Disjunkce nebo nevýhradní disjunkce , dvou tvrzení je způsob tvrzení, že alespoň jedna z těchto dvou tvrzení je pravdivé (první, druhé, nebo obojí).
V logickém nebo matematickém jazyce a v technických oborech, které jej používají, je překládán logickým OR , logickým operátorem při výpočtu výroků . Problém získaná spojením dvou problémů tímto operátorem se nazývá také jejich disjunkce nebo jejich logický součet . Disjunkce dvou výroků P a Q je pravdivá, když je jedna z výroků pravdivá, a je nepravdivá, pokud jsou obě současně nepravdivé.
V teorii důkazů , konkrétněji v přirozené dedukci a výpočtu sekvencí , se disjunkce řídí pravidly úvodu a pravidly vylučování .
Disjunkce je napsána: P ∨ Q a čte „P nebo Q“Symbol „∨“ se nazývá konektor jističe.
Tabulka pravdivosti disjunkce je dána následující tabulkou:
| P | Q | P ∨ Q |
|---|---|---|
| skutečný | skutečný | skutečný |
| skutečný | Nepravdivé | skutečný |
| Nepravdivé | skutečný | skutečný |
| Nepravdivé | Nepravdivé | Nepravdivé |
Poznámka: Boole , v úzké analogii s běžnou matematikou, uložil v definici x + y podmínku vzájemného vyloučení x a y . William Jevons a prakticky všichni matematičtí logici, kteří ho nahradili, se z různých důvodů zasazovali o použití definice logického součtu, která nevyžaduje vzájemné vyloučení.
Disjunkce, kterou jsme popsali, je binární operátor , což znamená, že kombinuje dva výroky do jednoho. Můžeme však spojit disjunkce, vezmeme-li v úvahu například A ∨ B ∨ C , což je podle definice jeden nebo druhý ze dvou logicky ekvivalentních výroků ( A ∨ B ) ∨ C nebo A ∨ ( B ∨ C ). Toto tvrzení je pravdivé, když jeden z výroků , B , nebo C , je pravda. Posloupnost spojek je možná díky asociativitě ∨. Provozovatel je také komutativní ; ∨ B je ekvivalentní B ∨ A .
Nechť P , Q a R jsou tři tvrzení.
Idempotence „nebo“:
( P ∨ P ) ⇔ P
Komutativita „nebo“:
( P ∨ Q ) ⇔ ( Q ∨ P )
Asociativita „nebo“:
((( P ∨ Q ) ∨ R ) ⇔ ( P ∨ ( Q ∨ R ))
Negace disjunkce je spojením negací:
¬ ( P ∨ Q ) ⇔ ((¬ P ) ∧ (¬ Q ))
Negace spojky je disjunkce negací:
¬ ( P ∧ Q ) ⇔ ((¬ P ) ∨ (¬ Q ))
Distribuce „nebo“ ve vztahu k „a“:
( P ∨ ( Q ∧ R )) ⇔ (( P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ R ))
Distribuce „a“ ve vztahu k „nebo“:
( P ∧ ( Q ∨ R )) ⇔ (( P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ R ))
Odpovídajícím pojmem v teorii množin je shledání.
Někdy najdeme výraz „a / nebo“. Je to barbarství , jehož význam je přesně stejný jako koordinační spojka „nebo“ sama o sobě („jedna nebo druhá nebo obě“), kterou je třeba upřednostňovat.
V běžném jazyce bude „jeden nebo druhý, ale ne oba“ vyjádřen frází „nebo“. Logicky se tomu říká výlučná disjunkce nebo nebo nebo exkluzivní , na rozdíl od „nebo“, které se také říká inkluzivní disjunkce nebo nebo nebo včetně . Pokud je však kontext jednoznačný, například když se zeptáme „dáte si kávu nebo čaj?“ „- předpokládá se, že vyžádaná osoba nebude mít obojí - stane se, že„ nebo “označuje alternativu a má stejný význam jako„ nebo “. Stejně jako u „sýra nebo dezertu“ kontext restaurace naznačuje, že nemůžete mít obojí.