma: pokud je lineární kombinace ∑ x r u r nula, pak pořízení obrazu f , 0 + ∑ t ∈ T x t f ( u t ) = 0, tedy nezávislostí f ( u t ) x t jsou nula, takže počáteční hypotéza je zjednodušena na ∑ s ∈ S x s u s = 0, z čehož pomocí nezávislosti u s odvodíme , že x s jsou také nula.

Aplikace na charakterizaci izomorfismů

Když vektorové prostory E a F jsou konečné rozměry a mají stejný rozměr n , hodnost věta umožňuje stanovit rovnocennost následující vlastnosti:

1. mapa f je izomorfismus od E do F ;
2. mapa f je surjektivní  ;
3. aplikace f je injektivní  ;
4. hodnost f se rovná n .

Zvláštní případ endomorfismů

Nechť f je lineární mapa konečného rozměrného vektorového prostoru E sama o sobě. Stejně jako dříve máme vztah:

dimimF+dimker⁡F=rG(F)+dimker⁡F=slunce⁡E{\ displaystyle \ mathrm {dim \, im} f + \ mathrm {dim \,} \ ker f = \ mathrm {rg} (f) + \ mathrm {dim \,} \ ker f = \ dim E \,}

odkud odvodíme, že im f a ker f jsou další právě tehdy, když je jejich průnik redukován na nulový vektor.

Maticový případ

Teorém o hodnosti lze napsat pro matice . Pokud A je matice ( m , n ) nad polem K , pak

rGNA+dim(ker⁡U)=ne{\ displaystyle {\ rm {rg}} A + {\ rm {dim \,}} (\ ker U) = n}

kde U je lineární mapování K n v K m canonically spojené s matice A .

Někteří definují jádro matice následovně:

ker⁡NA: ={X∈Mne,1(K.)∣NAX=0}{\ displaystyle \ ker A: = \ {X \ v {\ mathcal {M}} _ {n, 1} (K) \ mid AX = 0 \}}

který je podprostor stejného rozměru jako ker U . Mne,1(K.){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n, 1} (K)}

Věta o hodnosti je poté zapsána

rGNA+dim(ker⁡NA)=ne{\ displaystyle {\ rm {rg}} \, A + {\ rm {dim}} (\ ker A) = n}

Další formulace a zevšeobecnění

Zobecnění

Tato věta je zvláštní formou první věty o izomorfismu algebry v případě vektorových prostorů.

V modernějším jazyce lze teorém uvést následovně: if

0→D→E→F→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow D \ rightarrow E \ rightarrow F \ rightarrow 0}

je krátká přesná sekvence vektorových prostorů

dim(D)+dim(F)=dim(E).{\ displaystyle {\ rm {dim}} (D) + {\ rm {dim}} (F) = {\ rm {dim}} (E).}

Odtud F hraje roli im f a D , které z ker f .

Tuto formulaci lze zobecnit na přesnou posloupnost neurčené délky (možná nekonečná): pokud

...→Ene-1→Ene→Ene+1→...{\ displaystyle \ ldots \ to E_ {n-1} \ to E_ {n} \ to E_ {n + 1} \ to \ ldots}

je tedy přesná sekvence vektorových prostorů

∑ne peerslunce⁡(Ene)=∑ne zvláštníslunce⁡(Ene),{\ displaystyle \ sum _ {n {\ text {sudý}}} \ dim (E_ {n}) = \ sum _ {n {\ text {odd}}} \ dim (E_ {n}),}

které, když jediné nenulové E n jsou takové, že p ≤ n ≤ q a jsou konečných rozměrů, se přepíše:

∑ne=pq(-1)neslunce⁡(Ene)=0.{\ displaystyle \ sum _ {n = p} ^ {q} (- 1) ^ {n} \ dim (E_ {n}) = 0.}

Označme f n morfismus z E n na E n + 1 v této posloupnosti. Proto máme podle věty o hodnosti (platné i pro nekonečné dimenze):

slunce⁡(Ene)=slunce⁡(ker⁡Fne)+slunce⁡(imFne){\ displaystyle \ dim (E_ {n}) = \ dim (\ ker f_ {n}) + \ dim ({\ rm {im}} f_ {n})}

a pro přesnost:

imFne=ker⁡Fne+1.{\ displaystyle {\ rm {im}} f_ {n} = \ ker f_ {n + 1}.}

Můžeme odvodit:

∑ne peerslunce⁡(Ene)=∑ne peerslunce⁡(ker⁡Fne)+∑ne peerslunce⁡(imFne)=∑ne peerslunce⁡(imFne-1)+∑ne peerslunce⁡(ker⁡Fne+1)=∑ne zvláštníslunce⁡(imFne)+∑ne zvláštníslunce⁡(ker⁡Fne)=∑ne zvláštníslunce⁡(Ene).{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sum _ {n {\ text {pair}}} \ dim (E_ {n}) & = \ sum _ {n {\ text {pair}}} \ dim (\ ker f_ {n}) + \ sum _ {n {\ text {pair}}} \ dim ({\ rm {im}} f_ {n}) \\ & = \ sum _ {n {\ text {pair}} } \ dim ({\ rm {im}} f_ {n-1}) + \ sum _ {n {\ text {pair}}} \ dim (\ ker f_ {n + 1}) \\ & = \ sum _ {n {\ text {odd}}} \ dim ({\ rm {im}} f_ {n}) + \ sum _ {n {\ text {odd}}} \ dim (\ ker f_ {n}) \\ & = \ sum _ {n {\ text {odd}}} \ dim (E_ {n}). \ end {zarovnáno}}}

Výklad pojmem index

Teorém o hodnosti pro konečné dimenzionální vektorové prostory lze také formulovat z hlediska indexu lineární mapy . Index lineární mapy f od E do F , kde E a F jsou konečné prostorové vektorové prostory, je definován

inedivs.EF=dim(ker⁡F)-dim(vs.ÓkErF){\ displaystyle {\ rm {index}} f = {\ rm {dim}} (\ ker f) - {\ rm {dim}} ({\ rm {coker}} f)}

Intuitivně dim (ker f ) je počet nezávislých řešení x rovnice f ( x ) = 0 a dim (coker f ) je počet nezávislých omezení na y ∈ F pro vytvoření rovnice f ( x ) = y řešitelný. Věta o pořadí pro konečné prostorové vektorové prostory je ekvivalentní s tezí

inedivs.EF=dim(E)-dim(F){\ displaystyle {\ rm {index}} f = {\ rm {dim}} (E) - {\ rm {dim}} (F)}

To znamená, že index je nezávislý na funkci f zvolené v L ( E , F ). Tento výsledek zobecňuje Atiyah-Singerova věta o indexu , která tvrdí, že index určitých diferenciálních operátorů lze získat z geometrie příslušných prostorů.

Poznámky a odkazy

1. (en) Serge Lang , Algebra , 1965 [ detail vydání ] , Theorem 4 , str. 87.
2. N. Bourbaki , Algebra , str. A-II-101, propozice 9.
3. Tato přesnost se používá v článku Nilpotentní endomorfismus .
4. Lucien Chambadal a Jean-Louis Ovaert , „Lineární a multilineární algebra“ , Slovník matematiky , Algebra, analýza, geometrie , Albin Michel a Encyklopedie Universalis ,2002, 924  s. ( ISBN  2-226-09423-7 ) , str.  637-638.
5. Roger Godement , Cours d'Algebre , 1966, str. 250, důsledek 1.