Liouvilleova věta (komplexní proměnná)

Ve složité analýze je Liouvilleova věta výsledkem vztahujícím se k celočíselným funkcím ( holomorfní funkce v celé komplexní rovině). I když na reálné linii existuje velké množství nekonečně diferencovatelných a ohraničených funkcí, Liouvilleova věta tvrdí, že jakákoli ohraničená celočíselná funkce je konstantní.
Tato věta je způsobena Cauchy. Toto přesměrování je dílem žáka z Liouville, který se o této větě dozvěděl v kurzech, které si přečetl.

Státy

Liouvilleova věta je uvedena následovně:

Liouvilleova věta - Pokud f je určitá funkce, která je holomorfní v celé komplexní rovině, pak f je konstantní, když je ohraničené.

Tuto větu lze vylepšit:

Věta - Je - li f celočíselná funkce s polynomiálním růstem stupně nejvýše k , v tom smyslu, že:

{\ displaystyle \ existuje (A, B) \ in (\ mathbb {R} _ {+}) ^ {2}, \ \ forall z \ in \ mathbb {C}, \ quad | f (z) | \ leq A + B | z | ^ {k}}

pak f je polynomická funkce stupně menšího nebo rovného k .

Demonstrace

Navrhovaná demonstrace, relativně krátká, je založena na Cauchyho nerovnosti . Další možné důkazy jsou nepřímo založeny na Cauchyově integrálním vzorci .

První prohlášení

Integrální funkce f , která je ohraničena na C . V tomto případě existuje horní mez M modulu pružnosti f . Cauchyova nerovnost platí pro f a pro jakýkoli disk se středem z a poloměrem R ; ona dává :

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C}, \ quad \ left | f '(z) \ right | \ leq {\ frac {M} {R}}}

Pokud opravíme z a přimíme R inklinovat k nekonečnu, přijde to:

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C}, \ quad f '(z) = 0}

Proto je derivace f všude nula, takže f je konstantní.

Druhé prohlášení

Předpokládáme, že celá funkce f polynomiálně roste. Cauchyova nerovnost se opět aplikuje na disk se středem z a poloměrem R :

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C}, \ quad {\ frac {\ left | f ^ {(k + 1)} (z) \ right |} {(k + 1)!}} \ leq {\ frac {\ sup \ {| f (w) |, | wz | = R \}} {R ^ {k + 1}}} \ leq {\ frac {A + B {\ vlevo (| z | + R \ right)} ^ {k}} {R ^ {k + 1}}}}

Opět platí, že tím, že R má sklon k nekonečnu, přichází:

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C}, \ quad f ^ {(k + 1)} (z) = 0}

Postupnými primitivacemi je funkce f polynomiální funkcí v z a její stupeň je menší nebo roven k .

Věta může být demonstrována pomocí Cauchyho integrálního vzorce, který ukazuje, že komplexní derivace f je identicky nulová, ale takto to Liouville demonstroval; a později Cauchy zpochybnil autorství výsledku s Liouville. Historici Nicméně věří, že to není projevem Stiglerova zákona : Cauchy to mohl snadno předvést před Liouvilleem, ale neučinil tak.

Věta je výrazně vylepšena Picardovou Malou větou , která uvádí, že jakákoli nekonstantní celočíselná funkce bere všechna komplexní čísla jako hodnoty, s výjimkou maximálně jednoho bodu.

Aplikace

D'Alembert-Gaussova věta

The d'Alembert-Gaussova věta (nebo dokonce základní věta o algebře) uvádí, že jakýkoli nekonstantní komplexní polynom přiznává kořen . Jinými slovy, pole komplexních čísel je algebraicky uzavřeno . Tuto větu lze demonstrovat pomocí analytických nástrojů, a zejména Liouvilleova věta uvedená výše, důkaz najdete v podrobném článku.

Studie Riemannovy koule

Pokud jde o Riemannovu plochu , teorém lze zobecnit následovně: pokud $M$ je parabolický Riemannův povrch (například komplexní rovina ) a pokud $N$ je hyperbolický povrch (například otevřený disk), pak libovolná funkce holomorfní $f : M \to N$ musí být konstantní.

Eliptické funkce

Používá se také k určení, že eliptická funkce bez pólů je nutně konstantní; to je to, co Liouville původně stanovil.

Poznámky a odkazy

Boris Chabat , Úvod do komplexní analýzy, Volume I Functions of a variable , 1990, Éditions Mir , str. 104.
Viz například důkaz uvedený v Rudin, str. 254 , poněkud odlišný.