Variogram

Variogramu je matematická funkce používaná v geostatistiky , zejména pokud jde o Kriging . Mluvíme také o semivariogramu , faktorem ½ jeho definice.

Analýza variogramu , variography nebo strukturální analýzy je odhadnout a studovat variogramu o náhodné veličiny.

Variogram náhodné funkce

Uvažujme náhodnou proměnnou $Z$ prostorové proměnné $x$ a předpokládejme, že je stacionární , to znamená, že průměr a rozptyl $Z ( x )$ jsou nezávislé na $x$ . Dali jsme velikost: ${\ displaystyle \ gamma (x, y) = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {Var} \ left [Z \ left (x \ right) -Z \ left (y \ right) \ right] = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {E} \ vlevo [| Z (x) -Z (y) | ^ {2} \ vpravo]}$ Protože $Z$ je stacionární, pravá strana závisí pouze na vzdálenosti mezi body $x$ a $y$ . Variogram ve vzdálenosti $h$ je pak poloviční průměr čtverců rozdílů realizací $Z$ v bodech rozmístěných po $h$ . ${\ displaystyle \ gamma (h) = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {E} _ {| yx | = h} \ vlevo [| Z (x) -Z (y) | ^ {2} \ že jo]}$

Ohraničený variogram

Věta - Pokud $Z$ je stacionární náhodná funkce kovariance $C$ , je její variogram ohraničený a je zapsán: ${\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (0 \ right) -C \ left (h \ right)}$

Konverzace je nepravdivá: je-li $Z$ vnitřní a ohraničeného variogramu, pak $Z$ je součet stacionární náhodné funkce $L 2$ a skutečné náhodné proměnné .

Zájem variogramu

Variogram je definován pro libovolnou vnitřní náhodnou funkci, která závisí pouze na vzdálenosti $h$ , zatímco kovarianční funkce je definována pouze pro případ stacionární náhodné funkce řádu 2 . Odhad variogramu navíc není zkreslený průměrem, na rozdíl od kovariance.

Kroky a rozsah

Pokud má kovariance $Z$ sklon k nekonečnu, má variogram plató $γ (\infty) = Var [ Z ]$ . Říkáme rozsahu vzdálenost, ze které variogram dosahuje, respektive jeho plató; praktický rozsah (někdy stupnice ) je vzdálenost, ze které variogramu, zůstává v 5% intervalu kolem jeho plošině a. Standardní je poměr rozsah praktické rozsahu.

Experimentální variogram

Experimentální variogramu nebo empirický variogramu je odhad teoretického variogramu z dat.

Dovolit být množina bodů, kde $jsou známy$ hodnoty regionalizované proměnné $z$ . Aby byl součet využitelný, musí být proveden s určitou tolerancí, to znamená, že součet bude proveden na vzájemně vzdálených párech $h \pm δh$ , kde často jeden definuje krok $d$ pro $h = n \times d , n \in ℕ$ a tolerance $δh = ½ d$ . Pak můžeme odhadnout variogram podle vzorce: ${\ displaystyle {\ hat {\ gamma}} \ left (h \ right) = {\ frac {1} {2n \ left (h \ right)}} \ sum _ {h- \ delta h <| xy | < h + \ delta h} \ left (z \ left (x \ right) -z \ left (y \ right) \ right) ^ {2}}$ kde $n ( h )$ je počet dvojic bodů, jejichž vzdálenost je mezi $h - δh$ a $h + δh$ .

V obecnějším případě by $h$ mohl být vektor a součet bude proveden ve všech bodech $x$ , $y$ tak, že $y = x + h$ . To umožňuje vypořádat se s anizotropiemi .

Empirický variogram Gaussova procesu

Pokud $X$ je Gaussův proces , můžeme odhadnout zákon empirického variogramu. ${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ text {si}} X \ sim {\ mathcal {N}} _ {n} (0, \ Sigma) \\ & {\ text {then}} {\ hat {\ gamma}} \ left (h \ right) \ sim \ sum _ {i = 1} ^ {\ operatorname {n} \ left (h \ right)} \ lambda _ {i} \ left (h \ right) \ chi _ {i1} ^ {2} {\ text {pour des}} \ chi ^ {2} {\ text {iid do 1 dof}} \\ & {\ text {either}} \ mathbf {E} \ left [{\ hat {\ gamma}} \ left (h \ right) \ right] = \ operatorname {Trace} \ left (A \ left (h \ right) \ Sigma \ right) {\ text {,}} \ mathbf {Var} \ left [{\ hat {\ gamma}} \ left (h \ right) \ right] = 2 \ operatorname {Trace} \ left (A \ left (h \ right) \ Sigma \ right) ^ { 2} \\ & {\ text {where}} A_ {x_ {i}, x_ {j}} = - {\ frac {1} {\ operatorname {n} \ left (h \ right)}} {\ text {si}} x_ {i} \ neq x_ {j} {\ text {,}} A_ {x_ {i}, x_ {i}} = - {\ frac {\ operatorname {n} \ vlevo (h \ vpravo ) -1} {\ operatorname {n} \ doleva (h \ doprava)}} \ konec {zarovnáno}}}$

