Komutativní prsten

Komutativní prsten je kruh , ve kterém zákon násobení je komutativní .

Studium komutativních kruhů se nazývá komutativní algebra .

Definice

Komutativní prsten je (jednotný), kruh , ve kterém zákon násobení je komutativní .

Pokud je komutativní kruhy jsou jednotlivé kruhy , mnoho pojmy obecné teorie kroužku zachovat všechny jejich důležitost a užitečnost v teorii komutativní prsten: tedy ty z kruhových morphisms , ideály a kvocientu kroužky , z dílčích prstenců , z nilpotentní prvků . Je prostě zbytečné rozlišovat ideály nalevo a napravo: ideály jsou systematicky oboustranné a umožňují definici kvocientů.

Příklady

Sada relativních celých čísel poskytovaná s obyčejnými zákony sčítání a násobení je archetyp komutativních kruhů. Prsten je obvykle označován odkazem na německé slovo „Zahlen“ (čísla). $\ mathbb {Z}$
Tyto racionální čísla , jsou reálná čísla a komplexní čísla tvoří komutativní prsteny. Jsou to všechna komutativní pole , tj. Komutativní prstence, kde je možné rozdělení.
Pokud n je striktně kladné celé číslo, pak množina Z / n Z tříd modulo n kongruence je n- prvek komutativní kruh .
Pokud A je komutativní kruh, pak polynomy s jedním neurčitým (nebo obecněji polynomy s několika neurčitými ), s koeficienty v A, tvoří nový komutativní kruh, označený A [ X ] (respektive A [ X 1 ,…, X n ]).
Totéž platí pro formální řadu s koeficienty v A , označenými A [[ X ]] (respektive A [[ X 1 ,…, X n ]]).
Tyto kroužky Logické jsou komutativní kruhy charakteristické 2, úzce souvisí s booleovské algebry .
Tyto spojité funkce z R až R představují, pro obvyklé sčítání a násobení, komutativního kruhu. Není to integrální : vezmeme-li pro f nenulovou spojitou funkci s podporou zahrnutou v R - a pro g nenulovou spojitou funkci s podporou zahrnutou v R + , produkt fg je nulová funkce a proto jsme vytvořili dva dělitele nuly v tomto kruhu.

Dějiny

Integrální kroužky

Nenulový prvek a komutativního kruhu se nazývá dělitel nuly , když existuje nenulový prvek b kruhu tak, že ab = 0 . Prvek a komutativního kruhu se nazývá invertible (nebo jednotka ), pokud má symetrii pro násobení, tj. Když existuje prvek b kruhu tak, že ab = 1 Invertible element nikdy není dělitelem nula.

Komutativní kruh, který není redukován na {0} a který nemá dělitele nuly, se nazývá integrální kruh .

Absence dělitelů nuly snad dělá násobení na integrálním prstenci blíže k intuici vyplývající z asociace celých čísel. Může být užitečné pro začínajícího čtenáře podívat se na článek „ Integrovaný prsten “, než přejdete k další části, zbytek tohoto článku se bude zabývat pouze otázkami, které mají smysl v prstenci obsahujícím možné děliče. Nula.

Stejně jako v obecné komutativní prstencové teorii hraje manipulace s ideály důležitou roli při studiu integrálních prstenů; rozšířením na další aritmetické technické manažery lapované na celá čísla je nutné definovat hlavní prsteny jako ty, jejichž každý ideál je hlavním ideálem a další důležité třídy integrity prstenů ( prstencový faktoriál , prsteny Euklidovský,. ..).

Říkáme komutativnímu tělu komutativní prsten nesnížený na {0}, ve kterém jsou všechny nenulové prvky invertovatelné. Komutativní pole jsou proto obzvláště jednoduchá integrální kroužky: komutativní pole má pouze dva ideály, samo o sobě a {0}.

Stejným způsobem, jako můžeme ponořit kruh Z celých čísel do pole Q racionů nebo kruh R [ X ] skutečných polynomů do pole R ( X ) racionálních zlomků , je jakýkoli integrální kruh ponořen do komutativního pole s tím spojené. Tato operace je jednoduchý speciální případ lokalizace zpracované níže v obecnějším kontextu prstenů, které mohou obsahovat dělitele nuly.

Ideály komutativní algebry

Připravte ideály

Nechť A je komutativní prsten. Ideální P z A, se nazývá primární ideál , když se kruh-kvocient / P, je nedílnou součástí. Tato podmínka je ekvivalentní následující podmínky: P je přísné část a pro všechny x , y z A , pokud se produkt xy je v P , pak x patří k P nebo že patří k P .

Ukázali jsme, že průsečík všech primárních ideálů je rovna množině nilpotents z A (a my tomu říkáme nilradical z A ).

