Indukovaná topologie

V matematiky je indukovaná topologie je topologie definovaný na jakékoli části Y části topologického prostoru X  : ZAŘÍZENÍ trať na Y topologie na X . Jinými slovy, množina otevřených bodů Y (vybavených indukovanou topologií) je: { O ⋂ Y | Otevřete O X }. Nebo: že čtvrtí v Y z bodu jsou stopy na Y svých čtvrtí X . Říkáme, že Y je podprostor na X .

Indukované topologie je často implicitní ve výkazech topologie  : například, když topologický prostor X vzhledem, část Y z X se nazývá kompaktní , je-li kompaktní pro topologii vyvolané X na Y .

Poznámky

• Pokud je otevřený O z X zahrnut v Y , pak O je otevřený z Y pro indukovanou topologii (podobně, jakýkoli uzavřený z X zahrnutý v Y je uzavřen v Y ).
• Přerušení Y pro topologii indukované nemusí být otevřen pro topologii X . Podobně uzavřený Y není vždy uzavřena v X . Například pokud X = ℝ s obvyklou topologií a Y =] -1,1], pak] 0,1] =] 0,2 [⋂] -1,1] je otevřený v Y, ale ne v X a] -1,0] = [-2,0] ⋂ ] -1,1] je uzavřen v Y , ale ne v X .
• Pokud je však Y otevřené v X , jakékoli otevřené Y je otevřené X  : vyplývá to ze skutečnosti, že průsečík dvou otevřených je otevřený. (Podobně, pokud je Y uzavřeno v X , jakákoli uzavřená Y je uzavřená X. )
• Pokud je Y obdařen topologií indukovanou X a pokud A je podmnožinou Y, pak topologie indukovaná Y na A je identická s topologií indukovanou X na A.
• Indukovaná topologie je zvláštní případ počáteční topologie .