Modelování (úprava)

Odhadovaný variogram není prediktivní a nejčastěji nerespektuje omezení krigingu . Z tohoto důvodu geostatistické metody modelují variogram odhadovaný spojitou funkcí vystavenou určitým omezením ( negativní podmíněně definovaná funkce ). Tento krok se nazývá modelování nebo přizpůsobení variogramu. Modelování je nezbytnou součástí krigingu.

Vnořovací model

Model je spojitá funkce, která nejlépe reprodukuje celkový vzhled teoretického variogramu. Ne všechny funkce jsou možné: musí umožňovat autorizovanou lineární kombinaci . Lineární kombinace $\sum i λ i Z i$ je považována za autorizovanou, pokud je vždy definováno její očekávání a její rozptyl (v daném modelu). Obecně používáme model vnořeného variogramu ve tvaru $γ ( h ) = \sum i γ i ( h )$ . Přístup vnořeného modelu může vést k tomu, že studovaný fenomén bude považován za součet nezávislých náhodných funkcí, které lze studovat samostatně v rámci analýzy krigeante ; tyto komponenty však obecně nemají žádný vlastní fyzický význam.

Komponenty jsou definovány úrovní $C$ a případně rozsahem $a$ a tvarovými parametry. Nejčastěji používané komponenty $γ i$ jsou:

Součásti variogramů

Chování	Příjmení	Standardní $δ$	Vzorec složky $γ ( h )$
Součásti ložiska $C$ , bez rozpětí	čistý nugget (odpovídá slabému bílému šumu)	-	${\ displaystyle \ gamma (h) = {\ begin {případů} C, & {\ text {si}} h> 0 \\ 0, & {\ text {si}} h = 0 \ end {případů}}}$
klasické komponenty na úrovni $C$ a rozsahu $a$	Gaussian	1731	${\ displaystyle \ gamma (h) = C \ vlevo (1-e ^ {- 3 \ vlevo ({\ frac {h} {a}} \ vpravo) ^ {2}} \ vpravo)}$
	krychlový	1	${\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (7 \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {35} {4}} \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {3} + {\ frac {7} {2}} \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {5} - {\ frac {3} {4}} \ vlevo ({\ frac {h} {a}} \ vpravo) ^ {7} \ vpravo)}$
	exponenciální	2 996.	${\ displaystyle \ gamma (h) = C \ vlevo (1-e ^ {- {\ frac {h} {a}}} \ vpravo)}$
	sférický v rozměru nejvýše 3	1	${\ displaystyle \ gamma (h) = {\ begin {cases} C \ left ({\ frac {3} {2}} {\ frac {h} {a}} - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {3} \ right), & {\ text {si}} 0 \ leqslant h \ leqslant a \\ C, & {\ text {si} } h \ geqslant a \ end {případy}}}$
	kardinální sinus	.3 20,371	${\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1 - {\ frac {sin \ left ({\ frac {h} {a}} \ right)} {\ frac {h} {a} }} \ že jo)}$
klasické nestacionární komponenty	lineární	1	${\ displaystyle \ gamma (h) = C {\ frac {h} {a}}}$
klasické nestacionární komponenty	Napájení	1	${\ displaystyle \ gamma (h) = C \ vlevo ({\ frac {h} {a}} \ vpravo) ^ {b} \ {\ text {kde}} \ 0 <b \ leq 2}$
zřídka používané komponenty	stabilní nebo zobecněný exponenciál	$α \sqrt 3$	${\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1-e ^ {- \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {\ alpha}} \ right)}$
	gama	$α \sqrt 20 -1$	${\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1 - {\ frac {1} {\ left (1 + {\ frac {h} {a}} \ right) ^ {\ alpha}} } \ že jo)}$ , $α > 0$
	J de Bessel	1	${\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1-2 ^ {\ alpha} \ Gamma \ left (\ alpha +1 \ right) {\ frac {J _ {\ alpha} \ left ( {\ frac {h} {a}} \ vpravo)} {\ vlevo ({\ frac {h} {a}} \ vpravo) ^ {\ alpha}}} \ vpravo)}$ , $α > d / 2 -1$
	K z Bessela nebo Matérna, kde $K α$ je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu parametru $α$	1	${\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1 - {\ frac {\ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {\ alpha}} {2 ^ {\ alpha -1} \ Gamma \ left (\ alpha \ right)}} K _ {- \ alpha} \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) \ right)}$ , $α > 0$
	model exponenciálního kosinu nebo efekt díry
	Zobecněný Cauchy	$\sqrt (α \sqrt 20 -1)$	${\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1- \ left (1+ \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {- \ alpha} \ right)}$ , $α > 0$

