Symetrická matice

V lineárních a bilineární algebry , je symetrická matice je čtvercová matice , která se rovná jeho vlastní přemístit , tj. Tak, že i, j = a j, i pro všechna i a j od 1 do n , kde i, j jsou koeficienty matice an je její řád.

Příklady

Koeficienty symetrické matice jsou symetrické vzhledem k hlavní úhlopříčce (od levého horního rohu k pravému dolnímu rohu). Následující matice je proto symetrická:

(246401061012){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 0 & 10 \\ 6 & 10 & 12 \ end {pmatrix}}}

Libovolná diagonální matice je symetrická.

Vlastnosti

• Matice představující bilineární formu je symetrická právě tehdy, pokud je symetrická.
• Sada symetrických matic řádu n s koeficienty v komutativním pole je vektor podprostor o rozměru n ( n + 1) / 2 vektorového prostoru čtvercových matic, aby n , a v případě, že charakteristika těla je odlišný od 2, další subspace je, že z antisymetrická matice .

Skutečné symetrické matice

Spektrální rozklad

V euklidovském prostoru , je matice představuje s endomorfismů v ortonormální báze je symetrický pouze v případě endomorfismů je vlastní spojeny . V konečných-dimenzionální spektrální věta z toho vyvozuje, že jakýkoli symetrická matice s reálné koeficienty je diagonalizable pomocí ortogonální matice přechodu , protože vlastní hodnoty z nezávislém spojeny endomorfismů jsou skutečné a její vlastní čísla jsou ortogonální .

Proces diagonalizace se numericky vztahuje na jakoukoli symetrickou matici a spočívá v jejím rozložení ve formě NA{\ displaystyle A}

NA=ÓDÓT{\ displaystyle A = ODO ^ {\ mathsf {T}}}

kde je ortogonální matice (jejíž sloupce jsou vlastní vektory z ), a tam, kde je diagonální matice , jejíž koeficienty jsou přesně vlastní hodnoty . Ó{\ displaystyle O}NA{\ displaystyle A}D{\ displaystyle D}NA{\ displaystyle A}

Poznámka  : symetrická matice se složitými koeficienty nemusí být diagonalizovatelná. Například matice

(1ii-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & {\ rm {i}} \\ {\ rm {i}} & - 1 \ end {pmatrix}}}

připouští 0 jako jedinou vlastní hodnotu; pokud by to bylo diagonalizovatelné, bylo by to nula. Složitým analogem skutečných symetrických matic jsou ve skutečnosti hermitovské matice (které jsou diagonalizovatelné).

Ky Fanova stopová nerovnost

Označme vektorový prostor reálných symetrických matic řádu n a , na vlastní čísla , která patří v sestupném pořadí: Sne{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {n}}λi(NA)∈R{\ displaystyle \ lambda _ {i} (A) \ v \ mathbb {R}}i=1,...,ne{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}ne{\ displaystyle n}NA∈Sne{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {S}} ^ {n}}

λ1(NA)⩾λ2(NA)⩾⋯⩾λne(NA).{\ displaystyle \ lambda _ {1} (A) \ geqslant \ lambda _ {2} (A) \ geqslant \ cdots \ geqslant \ lambda _ {n} (A).}

Představujeme aplikaci

λ:Sne→Rne:NA↦(λ1(NA),...,λne(NA)){\ displaystyle \ lambda: {\ mathcal {S}} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}: A \ mapsto (\ lambda _ {1} (A), \ ldots, \ lambda _ { n / A))}

a, pro sloupcový vektor , označíme na transponovaných řádkový vektor a je diagonální matice, jejíž index koeficient je . proti∈Rne{\ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {n}}protiT{\ displaystyle v ^ {\ mathsf {T}}}Diag⁡(proti){\ displaystyle \ operatorname {Diag} (v)}(i,i){\ displaystyle (i, i)}protii{\ displaystyle v_ {i}}

Ky Fan trace nerovnost  -  pro všechno a máme NA{\ displaystyle A}B∈Sne{\ displaystyle B \ v {\ mathcal {S}} ^ {n}}

⟨NA,B⟩⩽λ(NA)Tλ(B),{\ displaystyle \ langle A, B \ rangle \ leqslant \ lambda (A) ^ {\ mathsf {T}} \ lambda (B),}

kde <⋅, ⋅> naznačovat kanonický skalární součin naMne(R){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})} , s rovnosti tehdy a jen tehdy, pokud je možné získat objednat spektrální rozklady a z a stejným ortogonální matice, to znamená, že tehdy a jen tehdy, pokud λ(NA){\ displaystyle \ lambda (A)}λ(B){\ displaystyle \ lambda (B)}NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

