Tři axiomy kvantové mechaniky

Tři axiomy kvantové mechaniky je souběžná teorie postulátů kvantové mechaniky při vysvětlování kvantové mechaniky . Tuto teorii v zásadě podporuje Constantin Piron .

Postulát se odlišuje od axiomu , druhé neustále navrhl na počátku jako základní prvek systému, který nebudeme snažit prokázat.

Úvod

Kvantová mechanika je často prezentována, jako by to byla zvláštní teorie přesahující lidské chápání. Je-li však pravda, že tato teorie je pro většinu laiků velmi špatně pochopitelná, zasvěcenci ji chápou docela dobře. Proč takový rozdíl v porozumění? Možná jednoduše proto, že o ní bylo řečeno tolik různých věcí, možná proto, že její formalismus je abstrakce, která nikdy předtím neodpovídala teorii popisující „pozorovatelný svět“. Nebo jednoduše proto, že tato teorie jde proti základům vědeckého myšlení, samotným základům, které nám umožnily vybudovat naši reprezentaci světa. Kvantová mechanika skutečně představuje velké problémy s konceptem determinismu, jaký jsme znali před XX. Stoletím  . S jeho příchodem musíme rekonstruovat koncepty měření, reprodukovatelnosti experimentu a dokonce i determinismu ...

Model tří axiomů je důsledný přístup, který vede k myšlence, že stavový prostor je vektorový prostor (často Hilbertův prostor ), což je postulováno jinými přístupy. Znalost Stoneovy věty ( in ) a Noetherovy věty (pravděpodobně dvě nejdůležitější věty kvantové mechaniky, první použitá k vytvoření myšlenky časové evoluce, druhá představa hybnosti ) vede bez přílišných obtíží při rekonstrukci obvyklých postulátů kvantová mechanika (viz postuláty kvantové mechaniky ).

3 axiomy

Abychom získali slovní zásobu tří axiomů, je nutné zavést některé základní pojmy. Ve skutečnosti, na rozdíl od šesti postulátů kvantové mechaniky, jsou tyto tři axiomy založeny na pojmech úzce spojených se zkušeností nebo dokonce s měřením. (Může být zajímavé přečíst si Kvantový problém měření )

Dotazy, vlastnosti a stavový prostor

Pojem otázka vychází z myšlenky měření. Otázkou je měření na fyzickém systému, pro které je odpověď pravdivá nebo nepravdivá. α {\ displaystyle \ alpha ~}

Pro ilustraci této myšlenky můžeme provést následující myšlenkový experiment:

Fyzický systém se skládá z automobilu jedoucího po dálnici. Otázka zní: Jízda 130 km / h? Naše měřicí zařízení je radar. Odpověď je pravdivá, pokud na radaru člověk čte 130 km / h, je to jinak nepravdivé.

Z jakékoli otázky je možné definovat inverzní otázku . V našem myšlenkovém experimentu by obrácená otázka zněla: jede auto jinou rychlostí než 130 km / h  ? α {\ displaystyle \ alpha ~}α~{\ displaystyle {\ tilde {\ alpha}}} 

Sada je sada všech otázek, které lze ohledně studovaného systému položit. Q {\ displaystyle Q ~}

Řekneme, že pro daný systém platí otázka, když můžeme s jistotou (teoretickým výpočtem) předpovědět, že měření před provedením odpoví „ano“. Otázka, která není pravdivá, nemusí být nutně falešná; v tomto modelu necháváme prostor pro nejisté, náhodné otázky. Otázka je pro daný systém nejistá, když, pokud by se mělo vybudovat fyzicky identický systém, klon se stejným fyzickým stavem, pak by měření na klonu jistě neposkytlo stejnou hodnotu jako měření v původním systému. Nejistá otázka proto nemůže být pravdivá: fyzický systém volí odpověď náhodně, když je měřena, a to navzdory celkové znalosti jejího stavu a priori. Existence nejistých otázek je klíčovým rozdílem mezi klasickou fyzikou a kvantovou fyzikou, jak formalizujeme níže pomocí axiomu 0.

