Nagelova věta

Existuje několik Nagelových vět , které všechny souvisejí s geometrií trojúhelníku .

Věta I

Nechť ABC je trojúhelník. Nechť H je jeho ortocentrum a O je střed kruhu ohraničeného tímto trojúhelníkem. Pokud je úhel ostrý, má stejný půlící úhel jako úhel .

\ widehat {BAC}

{\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}

Demonstrace

Trojúhelník ABC nemá žádné tupé úhly

Střed ohraničené kružnice O a ortocentrum H jsou pak uvnitř trojúhelníku ABC .

Nechť $β$ je úhel , který je vepsán do popsané kružnice (viz obrázek A). je odpovídající středový úhel hodnoty $2$ $β$ . Trojúhelník AOC je rovnoramenný, protože OA a OC jsou poloměry popsané kružnice. Úhly a jsou si navzájem rovné a $α$ $= π / 2 -$ $β$ . $\ widehat {ABC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {COA}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {OAC}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {ACO}}}$

Buď jsem se noha nadmořské výšce od A . Trojúhelník ABI je pravoúhlý a úhel je $π / 2 -$ $β$ $=$ $α$ . ${\ displaystyle {\ widehat {BAI}}}$

Úsečka úhlu je tedy také úsečkou úhlu, který je také úhlem , protože ortocentrum H je uvnitř segmentu AI . Všimněte si, že úhel je nulový, když se úhly vrcholy B a C trojúhelníku ABC jsou shodné, což nastává v případě, že trojúhelník je rovnostranný nebo rovnoramenný v A . $\ widehat {BAC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {IAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$

Trojúhelník ABC je obdélník

Střed ohraničené kružnice O je středem přepony, ortocentrum H je vrchol pravého úhlu.

Úhel není definován, pokud A je vrchol pravého úhlu a Nagelova věta se na tento vrchol nevztahuje. ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$

Pro další summit, úhly a jsou stejné jako AH a AO jsou dvě strany trojúhelníku spojující A . Mají tedy stejné půlení. $\ widehat {BAC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$

Trojúhelník ABC má tupý úhel

Střed popsané kružnice O a ortocentrum H jsou pak oba mimo trojúhelník ABC .

Pokud je A jeden ze dvou vrcholů ostrého úhlu (viz obrázek B), je důkaz podobný případu trojúhelníku bez tupého úhlu. Výška AI a poloměr AO jsou zde segmenty mimo trojúhelník. Úhel a úhel jsou identické, protože ortocentrum H je mimo výšku AI strany výšky nohy. ${\ displaystyle {\ widehat {IAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$

Pokud je úhel v A tupým úhlem (viz obrázek C), pak mají stále stejné úvahy úhly a mají stejný půlící úhel . Jelikož však ortocentrum H je zde mimo trojúhelník, ale na straně vrcholu výšky, je úhlovou osou přímka (D), která tvoří úhel $π / 2$ s úhlovou částí úhlu a Nagelova úhlu věta neplatí. $\ widehat {BAC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {IAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {IAO}}}$

Závěr

Kromě případů, kdy je úhel vrcholové A uvažovaného je v pořádku, pokud dosadíme orthocenter H od I nohu výšky vyplývá z A , pak úhly a mají vždy stejnou půlící čáru. $\ widehat {BAC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {OAI}}}$

Věta III

V trojúhelníku jsou čáry, které spojují nohy výšek, kolmé k poloměrům, které spojují vrcholy se středem popsané kružnice.

Reference

Mr. Housel, " Důkaz Věty III pan Nagel ," Annals of matematiky News , 1 st série, vol. 19,1860, str. 438-440 ( číst online )

Související článek

Nagel point