Peirceův zákon
V logice , Peirceova zákon je problém , kde implikace označuje . Navrhl to logik a filozof Charles Sanders Peirce .
((NA→B)→NA)→NA{\ displaystyle ((A \ k B) \ k A) \ k A}→{\ displaystyle \ to}
Tento vzorec, platný v klasické logice , je neplatný v logice intuicionisty . To znamená, že i když nemá výslovný odkaz na negaci, Peirceův zákon přímo souvisí s tím, jak s ním zacházíme. Můžeme tedy ukázat, že v intuitivní logice existuje rovnocennost mezi Peirceovým zákonem, pravidlem pro vyloučení dvojí negace nebo zásadou vyloučené třetí strany . Přidáním pouze jednoho z těchto principů do intuitivní logiky obnovíte celkovou klasickou logiku.
Důkaz Peirceova zákona v klasické logice
Jedním z principů klasické logiky je argumentace absurdní . Abychom ukázali návrh , předpokládáme, že je nepravdivý. Pokud skončíme s rozporem, odvodíme to .
NA{\ displaystyle A}NA{\ displaystyle A}NA{\ displaystyle A}
Abychom ukázali, že implikace je platná, budeme tedy předpokládat a musíme ukázat, že je to pravda. Uvažujme absurdně a předpokládejme, že je to falešné. Ale pokud je nepravdivé, na druhé straně je implikace pravdivá. Jak jsme předpokládali a hypotéza je pravdivá, závěr je také pravdivý, a proto je v rozporu.
((NA→B)→NA)→NA{\ displaystyle ((A \ k B) \ k A) \ k A}((NA→B)→NA){\ displaystyle ((A \ až B) \ až A)}NA{\ displaystyle A}NA{\ displaystyle A}NA{\ displaystyle A}NA→B{\ displaystyle A \ až B}((NA→B)→NA){\ displaystyle ((A \ až B) \ až A)}NA→B{\ displaystyle A \ až B}NA{\ displaystyle A}
Lze to také prokázat použitím některých principů, jako jsou kontraposované, De Morganovy zákony a princip vyloučené třetiny, platné také v klasické logice. Peirceův zákon je skutečně ekvivalentní:
(¬NA→((NA→B)∧¬NA)){\ displaystyle \ left (\ neg A \ to \ left (\ left (A \ to B \ right) \ wedge \ neg A \ right) \ right)}
⇔(¬NA→((¬NA∨B)∧¬NA)){\ displaystyle \ Leftrightarrow \ left (\ neg A \ to \ left (\ left (\ neg A \ vee B \ right) \ wedge \ neg A \ right) \ right)}
⇔(¬NA→(¬NA∨(¬NA∧B))){\ displaystyle \ Leftrightarrow \ left (\ neg A \ to \ left (\ neg A \ vee \ left (\ neg A \ klín B \ right) \ right) \ right)}
⇔(NA∨¬NA∨(¬NA∧B)){\ displaystyle \ Leftrightarrow \ left (A \ vee \ neg A \ vee \ left (\ neg A \ klín B \ right) \ right)}
To platí podle zásady vyloučené třetí strany .
NA∨¬NA{\ displaystyle A \ vee \ neg A}
Logika intuice a Peirceův zákon
Peirceův zákon není v intuitivní logice platný. Intuicionistická logické zachází negace takto (čtenář předpokládá obeznámeni s poznámkami, které jsou uvedeny například v článku kalkulu )
- Pokud máme jak propozici, tak její negaci , pak máme rozpor, který je známý (pravidlo známé jako eliminace negace );NA{\ displaystyle A}¬NA{\ displaystyle \ lnot A}⊥{\ displaystyle \ bot}
- Pokud návrh vede k rozporu, pak je to platné (pravidlo známé jako zavedení negace ). V tomto smyslu není nic jiného než synonymum ;NA{\ displaystyle A}¬NA{\ displaystyle \ lnot A}¬NA{\ displaystyle \ lnot A}NA→⊥{\ displaystyle A \ to \ bot}
- Pokud úvaha končí rozporem, lze z něj odvodit platnost jakéhokoli tvrzení (pravidlo známé jako eliminace rozporu ).
