Magma (algebra)
V matematice je magma jednou z algebraických struktur používaných v obecné algebře . Magma je ze své podstaty celek opatřený zákonem o vnitřním složení .
Definice
Označíme-li sadu a má vnitřní zákon složení v je dvojice označil je magma. S touto definicí není celek identický s magmatem, ale jsou běžně identifikovány.
M{\ displaystyle M}⋆{\ displaystyle \ star}M{\ displaystyle M}(M,⋆){\ displaystyle (M, \ star)}M{\ displaystyle M}
Na tento zákon vnitřního složení není často kladen žádný axiom , který se často označuje jako násobení .
Říkáme, že magma je:
(M,⋆){\ displaystyle (M, \ star)}
Pokud a jsou magmas, magma morfismus nebo magma homomorfizmus , ze v je podle definice mapování f z M N tak, že pro všechny prvky x , y M, máme
(M,⋅){\ displaystyle (M, \ cdot)}(NE,⋆){\ displaystyle (N, \ star)}(M,⋅){\ displaystyle (M, \ cdot)}(NE,⋆){\ displaystyle (N, \ star)}
F(X⋅y)=F(X)⋆F(y).{\ displaystyle \ qquad f (x \ cdot y) = f (x) \ hvězda f (y).}Pokud, kromě toho, f je bijekce , převrácená f je morfismus magmat z v a říkáme, že f je izomorfismus magmat. Převrácená hodnota izomorfismu magmatu je izomorfismus magmatu.
(NE,⋆){\ displaystyle (N, \ star)}(M,⋅){\ displaystyle (M, \ cdot)}
Pokud je kontext dostatečně jasný, řekneme spíše „morfismus“ než „morfismus magmy“, ale existují případy, kdy by to mohlo vést ke zmatku. Například morfismus magmatu mezi monoidy nemusí být nutně morfismem monoidů .
Příklady magmat
- Prázdné magma je jediné magma na prázdné sadě .
-
(NE,+){\ displaystyle (\ mathbb {N}, +)}je komutativní monoid . Navíc je vše pravidelné .
-
(NE,×){\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ krát)}je také komutativní monoid , ale 0 není pravidelný.
-
(Z,-){\ displaystyle (\ mathbb {Z}, -)}je non- asociativní a nekomutativní magma . Není to ani sjednocující, ale pouze sjednocující napravo, protože pokud připouští (jedinečný, nikoli automatický) neutrální prvek vpravo (0), nepřipouští žádný vlevo. Na druhou stranu je toto magma permutativní a pravidelné.
- Říkáme magma naopak pro magma magma , kde pro všechny .M=(E,⋆){\ displaystyle M = (E, \ hvězda)}MÓp=(E,⊞){\ displaystyle M ^ {op} = (E, \ boxplus)}X⊞y=y⋆X{\ displaystyle x \ boxplus y = y \ hvězda x}(X,y)∈E2{\ displaystyle (x, y) \ v E ^ {2}}
- Magmatický kvocient
Magma {0,1,2} opatřena ⋆{\ displaystyle \ star}
⋆{\ displaystyle \ star}
|
0
|
1
|
2
|
---|
0
|
0
|
0
|
0
|
---|
1
|
0
|
0
|
1
|
---|
2
|
0
|
2
|
2
|
---|
Zdarma magma
Definujeme indukcí na celé číslo posloupnost sad takto:
ne⩾1{\ displaystyle n \ geqslant 1}Mne(X){\ displaystyle M_ {n} (X)}
Pózujeme ; pro je součet množin množin pro .
M1(X)=X{\ displaystyle M_ {1} (X) = X}ne⩾2{\ displaystyle n \ geqslant 2}
Mne(X){\ displaystyle M_ {n} (X)}Mp(X)×Mne-p(X){\ displaystyle M_ {p} (X) \ krát M_ {np} (X)}1⩽p⩽ne-1{\ displaystyle 1 \ leqslant p \ leqslant n-1}
Součet rodiny je označen ; každá ze sad je identifikována svým kanonickým obrazem v .
(Mne(X))ne⩾1{\ displaystyle (M_ {n} (X)) _ {n \ geqslant 1}}M(X){\ displaystyle M (X)}Mne(X){\ displaystyle M_ {n} (X)}M(X){\ displaystyle M (X)}
Pro každý prvek z , existuje jedinečná celé číslo takové, že ; bychom to nazývat délka dne a my zapište si ho .