Anizotropie

Směrová variogramu ve směru jednotky vektor $u$ je definován $γ u ( h ) = ½Var [ Z ( x + HU ) - Z ( x )]$ . O anizotropii mluvíme, pokud existují dva jednotkové vektory, takže směrové variogramy jsou odlišné. Existují dva hlavní případy:

geometrická anizotropie : různá rozpětí, stejná úroveň v závislosti na směru; variogram je lineární přetvoření $A$ izotropního variogramu $y 0$ ; $γ ( h ) = γ 0 (‖ Ah ‖)$ .
Zonální nebo stratifikovaná anizotropie : stejné rozpětí, různé úrovně v závislosti na směru; variogram je součet komponent vykazujících podpůrné anizotropie: na určitém základě závisí pouze na určitých souřadnicích. Nedoporučuje se používat modely, kde jsou anizotropie oddělitelné podle souřadnic (například $γ ( h ) = γ 1 ( h 1 , h 2 ) + γ 2 ( h 3 )$ )

Vlastnosti

Variogram je sudá funkce s kladnými hodnotami.

Když je definována kovariance $C$ , souvisí s variogramem vztahem:

${\ displaystyle \ gamma (h) = C (0) -C (h)}$ kde $C ( η )$ je kovariance ve vzdálenosti $η$ (závisí pouze na $η$ pro stacionární náhodnou funkci)

Variogram je často omezenou rostoucí funkcí. V tomto případě nazýváme nesení okraje variogramu do nekonečna a dosáhneme vzdálenosti, ve které je téměř dosaženo ložiska (obvykle 95%). Pokud existuje, varianta $C (0)$ je toto plató. V praxi se zejména kvůli okrajovým efektům vypočítaný variogram zvyšuje až na maximum, poté mírně klesá nebo je celkově stabilní.

Konvoluce : nechť $Z$ je konvoluce $p$ náhodné funkce $Y$ : $Z = Y * p$ . Potom vztah mezi jejich variogramy vyhovuje $γ Y = γ Z * (p * p)$ .

Vlastnosti stacionárního variogramu

${\ displaystyle \ scriptstyle \ gamma \ left (0 \ right) = 0}$
${\ displaystyle \ scriptstyle \ gamma \ left (h \ right) \ geq 0 ~ \ pro všechny h}$
symetrie: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ gamma \ left (h \ right) = \ gamma \ left (-h \ right) ~ \ celkem h}$
$- γ$ je podmíněného pozitivního typu : nechť $λ$ je míra splňující $\int λ (d t ) = 0$ , pak ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ int \ lambda \ left (\ mathrm {d} t \ right) \ left (- \ gamma \ left (tu \ right) \ right) \ lambda \ left (\ mathrm {d} u \ right ) \ geq 0}$
Pro všechna $t > 0,$ $e - tγ$ je kovariance
poměr $γ ( h ) ∕ | h | 2$ je ohraničeno pro $h ⟶\infty$
při absenci driftu, to znamená v případě vnitřní , jinými slovy: ${\ displaystyle \ lim \ limits _ {h \ to \ infty} {\ frac {\ gamma \ left (h \ right)} {\ left | h \ right | ^ {2}}} = 0}$ ${\ displaystyle \ gamma (h) {\ podmnožina {h \ to \ infty} {=}} \ mathbf {o} \ left (\ left | h \ right | ^ {2} \ right)}$
pokud je variogram ohraničen na nekonečno, je náhodná funkce stacionární řádu 2 ; pak existuje stacionární kovariance $C ( h )$ taková, že $γ ( h ) = C (0) - C ( h )$
Variogram $γ ( h )$ se rovná polovině rozptylu prodloužení libovolného bodu ${ x }$ v bodě ${ x + h }$

Chování na počátku variogramu odráží pravidelnost náhodné funkce.