Můžeme vybudovat dílčí předobjednávkový vztah ( objednávkový vztah ) na otázkách:

Vrátíme-li se k našemu myšlenkovému experimentu, definujeme dvě otázky: α {\ displaystyle \ alpha ~} : Jezdí auto rychlostí mezi 120 km / h a 140 km / h? β {\ displaystyle \ beta ~} : jede auto rychlostí 130 km / h? Všimli jsme si, že vždy platí, pokud je pravda, řekneme, že je slabší nežα {\ displaystyle \ alpha ~}β {\ displaystyle \ beta ~}β {\ displaystyle \ beta ~}α {\ displaystyle \ alpha ~} Hodnocení: β <α {\ displaystyle \ beta ~ <\ alpha ~}

Věnujte pozornost významu, nejslabší otázka je nalevo od „ “. Tuto notaci naznačuje fakt, že množina případů, kdy platí, je menší než pro , tj. Je restriktivnější. Tento zápis odpovídá také intuitivnímu vztahu , kde 0 a 1 jsou absurdní (odpověď vždy nepravdivá) a triviální (odpověď vždy pravdivá). <{\ displaystyle <}β {\ displaystyle \ beta ~}α {\ displaystyle \ alpha ~}β {\ displaystyle \ beta ~}∀q∈Q ,0≤q≤1{\ displaystyle \ forall q \ in Q ~, \, 0 \ leq q \ leq 1}

Tato částečná předobjednávka vytváří vztah ekvivalence :

řekneme, že je ekvivalentní , právě když aα {\ displaystyle \ alpha ~}β {\ displaystyle \ beta ~}α ≤β {\ displaystyle \ alpha ~ \ leq \ beta ~}β ≤α {\ displaystyle \ beta ~ \ leq \ alpha ~} notace: α ∼β {\ displaystyle \ alpha ~ \ sim \ beta ~}

Třída ekvivalence otázky je vlastnost. na {\ displaystyle a ~}α {\ displaystyle \ alpha ~}

O nemovitosti se říká, že je aktuální, pokud jsou otázky spojené s ní rozhodně pravdivé. Naopak, pokud jsou odpovědi na tyto otázky nejisté nebo dokonce vždy nepravdivé, říkáme, že vlastnost je potenciální.

Definujeme jako sadu všech vlastností systému. L {\ displaystyle L ~}

Jedna pozoruhodná věc je, že bez dalších předpokladů již můžeme mít nějaké informace o struktuře . Vztah předobjednávky ve skutečnosti ukládá skutečnost, která je částečně nařízena. A tak je vždy úplná mříž , to znamená: L {\ displaystyle L ~}Q {\ displaystyle Q ~}L {\ displaystyle L ~}L {\ displaystyle L ~}

∀E ={na i|na i∈L ,i∈J }{\ displaystyle \ forall E ~ = {\ big \ {} a ~ _ {i} | a ~ _ {i} \ v L ~, i \ v J ~ {\ big \}}}(J je libovolná podmnožina N (přirozené číslo)) existuje tak, že:na ,b ∈L {\ displaystyle a ~, b ~ \ v L ~} pokud pak: X ∈L {\ displaystyle x ~ \ v L ~}X <nai ∀i∈J ⟺X <na {\ displaystyle x ~ <a_ {i} ~ \ for all i \ in J ~ \ Longleftrightarrow x ~ <a ~} X >nai ∀i∈J ⟺X >b {\ displaystyle x ~> a_ {i} ~ \ forall i \ in J ~ \ Longleftrightarrow x ~> b ~}

na ,b {\ displaystyle a ~, b ~}jsou dolní a horní mez podskupiny . E {\ displaystyle E ~}

Státy a vlastnosti - státy

Podle definice je stav fyzického systému množinou všech jeho aktuálních vlastností. Přichází . E {\ displaystyle E ~}E⊂L {\ displaystyle E \ podmnožina L ~}

Stav je podmnožinou takové, že vlastnost je aktuální, když jsou všechny vlastnosti obsažené v aktuální. Můžeme tedy definovat stav následovně: E {\ displaystyle E ~}L {\ displaystyle L ~}p {\ displaystyle p ~}E {\ displaystyle E ~}

E ={X ∈L |p <X }{\ displaystyle E ~ = {\ big \ {} x ~ \ v L ~ | p ~ <x ~ {\ big \}}}

Taková vlastnost plně definuje a nazývá se vlastnost-stát. p {\ displaystyle p ~}E {\ displaystyle E ~}

Atomy

Atomy jsou minimální prvky . Jinými slovy, vlastnost se nazývá atom, pokud: L∖{0}{\ displaystyle L \ setminus \ {0 \}}p∈L{\ displaystyle p \ v L}

p≠0,p{\ Displaystyle p \ neq 0, \ quad p}se liší od minimální vlastnosti definované otázkou (inverzní k triviální otázce)i~{\ displaystyle {\ tilde {i}}}

a :

