Hilbertův prostor

V matematiky , je Hilbertův prostor je skutečný (resp. Komplex ) vektorový prostor opatřen euklidovská (resp. Hermitian ) skalární produkt , který umožňuje měření délek a úhlů a definovat ortogonality . Navíc je Hilbertův prostor kompletní , což umožňuje aplikovat na něj analytické techniky . Tyto mezery vděčí za své jméno německému matematikovi Davidovi Hilbertovi .

Koncept Hilbertova prostoru rozšiřuje metody lineární algebry zevšeobecněním pojmů euklidovského prostoru (jako je euklidovská rovina nebo obvyklý prostor dimenze 3 ) a hermitovského prostoru do prostorů jakékoli dimenze (konečné nebo nekonečné).

Hilbertovy prostory se často objevují v matematice a fyzice, především jako funkční prostory nekonečné dimenze. První Hilbertovy prostory byly studovány v tomto ohledu v průběhu prvního desetiletí XX th  století, David Hilbert, Erhard Schmidt a Frigyes Riesz . Jsou nepostradatelnými nástroji v teoriích parciálních diferenciálních rovnic , kvantové mechaniky , Fourierovy analýzy (která zahrnuje aplikace pro zpracování signálu a přenos tepla ) a ergodické teorie, která tvoří matematický základ termodynamiky . John von Neumann vytvořil výraz Hilbertův prostor k označení abstraktního konceptu, který je základem mnoha těchto aplikací. Úspěchy metod, které přinesly Hilbertovy prostory, vedly k velmi plodné éře funkční analýzy . Vedle klasických euklidovských prostorů, Hilbertovy prostory z nejběžnějších příkladů jsou čtvercové prostorů funkcí integrované se Sobolevovy prostory , které jsou tvořeny zobecněných funkcí, a Hardy prostory o holomorfních funkcí .

Geometrická intuice se podílí na mnoha aspektech Hilbertovy teorie prostorů. Tyto prostory mají věty podobné Pythagorově větě a pravidlu rovnoběžníku . V aplikované matematice hrají ortogonální projekce na podprostor (což odpovídá zploštění prostoru některých dimenzí) důležitou roli v optimalizačních problémech mimo jiné aspekty teorie. Prvek Hilbertova prostoru lze jednoznačně definovat jeho souřadnicemi vzhledem k Hilbertově bázi , analogicky s kartézskými souřadnicemi v ortonormálním základě roviny. Když je tato sada os počítatelná , může být Hilbertův prostor viděn jako sada sečtitelných čtverců . Lineární operátory v Hilbertově prostoru jsou podobné konkrétním objektům: v „dobrých“ případech se jedná pouze o transformace, které roztahují prostor podle různých koeficientů ve dvou kolmých směrech ve smyslu, který je specifikován studií jejich spektrum .

Definice a příklady

Úvodní příklad: Euklidovský prostor dimenze 3

Jedním z nejběžnějších příkladů Hilbertova prostoru je trojrozměrný euklidovský prostor označený ℝ 3 , který je vybaven obvyklým skalárním součinem. Skalární asociuje produktu dvou vektorů a na známém reálné číslo . Pokud a mají příslušné kartézské souřadnice a , pak jejich skalární součin je: X{\ displaystyle \ mathbf {x}}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}X⋅y{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y}}X{\ displaystyle \ mathbf {x}}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}(X1,X2,X3){\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}(y1,y2,y3){\ displaystyle (y_ {1}, y_ {2}, y_ {3})}

X⋅y=X1y1+X2y2+X3y3.{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3}.}

Tečkovaný produkt splňuje následující vlastnosti:

1. je symetrický: pro všechny vektory a ,  ;X{\ displaystyle \ mathbf {x}}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}X⋅y=y⋅X{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ mathbf {y} \ cdot \ mathbf {x}}
2. je lineární vzhledem k prvnímu argumentu: pro všechna reálná čísla a a všechny vektory máme rovnost  ;na{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}X1,X2,y{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, y}(naX1+bX2)⋅y=naX1⋅y+bX2⋅y{\ displaystyle (ax_ {1} + bx_ {2}) \ cdot y = ax_ {1} \ cdot y + bx_ {2} \ cdot y}
3. je pozitivní definitivní: pro libovolný vektor je produkt pozitivní a null právě tehdy, pokud se rovná null vektoru .X{\ displaystyle \ mathbf {x}}X⋅X{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}} X{\ displaystyle \ mathbf {x}}

Tečkový součin úzce souvisí s euklidovskou geometrií podle následujícího vzorce, který spojuje tečkový součin dvou vektorů a jejich délek (označených příslušně a ) a úhlu, který tvoří: X{\ displaystyle \ mathbf {x}}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}‖X‖{\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ |}‖y‖{\ displaystyle \ | \ mathbf {y} \ |} θ{\ displaystyle \ theta}

X⋅y=‖X‖‖y‖cos⁡θ.{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ | \ mathbf {x} \ | \, \ | \ mathbf {y} \ | \, \ cos \ theta.}

Jakákoli vektorová operace, která splňuje výše uvedené tři vlastnosti, se také nazývá bodový produkt . Vektorový prostor opatřen skalární produkt se nazývá skutečný prehilbertian prostor.

Hilbertův prostor je prehilbertiánský prostor, který má také vlastnost matematické analýzy  : je úplný , argument založený na mezích posloupností vektorů v tomto prostoru.