Další prezentace variogramu

Můžeme také definovat variogram jako funkci $γ$ takovou ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {si}} \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 0 {\ text {, pak}} \ mathbf {Var} \ left [\ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} \ right] = \ sum _ {i, j} - \ lambda _ {i} \ gamma _ {i, j} \ lambda _ {j}}$

Tento vzorec poskytuje definici variogramu až po aditivní konstantu.

Substituce mezi variogramem a kovariancí

Vzorce definované ve stacionární hypotéze lze přepsat do vnitřní hypotézy za předpokladu, že zahrnují CLA, nahrazením kovariance $C$ opakem variogramu $- γ$

Nugget efekt

Vzorec okamžitě dává $γ (0) = 0$ . Obecně se však pozoruje, že variogram nemá u malých vzdáleností sklon k 0. Limit variogramu na nule bude nazýván nuget . Představuje variaci mezi dvěma měřeními prováděnými na nekonečně blízkých místech, a proto může pocházet ze tří efektů:

přirozená variabilita měřeného parametru: může měřit například dvě různé hodnoty, pokud se měří ve dvou různých časech;
variabilita měřicího přístroje: nuget proto částečně měří statistickou chybu měřicího přístroje;
skutečný efekt nugetů : náhlá změna měřeného parametru; historickým případem je přechod bez přechodu ze zlatého nugetu na zem neobsahující téměř žádné zlato.

Pokud je variogram pole spojitý všude kromě počátku, toto pole se rozpadá na součet dvou nekorelovaných polí příslušných variogramů, čistého nugetu a spojité funkce všude.

Pouzdro s více proměnnými

V multivariabilní geostatistice je definován zkřížený variogram $γ$ vnitřní multivariační náhodné funkce $Z = ( Z ( x , 1); Z ( x , 2);\dots; Z ( x , n ))$ na jejích proměnných $i$ a $j$ v kroku $h$ : ${\ displaystyle \ gamma _ {i, j} \ left (h \ right) = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {Cov} \ left [Z \ left (x + h, i \ right) - Z \ left (x, i \ right), Z \ left (x + h, j \ right) -Z \ left (x, j \ right) \ right] \ \ forall x}$ Umístíme jeho zobecnění $γ̃$ do bodů $x$ a $y$ ve vzdálenostech $a$ a $b$ : ${\ displaystyle {\ tilde {\ gamma}} _ {i, j} \ left (a, b \ right) = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {Cov} \ left [Z \ left (x + a, i \ right) -Z \ left (x, i \ right), Z \ left (y + b, j \ right) -Z \ left (y, j \ right) \ right] \ \ forall x, y}$ Obecně platí, že $γ$ není dostatečné k řešení problému s více proměnnými. Toto je pár , takže nezohledňujte rozdíly mezi proměnnými. Přesně: ${\ displaystyle \ gamma _ {i, j} \ left (h \ right) = K_ {i, j} \ left (0 \ right) - {\ frac {K_ {i, j} \ left (h \ right) + K_ {i, j} \ vlevo (-h \ vpravo)} {2}}}$ To vedlo k zavedení zkříženého pseudovariogramu , jehož nevýhodou je sčítání podle různých složek (tedy potenciálně podle různých jednotek): ${\ displaystyle \ pi _ {i, j} \ left (h \ right) = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {Var} \ left [Z \ left (x + h, i \ right) - Z \ left (x, j \ right) \ right]}$

Související články

Matérnova kovariance

Bibliografie

Pierre Chauvet , kontrolní seznam lineární geostatistiky , Paříž, Les Presses de l'École des Mines,Srpna 1999( Repr. 1993, 1994, 1998, 1999, 2008) ( 1 st ed. 1989), 367 str. , 16 x otevřená 24 cm ( ISBN 2-911762-16-9 , upozornění BNF n o FRBNF37051458 )

Reference

pojmenovaný, protože aplikuje počet bodů procesu Poissonova bodu ve sféře
povoleno maximálně ve 3 rozměrech; dosáhne své plošiny poprvé při $π a$
je to jediný autosimilární model, tj. Invariantní změnou měřítka: $γ ( k h ) = k b γ ( h )$ ; související prostorový jev je bez měřítka