∀X∈L,X<p⇒(X=pneboX=0){\ displaystyle \ forall x \ in L, \; x <p \ Rightarrow (x = p \ quad {\ textrm {or}} \ quad x = 0)}

Atomy jsou majetkové státy. Jelikož atom je nenulový, existuje stav systému, ve kterém je aktuální. Dolní mez minore a je nenulová; proto se rovná . p∈L{\ displaystyle p \ v L}E{\ displaystyle E}p{\ displaystyle p}E{\ displaystyle E}p{\ displaystyle p}p{\ displaystyle p}

Zastoupení Cartanu

Podle definice základního vztahu ekvivalence k vlastnostem je vlastnost zcela určena stavy systému, ve kterém je přítomna. Toto je zde formováno, tj. Soubor všech možných stavů systému. Můžeme definovat žádost o v množině dílů S. S{\ displaystyle S}μ{\ displaystyle \ mu}L{\ displaystyle L}P(S){\ displaystyle P (S)}

μ:na→μna={E∈S|na∈E}{\ displaystyle \ mu: a \ to \ mu a = \ doleva \ {E \ v S | a \ v E \ doprava \}}

Tato aplikace se nazývá morphism z Cartana , a obraz v se nazývá reprezentace Cartan. L{\ displaystyle L}P(S){\ displaystyle P (S)}

Tato mapa je navíc injektivní a zachovává pořadí a dolní hranici.

Koncept ortogonality

Říkáme o dvou stavech, že jsou ortogonální (notace :), pokud existuje otázka jako: E1,E2⊂L{\ displaystyle E_ {1}, E_ {2} \ podmnožina L}E1⊥E2{\ displaystyle E_ {1} \ perp E_ {2}}α{\ displaystyle \ alpha}

α{\ displaystyle \ alpha}platí pro a platí proE1{\ displaystyle E_ {1}}α~{\ displaystyle {\ tilde {\ alpha}}}E2{\ displaystyle E_ {2}}

Například energie kvantové částice zachycené v potenciální studni může nabrat pouze diskrétní sadu hodnot (je kvantována). Můžeme tedy definovat dva stavy , a tam, kde má kvantová částice energii a resp . Tyto 2 stavy jsou kolmé na otázku „částice má energii “, pravdivé ve stavu a nepravdivé ve stavu . V obvyklém znázornění kvantových stavů částice Hilbertovým prostorem budou stavy a budou ortogonální ve smyslu skalárního součinu. E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}E1{\ displaystyle e_ {1}}E2{\ displaystyle e_ {2}}α={\ displaystyle \ alpha =}E1{\ displaystyle e_ {1}}E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}

Říkáme, že dvě vlastnosti, které jsou ortogonální (notace :), pokud jsou všechny stavy ortogonální ke stavům  : na,b∈L{\ displaystyle a, b \ v L}na⊥b{\ displaystyle a \ perp b}μna{\ displaystyle \ mu a}μb{\ displaystyle \ mu b}

na⊥b{\ displaystyle a \ perp b} kdyby a jen kdyby μna⊥μb{\ displaystyle \ mu a \ perp \ mu b}

Klasický systém

Axiom 0:

Řekneme, že otázka je klasická, pokud je pro každý stát buď pravda, nebo je pravda. A řekneme o systému, který respektuje klasické předsudky, pokud pro každou vlastnost existuje alespoň jedna klasická otázkaα {\ displaystyle \ alpha ~}E {\ displaystyle E ~}α {\ displaystyle \ alpha ~}α~{\ displaystyle {\ tilde {\ alpha}}}na {\ displaystyle a ~}α {\ displaystyle \ alpha ~}

Tento axiom zcela určuje strukturu . Navíc v případě, že systém splňuje axiom 0 pak Cartan morphism je surjective a a jsou isomorphic L {\ displaystyle L ~}L {\ displaystyle L ~}P (S){\ displaystyle P ~ (S)}

Zobecnění: kvantové systémy

Axiom I. Jakýkoli stav vlastností je atomem L{\ displaystyle L}

Tento axiom jednoduše znamená, že pokud jsou dva stavy odlišné, pak je vztah vyloučen. E1,E2⊂L{\ displaystyle E_ {1}, E_ {2} \ podmnožina L}E1⊂E2{\ displaystyle E_ {1} \ podmnožina E_ {2}}

Aristoteles to již uvedl: pokud systém změní stav, takže přechází ze státu do stavu , je obohacen o nové vlastnosti, které jsou aktualizovány, a nutně ztrácí ostatní. Takže nemůže být plně obsažen uvnitř . E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}