Zvažte následující pravidla:
-
Eliminace dvojité negace :¬¬NA→NA{\ displaystyle \ lnot \ lnot A \ až A}
-
Vyloučena třetí strana :NA∨¬NA{\ displaystyle A \ lor \ lnot A}
-
Kontrapozice :(¬NA→¬B)→(B→NA){\ displaystyle (\ lnot A \ to \ lnot B) \ to (B \ to A)}
Postavme se do rámce intuitivní logiky (s , negací, disjunkcí a konjunkcí) a přidejme k této logice Peirceův zákon. Ukážeme, že tři předchozí pravidla jsou platná a že získáme klasickou logiku. Nejprve si povšimněte, že pokud instancujeme Peirceův zákon nahrazením protichůdným návrhem , získáme následující variantu (tím , že si říkáme, že je ).
⊥{\ displaystyle \ bot}B{\ displaystyle B}⊥{\ displaystyle \ bot}(¬NA→NA)→NA{\ displaystyle (\ lnot A \ na A) \ na A}¬NA{\ displaystyle \ lnot A}NA→⊥{\ displaystyle A \ to \ bot}
Důkaz eliminace dvojí negace : Nechť je hypotéza . Předpokládejme dále , že dostaneme rozpor (propozici a její negaci). Pravidlem eliminace absurdních, vyvozujeme . Vzhledem k tomu, že z toho odvodíme , uzavřeme implikaci (zavedení implikace). Použitím výše uvedené varianty Peirceova zákona odvodíme platnost . To jsme tedy ukázali .
¬¬NA{\ displaystyle \ lnot \ lnot A}¬NA{\ displaystyle \ lnot A}NA{\ displaystyle A}¬NA{\ displaystyle \ lnot A}NA{\ displaystyle A}¬NA→NA{\ displaystyle \ lnot A \ to A}NA{\ displaystyle A}¬¬NA→NA{\ displaystyle \ lnot \ lnot A \ až A}
Odstranění dvojí negace je základem argumentace absurdní . Pokud to skutečně vede k rozporu, máme to pravidlem zavedení negace, a proto to máme eliminací dvojité negace. Ukázali jsme tedy, že přidání Peirceova zákona k intuiční logice dává klasickou logiku.
¬NA{\ displaystyle \ lnot A}¬¬NA{\ displaystyle \ lnot \ lnot A}NA{\ displaystyle A}
Důkaz vyloučené třetí strany : ve skutečnosti jde o přímý důsledek vyloučení dvojí negace nebo zdůvodňování absurditou. Pokud máme, pak máme , což je rozporuplné. Takže máme, a proto odstraněním dvojité negace.
¬(NA∨¬NA){\ displaystyle \ lnot (A \ lor \ lnot A)}¬NA∧¬¬NA{\ displaystyle \ lnot A \ land \ lnot \ lnot A}¬¬(NA∨¬NA){\ displaystyle \ lnot \ lnot (A \ lor \ lnot A)}NA∨¬NA{\ displaystyle A \ lor \ lnot A}
Důkaz kontrapozice : je to také důsledek eliminace dvojí negace. Buď tvrzení . Ukažme to . Předpokládejme a ukaž . Kdybychom měli , měli bychom , což je v rozporu s hypotézou. Proto máme a odstraněním dvojí negace ano .
¬NA→¬B{\ displaystyle \ lnot A \ to \ lnot B}B→NA{\ displaystyle B \ až A}B{\ displaystyle B}NA{\ displaystyle A}¬NA{\ displaystyle \ lnot A}¬B{\ displaystyle \ lnot B}¬¬NA{\ displaystyle \ lnot \ lnot A}NA{\ displaystyle A}
Reference
-
CS Peirce, „ O algebře logiky: příspěvek k filozofii notace “, American Journal of Mathematics 7, 180–202 (1885). Reprodukováno ve shromážděných dokumentech Charlese Sanderse Peirce 3.359–403 a ve spisech Charlese S. Peirce: Chronologické vydání 5, 162–190.
-
Ve skutečnosti máme v intuiční logice oslabenou formu De Morganova zákona, konkrétně to , ale nemáme obrácenou odpověď.¬(NA∨B)→(¬NA∧¬B){\ displaystyle \ lnot (A \ lor B) \ to (\ lnot A \ land \ lnot B)}
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">