Radonova věta

Radon výstupek věta zavádí možnost rekonstruovat Reálná funkce dvou proměnných (podobně jako obraz) se všemi svými výstupky podle paralelních linií. Nejběžnější aplikací této věty je rekonstrukce lékařských obrazů v CT, tedy ve skenerech na rentgen . Za své jméno vděčí matematikovi Johannovi Radonovi .

V praxi je nemožné mít všechny projekce pevného objektu, pouze vzorek . Existují však metody, jak tuto informační mezeru zaplnit podle toho, co víme a priori o obrazu, například metody maximální entropie (viz Cox-Jaynesova věta ).

Radonová transformace

Uvažujme funkci dvou proměnných ƒ; je to obvykle hustota definovaná v rovině ( x , y ). Uvažujme přímku L této roviny. Radonová transformace této čáry je jednoduše integrálem podél čáry :, což znamená x vektor , a proto ${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {f} (\ mathrm {L}) = \ int _ {\ mathrm {L}} f (\ mathrm {\ bf {x}}) \, | \ mathrm {d { \ bf {x}}} |}$ ${\ displaystyle (x, y)}$

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {f} (\ mathrm {L}) = \ int _ {\ mathrm {L}} f (x, y) \, {\ sqrt {\ mathrm {d} x ^ { 2} + \ mathrm {d} y ^ {2}}}}

Řadu L však lze charakterizovat polárními parametry (ρ, θ):

ρ je vzdálenost od přímky k počátku referenčního rámce,
θ je úhel, který kolmá k přímce svírá s osou x .

Souřadnice ( x , y ) bodů této přímky ověřují rovnici:

ρ = x ⋅cos (θ) + y ⋅sin (θ)

Můžeme tedy definovat radonovou transformaci směru φ danou dvojným integrálem :

p _ {{\ varphi}} (x ') = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (x , y) \, \ delta (x \ cos (\ varphi) + y \ sin (\ varphi) -x ') \, {\ mathrm d} x \, {\ mathrm d} y

kde δ ( x ) je Diracova hybnost .

V případě, že x 'a φ jsou diskrétní, je radonová transformace ekvivalentní Houghově transformaci pro linii.

Radonová inverzní transformace

Rekonstrukci funkce v polárních souřadnicích lze poté provést pomocí inverzní radonové transformace: $F$

{\ hat {f}} (r, \ theta) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} {\ mathcal {F}} ^ {{- 1}} [| \ omega | ] * p _ {{\ varphi}} (x ') \, {\ mathrm d} \ varphi

kde je Fourierova transformace . Inverzní radonová transformace spočívá ve filtrování všech projekcí a jejich šíření po celém obrazu ve stejném směru, ve kterém byly promítány; proto se někdy také používá název „rekonstrukce filtrovanou zadní projekcí“. ${\ mathcal {F}}$

Podívejte se také

Mojette transformace