Tento axiom umožňuje identifikovat stavy systému na atomech . L{\ displaystyle L}

Axiom II Pro každý daný stav existuje (jedinečná) otázka, která platí právě tehdy, když je stav systému kolmý naE{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}

Pro každý stát je přidružená otázka jedinečná, protože je definována stavy, ve kterých je aktuální: stavy kolmé na . Jinými slovy, pro jakýkoli stav existuje fyzický experiment umožňující s jistotou vědět, že daný systém je ve stavu kolmém na . E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}

Když vezmeme v úvahu axiom I, znamená axiom II, že:

Pro každou vlastnost stavu atomu existuje (jedinečná) vlastnost, která je aktuální právě tehdy, pokud je stav kolmý nap{\ displaystyle p}L{\ displaystyle L}p′{\ displaystyle p '}p{\ displaystyle p}

Funkci definovanou na atomech pomocí axiomu II lze rozšířit na jakékoli celé číslo pomocí: p↦p′{\ displaystyle p \ mapsto p '}L{\ displaystyle L}

na↦na′=⋀{p′;p atom,p≤na}{\ displaystyle a \ mapsto a '= \ bigwedge \ {p' \ ,; \, p {\ text {atom}}, p \ leq a \}}

Tato funkce je jasnější v reprezentaci Cartanu:

μ(na′)=μ(na)⊥{\ displaystyle \ mu (a ') = \ mu (a) ^ {\ perp}}

Hodnocení: NA⊥={E∈S|∀η∈NA,E⊥η}{\ displaystyle A ^ {\ perp} = {\ big \ {} E \ in S \, | \, \ forall \ eta \ v A, E \ perp \ eta {\ big \}}}

Axiom III Použití in  : je surjektivní.L{\ displaystyle L}L{\ displaystyle L}na→na′{\ displaystyle a \ na '} Struktura stavového prostoru

Stejně jako axiom 0, i axiomy I, II, III zcela určují strukturu stavového prostoru.

Teorém:

Pokud systém splňuje axiomy 1, 2 a 3, pak:

• Cartanský morfismus určuje izomorfismus mezi aL{\ displaystyle L}(S,⊥){\ displaystyle (S, \ perp)}
• L{\ displaystyle L} je úplná mřížka, naplněná atomy
• Aplikace definovaná v axiomu III je ortokomplementace

Prostor států je úplná mřížka, naplněná atomy a opatřená ortokomplementacíHilbertovy prostory

Chceme ukázat, že prostor generovaný paprsky Hilbertova prostoru je dokonale vhodný k popisu prostoru stavů.

Teorém:

Nechť H je Hilbertův prostor, množina všech podprostorů obsažených v je kompletní, orthocomplemented a atom-naplněné mřížky.G{\ displaystyle G}H{\ displaystyle H}

Demonstrace:

• plná mřížovina:

Uzavřené podprostory lze objednat zahrnutím. Tvoří úplnou mříž, protože průnik uzavřených množin je stále uzavřená množina.G{\ displaystyle G}

• Orthocomplemented:

aplikace, která uzavřeno definuje orthocomplementation. Vskutku:G{\ displaystyle G}G⊥{\ displaystyle G ^ {\ perp}}

(G⊥)⊥=GG+G⊥=H{\ displaystyle (G ^ {\ perp}) ^ {\ perp} = G \ qquad \ qquad G + G ^ {\ perp} = H} G1⊂G2⇒G2⊥⊂G1⊥G∩G⊥={0}{\ displaystyle G_ {1} \ podmnožina G_ {2} \ Rightarrow G_ {2} ^ {\ perp} \ podmnožina G_ {1} ^ {\ perp} \ qquad G \ čepice G ^ {\ perp} = \ {0 \}}

• Plněné atomy:

Atomy této mřížky jsou jednorozměrné podprostory (tj. Paprsky) a všechny podprostory jsou generovány paprsky, které obsahují.

Bibliografie

• Constantin Piron, Kvantová mechanika: základy a aplikace , Lausanne, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes,1998, 202  s. ( ISBN  2-88074-399-0 , číst online ) Tato práce navrhuje přístup „tří axiomů“, ale nemluví o šesti postulátech. Tato kniha je proto spíše určena pro lidi, kteří již mají dobrou úroveň kvantové mechaniky, a to navzdory skutečnosti, že je matematicky přístupná s matematickou úrovní vysokoškolského studia.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">