Říká se, že prsten je redukován, pokud nemá nilpotenty (kromě 0).

Maximální ideály

Nechť A je komutativní prsten. M ideální z A, se nazývá maximální ideální , když je / M kroužek kvocient je pole. Tato podmínka je ekvivalentní následující podmínce: M je maximální prvek v sadě ideálů jiných než A , seřazený podle zařazení.

KRULL věta zajišťuje, že každý správný ideální (tj odlišný od A ) je obsažena v alespoň jedné maximální ideální.

Umístění

Lokalizace je konstrukční technika, která zobecňuje konstrukci těla zlomků integrálního kruhu.

Pokud B je podmnožinou komutativního kruhu A , který nemá dělitele nuly a který je stabilní pro násobení, tj. Součin libovolných dvou prvků B patří k B , pak množina formálních zlomků ( a , b ) kde je nějaký prvek a a b je nějaký prvek b , vytváří nový komutativní kruhu; sčítání, odčítání, násobení a rovnost jsou v této nové sadě definovány stejným způsobem jako u běžných zlomků. Nový kroužek je označen A B a je nazýván umístění z A do B . Příkladem ilustrujícím výše uvedené je umístění kruhu celých čísel do podmnožiny lichých celých čísel stabilních násobením. Pole racionálních čísel je lokalizace komutativního kruhu celých čísel do stabilní množiny vynásobením nenulových celých čísel.

Komutativní prsteny definované vlastností jejich ideálů

Podle vlastností ideálů prstenu A rozlišujeme rodiny jednotlivých prstenů, například:

Hlavní kruh: Integrovaný jednotný komutativní kruh, jehož hlavní ideály jsou všechny.

Viz podrobný článek : Hlavní prsten Euklidovský prsten je hlavní Hlavní prsten je faktoriální

Noetherian ring: unitární komutativní ring, jehož ideály jsou generovány konečným počtem prvků

Viz podrobný článek : Noetherian ring

Artinian ring: unitární komutativní kruh, jehož jakákoli klesající posloupnost ideálů (pro zahrnutí) je stacionární.

Viz podrobný článek : Artinian ring

Místní kruh: jednotný komutativní kruh, ve kterém je pouze jeden maximální ideál.

množina racionálních čísel, jejichž jmenovatel je lichý, je příkladem místního kruhu; množina formální řady , A [[ X ]] na komutativním kruhu A je dalším příkladem.

Tyto kroužky jsou uspořádány podle hierarchie, jejíž schéma níže poskytuje částečnou představu. Vertikální hierarchie přechází od nejobecnějšího prstence k nejkonkrétnějšímu prstenci, každá sestupná šipka označuje filiace. Všimněte si, že prsten, který má nejvíce podobných vlastností jako Z, je euklidovský prsten . Tělo, které je zvláštním případem euklidovského prstence, není na tomto diagramu zobrazeno.

Komutativní pseudokroužek

Unitární komutativní prsten

Komutativní netherianský prsten

Integrovaný prsten

Komutativní Artinian prsten

Plně uzavřený prsten

Integrovaný kroužek GCD

Dedekindův prsten

Faktoriální prsten

Ring Bézout se
integruje

Hlavní prsten

Euklidovský prsten

Dokončení

Pokud jsem I ideál komutativního kruhu A , mocniny I tvoří topologické okolí 0, což umožňuje, aby A bylo považováno za topologický kruh . A lze dokončit zachováním této topologie. Například, pokud je těleso , kruh dosažené výkonové řady v jedné proměnné koeficientů , je dokončena kruh polynomů s koeficienty v rámci topologie produkované pravomocí ideálu generovaného X . $\ mathbb {K}$ ${\ mathbb {K}} [[X]]$ $\ mathbb {K}$ ${\ mathbb {K}} [X]$ $\ mathbb {K}$

Poznámky a odkazy

Saunders Mac Lane a Garrett Birkhoff , Algebra [ detail vydání ], svazek 1, s. 135 .
(in) Michael Atiyah a Ian G. Macdonald , Úvod do komutativní algebry , Reading (Massachusetts) atd., Addison-Wesley ,1969( ISBN 978-0-201-00361-1 , vývěsní BNF n o FRBNF37362287 ) definovat všechny pojmy uvedené jako příklady na stranách 1 nebo 2 Smlouvy.
Atiyah a Macdonald 1969 , str. 2.
Serge Lang , Algebra [ detail vydání ], str. 99-100 v edici Dunod.
Atiyah a Macdonald 1969 , str. 3-6.

Externí odkaz

Antoine Chambert-Loir , „ komutativní algebra “ , University of Rennes I ,2005, kap. 2: „Prsteny, ideály, algebry“