Definice

Hilbertův prostor je úplný prehilbertiánský prostor , tj. Banachův prostor, jehož norma ║ · ║ je odvozena od skalárního nebo hermitovského součinu〈·,〉 podle vzorce

‖X‖=⟨X,X⟩.{\ displaystyle \ | x \ | = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}.}

Je to zevšeobecnění euklidovského nebo hermitovského prostoru v jakékoli dimenzi (konečné nebo nekonečné) .

Příklady

• Euklidovská prostor ℝ n vybaven obvyklým skalární součin.
• Hermitian prostor ℂ n opatřen obvyklým Hermitovské produktu.
• Prostor L 2 ([ , b ]) funkcí [ , b ] s hodnotami v ℂ a z náměstí integrovatelné s konvencí, že dvě stejné funkce téměř všude jsou stejné (viz článek prostor L P ), za předpokladu, z⟨F,G⟩=∫nabF(X)G(X)¯ dX.{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ overline {g (x)}} ~ \ mathrm {d} x.}
• Prostor sekvence pásmy 2 , tvořená sekvencí z komplexních čísel, jako je(une)ne∈NE{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}∑ne=0∞|une|2<+∞,{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | u_ {n} | ^ {2} <+ \ infty,}hermitovský produkt dvou sekvencí a je podle definice součtem řadyu{\ displaystyle u}proti{\ displaystyle v}∑ne=0∞uneproti¯ne.{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} u_ {n} {\ overline {v}} _ {n}.}

Klasifikace

V Hilbertově prostoru nekonečné dimenze je obvyklý koncept základny nahrazen konceptem Hilbertovy základny (nebo Hilbertovy základny), což již neumožňuje popsat vektor pomocí jeho souřadnic, ale přiblížit se k němu nekonečnou řadou vektorů s konečnými souřadnicemi. Jsme tedy na soutoku lineární algebry a topologie .

• Dva Hilbertovy prostory připouštějící ekvipotentní Hilbertovy báze jsou izometricky izomorfní , jinými slovy: jakýkoli Hilbertův prostor s Hilbertovou bází X je izomorfní s ℓ 2 ( X ) . Například: jakýkoli oddělitelný Hilbertův prostor (a nekonečné dimenze) je izomorfní s ℓ 2 (ℕ) = ℓ 2 . Riesz-Fischer teorém může také být viděn jako zvláštní případ tohoto výsledku.
• Naopak, dvě Hilbertovy základny stejného Hilbertova prostoru mají stejnou mohutnost . Toto základní číslo , které se říká hilbertovská dimenze prostoru, jej proto charakterizuje až do izomorfismu, a hraje tedy stejnou roli jako dimenze v kategorii vektorových prostorů na pevném poli .
• Hilbertův prostor má konečnou dimenzi tehdy a jen tehdy, pokud je jeho Hilbertova dimenze konečná, a v tomto případě jsou tato dvě celá čísla stejná.

Fréchet-von Neumann-Jordanova věta

Banachův prostor (respektive normovaný vektorový prostor ) je Hilbertův prostor (respektive prehilbertiánský prostor ) právě tehdy, pokud jeho norma splňuje rovnost

‖X+y‖2+‖X-y‖2=2(‖X‖2+‖y‖2){\ displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2} = 2 (\ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2})},

což znamená, že součet čtverců čtyř stran rovnoběžníku se rovná součtu čtverců jeho úhlopříček ( pravidlo rovnoběžníku ).

Tato věta je kvůli Maurice René Fréchet , John von Neumann a Pascual Jordan .

Polarizační identita  :

• ve skutečném případě je bodový produkt definován symbolem ⟨X,y⟩=14(‖X+y‖2-‖X-y‖2){\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = {\ frac {1} {4}} {\ bigl (} \ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} {\ bigr )}} ;
• v komplexním případě je pravý sesquilineární hermitovský produkt definován symbolem ⟨X,y⟩=⟨X,y⟩1+i⟨X,iy⟩1{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ langle x, y \ rangle _ {1} + {\ rm {i}} \ langle x, {\ rm {i}} y \ rangle _ {1}}, nebo⟨X,y⟩1=14(‖X+y‖2-‖X-y‖2){\ displaystyle \ langle x, y \ rangle _ {1} = {\ frac {1} {4}} {\ bigl (} \ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2 } {\ bigr)}}a i je imaginární jednotka (komplexní číslo identifikované dvojicí real (0, 1)).

Aplikace

• Právě v rámci Hilbertových prostorů byla vyvinuta teorie variační formulace , používaná v mnoha oblastech fyziky.
• V kvantové mechanice je stav systému reprezentován vektorem v Hilbertově prostoru.

Reference

• (fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „  Hilbert Space  “ ( viz seznam autorů ) .
• Pierre Colmez , Elementy analýzy a algebry (a teorie čísel) , Palaiseau, Éditions de l'École Polytechnique ,2009, 469  s. ( ISBN  978-2-7302-1563-3 , číst online ) , „Espaces de Hilbert“, s.  159-164

1. Colmez 2009 , s.  159.

Dodatky

Související články

• Rieszova věta o reprezentaci
• Věta o projekci na uzavřený konvexní v Hilbertově prostoru
• Věta Lax-Milgram
• Stampacchiova věta
• Sobolevův prostor
• Sekundární opatření
• Transformace aluthge
• Slabá konvergence v Hilbertově prostoru

Externí odkaz

Kurz analýzy - Jacques Harthong

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">