ω{\ displaystyle \ omega}M(X){\ displaystyle M (X)}ne{\ displaystyle n}ω∈Mne(X){\ displaystyle \ omega \ v M_ {n} (X)}ω{\ displaystyle \ omega}l(ω){\ displaystyle l (\ omega)}
Sada se skládá z prvků délky 1 palce .
X{\ displaystyle X}M(X){\ displaystyle M (X)}
Pustit a dovnitř ; pojďme nastavit a . Obraz z kanonické injekcí o v sadě součet je nazýván sloučenina z a a je třeba poznamenat, nebo . Máme tedy i každý element délky je napsán v jedinečným způsobem ve formě se i v .
ω{\ displaystyle \ omega}ω′{\ displaystyle \ omega '}M(X){\ displaystyle M (X)}p=l(ω){\ displaystyle p = l (\ omega)}q=l(ω′){\ displaystyle q = l (\ omega ')}(ω,ω′){\ displaystyle (\ omega, \ omega ')}Mp(X)×Mq(X){\ displaystyle M_ {p} (X) \ krát M_ {q} (X)}Mp+q(X){\ displaystyle M_ {p + q} (X)}ω{\ displaystyle \ omega}ω′{\ displaystyle \ omega '}ωω′{\ displaystyle \ omega \ omega '}ω∙ω′{\ displaystyle \ omega \ kulka \ omega '}l(ω∙ω′)=l(ω)+l(ω′){\ displaystyle l (\ omega \ kulka \ omega ') = l (\ omega) + l (\ omega')}M(X){\ displaystyle M (X)}⩾2{\ displaystyle \ geqslant 2}ω′ω„{\ displaystyle \ omega '\ omega' '}ω′{\ displaystyle \ omega '}ω„{\ displaystyle \ omega ''}M(X){\ displaystyle M (X)}
Voláme volné magma postavené na X množině poskytovanou zákonem složení .
M(X){\ displaystyle M (X)} ∙{\ displaystyle \ bullet}
Obvyklá magma
Skupina je monoid z nichž jsou všechny prvky jsou invertovat.
Struktura prstence zahrnuje dva vnitřní zákony složení na stejné množině, a tedy dvě magma, ale prsten není přesně řečeno magma. Totéž platí o dalších ještě složitějších algebraických strukturách, jako je struktura modulu na prstenci .
Historický
Termín magma poprvé představil v kontextu obecné algebry Nicolas Bourbaki .
Starému názvu „grupoid rudy“, který zavedli Bernard Hausmann a Øystein Ore v roce 1937 a někdy se používal až do 60. let 20. století, je dnes třeba se vyvarovat, použití termínu grupoid je dnes vyhrazeno teorii kategorií , kde to něco znamená jiný.
Poznámky a odkazy
-
N. Bourbaki , Algebra I , kapitoly 1 až 3, s. I.12 §2 1, Neutrální prvek, definice 2.
-
N. Bourbaki, AI, str. I.2-3.
-
(in) VL Murskiǐ, „Existence tříhodnotové logiky uzavřené třídy s konečným základem, která nemá úplný konečný systém identit“, sovětská matematika. Dokl. , let. 6, 1965, str. 1020-1021 .
-
Bourbaki, A I.77, §7, volná magma.
-
Bourbaki, A I.15, §2 3, Reverzibilní prvky, definice 6.
-
(in) BA Hausmann a Øystein Ore, „ Teorie kvazi-skupin “ , Amer. J. Math. , sv. 59, n O 4,1937, str. 983-1004 ( JSTOR 2371362 ).
-
Dov Tamari , „ Problémy asociativity monoidů a problémy slov pro skupiny “, Dubreil Seminar , sv. 16, n o 1, 1962-1963 ( číst on-line )Odkryté n o 7, str. 1-29 .
-
(in) „ groupoid “ v Online slovníku krystalografie .
-
(in) Massimo Nespolo, „ Má ještě matematická krystalografie roli ve XXI. Století? » , Acta Crystallographica, oddíl A , roč. 64,2008, str. 97 ( DOI 10.1107 / S0108767307044625 ).
-
(in) L. Beklemishev , Mr. Pentus a N. Vereshchagin , prokazatelnost, složitost, Grammars , al. " AMS Překlady - Series 2" ( n o 192)1999, 172 s.(Anglický překlad tří doktorských prací v ruštině, z nichž první: [ (ru) číst online ] , 1992).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">