Z-matice

V matematiky , je -matrix je skutečný čtvercová matice , jejíž extra-diagonální prvky jsou negativní. Tyto matice přinášejí konkrétní vlastnosti problémům lineární komplementarity . Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}

Opakem -matice je Metzlerova matice (a naopak). Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}

Definice

Real čtvercová matice je -matrix pokud všechny jeho extra diagonální prvky jsou negativní: M∈Rne×ne{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ krát n}}Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}

∀(i,j)∈{1,...,ne}2 s i≠j my máme Mij⩽0.{\ displaystyle \ forall \, (i, j) \ in \ {1, \ ldots, n \} ^ {2} ~ {\ mbox {with}} ~ i \ neq j ~ {\ mbox {na a}} ~ M_ {ij} \ leqslant 0.}

Prvky úhlopříčky mohou být libovolného znaménka. M{\ displaystyle M}

Označíme množinu -matric libovolné objednávky. Říkáme -matricity vlastnost matice, ke které patříZ{\ displaystyle \ mathbf {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}Z.{\ displaystyle \ mathbf {Z}.}

Vlastnictví

Lineární komplementarita

Tyto -matrices přinést určité vlastnosti do problematiky lineární komplementarity . Připomeňme si definici těchto problémů. Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}

Pro vektor znamená notace, že všechny složky vektoru jsou kladné. Vzhledem k tomu, čtvercovou skutečnou matici a vektor , je lineární komplementarita problém spočívá v nalezení vektoru tak, že , a , který je zapsán ve zkrácené způsobem takto: proti∈Rne{\ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {n}}proti⩾0{\ displaystyle v \ geqslant 0}protii{\ displaystyle v_ {i}}M∈Rne×ne{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ krát n}}q∈Rne{\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n}}X∈Rne{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}X⩾0{\ displaystyle x \ geqslant 0}MX+q⩾0{\ displaystyle Mx + q \ geqslant 0}X⊤(MX+q)=0{\ displaystyle x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0}

CL(M,q):0⩽X⊥(MX+q)⩾0.{\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.}

Je zaznamenána přípustná sada tohoto problému

Admirál(M,q): ={X∈Rne:X⩾0, MX+q⩾0}.{\ displaystyle {\ mbox {Adm}} (M, q): = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: x \ geqslant 0, ~ Mx + q \ geqslant 0 \}.}

Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}-matice a problém lineární komplementarity  -  U matice jsou ekvivalentní následující vlastnosti: M∈Rne×ne{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ krát n}}

1. M∈Z{\ displaystyle M \ in \ mathbf {Z}},
2. pro všechno takže je možné, obsahuje minimum (objednávky z ), což je roztok .q{\ displaystyle q}CL⁡(M,q){\ displaystyle \ operatorname {CL} (M, q)}Admirál⁡(M,q){\ displaystyle \ operatorname {Adm} ​​(M, q)}⩽{\ displaystyle \ leqslant}Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}CL⁡(M,q){\ displaystyle \ operatorname {CL} (M, q)}

Z tohoto výsledku odvodíme, že

Z⊂Q0.{\ displaystyle \ mathbf {Z} \ podmnožina \ mathbf {Q} _ {0}.}

kde je sada matic taková, že a má řešení pro všechno, co činí problém komplementarity přípustným. Q0{\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {0}}M{\ displaystyle M}CL⁡(M,q){\ displaystyle \ operatorname {CL} (M, q)}q∈Rne{\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

Aplikace

Chemie

V chemii je Z-matice reprezentací atomů v molekule (nebo jiném systému atomů). Spíše než představovat atomové kartézské souřadnice , je matice Z ve vnitřních souřadnicích , které určují polohy atomů, pokud jde o délky vazeb , úhly vazeb a úhly vzepětí . Podle konvence, když převádíme na kartézské souřadnice, je první atom na počátku a druhý na ose z (odtud název „Z-matice“). Použití Z-matic je velmi běžné ve výpočetní chemii a molekulárním modelování , protože reprezentace ve vnitřních souřadnicích snižuje dobu výpočtu.

Například metan v kartézských souřadnicích a jednotkách ångströms by byl reprezentován jako:

C 0.000000 0.000000 0.000000 H 0.628736 0.628736 0.628736 H -0.628736 -0.628736 0.628736 H -0.628736 0.628736 -0.628736 H 0.628736 -0.628736 -0.628736

Matice Z by byla

C H 1 1.089000 H 1 1.089000 2 109.4710 H 1 1.089000 2 109.4710 3 120.0000 H 1 1.089000 2 109.4710 3 -120.0000

Mělo by být použito mnohem méně hodnot; ve skutečnosti pouze délka vazby mezi uhlíkem a vodíky není specifikována symetrií molekuly.

Dodatky

Související články

• Lineární komplementarita
• Metzlerova matice  (v)
• Z-matice (chemie)

Bibliografie

• (en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Problém lineární komplementarity . Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">