∃PROTI ortogonální:NA=PROTIDiag⁡(λ(NA))PROTITaB=PROTIDiag⁡(λ(B))PROTIT.{\ displaystyle \ existuje \, V ~ {\ mbox {ortogonální}}: \ quad A = V \; \ operatorname {Diag} (\ lambda (A)) \; V ^ {\ mathsf {T}} \ quad { \ mbox {and}} \ quad B = V \; \ operatorname {Diag} (\ lambda (B)) \; V ^ {\ mathsf {T}}.}

Poznámky

• Výše uvedená stopová nerovnost byla publikována Ky Fanem v roce 1949, ale úzce souvisí s dřívější prací von Neumanna (1937). Podmínkou rovnosti je CM Teobald (1975).
• Podle výše uvedeného překladu, pokud jde o endomorfismy spojené se sebou, a jsou současně diagonalizovatelné tehdy a jen tehdy, když dojíždějí, a matici průchodu lze poté zvolit ortogonálně. Výše uvedená podmínka rovnosti v nerovnosti Ky Fan je silnější, protože vyžaduje objednání získaných diagonálních matic . Takže a dojíždějte, ale liší se od .NA{\ displaystyle A}B∈Sne{\ displaystyle B \ v {\ mathcal {S}} ^ {n}}NA=Diag⁡(1,2){\ displaystyle A = \ operatorname {Diag} (1,2)}B=Diag⁡(2,1){\ displaystyle B = \ operatorname {Diag} (2,1)}⟨NA,B⟩=4{\ displaystyle \ langle A, B \ rangle = 4}λ(NA)Tλ(B)=5{\ displaystyle \ lambda (A) ^ {\ mathsf {T}} \ lambda (B) = 5}
• Ky Fan nerovnost je zdokonalení nerovnosti Cauchy-Schwarz na euklidovské podprostoru části , v tom smyslu, že tyto lze odvodit od prvního. Ve skutečnosti, pokud se ortogonální, mámeSne{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {n}}Mne(R){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})}NA=PROTIDiag⁡(λ(NA))PROTIT{\ displaystyle A = V \, \ operatorname {Diag} (\ lambda (A)) \, V ^ {\ mathsf {T}}}PROTI{\ displaystyle V}
  ‖λ(NA)‖2=‖Diag⁡(λ(NA))‖=‖PROTIDiag⁡(λ(NA))PROTIT‖=‖NA‖,{\ displaystyle \ | \ lambda (A) \ | _ {2} = \ | \ operatorname {Diag} (\ lambda (A)) \ | = \ | V \, \ operatorname {Diag} (\ lambda (A) ) \, V ^ {\ mathsf {T}} \ | = \ | A \ |,}
  
  kde a označit kanonické euklidovské normy na a . Proto Ky Fan nerovnost a Cauchy-Schwarz nerovnost na dát‖⋅‖2{\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {2}}‖⋅‖{\ displaystyle \ | \ cdot \ |}Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}Mne(R){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})}Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
  ⟨NA,B⟩⩽‖λ(NA)‖2‖λ(B)‖2=‖NA‖‖B‖.{\ displaystyle \ langle A, B \ rangle \ leqslant \ | \ lambda (A) \ | _ {2} \, \ | \ lambda (B) \ | _ {2} = \ | A \ | \, \ | B \ |.}
  
  Odvodíme Cauchy-Schwarzovu nerovnost dále tím, že vezmeme v úvahu také tu, kterou jsme získali nahrazením výše za .Sne{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {n}}B{\ displaystyle B}-B{\ displaystyle -B}
• Použitím nerovné Ky Fan na diagonální matice, existuje Hardyho nerovnost, Littlewood a Polya , snadno přímo prokázat, že euklidovský skalární součin dvou vektorů a je omezen vektory a získán z předchozích vektorů seřazením jejich složek v sestupném pořadí:X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle}[X]{\ displaystyle [x]}[y]{\ displaystyle [y]}
  ∀X,y∈Rne:XTy⩽[X]T[y].{\ displaystyle \ forall \, x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ qquad x ^ {\ mathsf {T}} y \ leqslant [x] ^ {\ mathsf {T}} [y] .}
  
  

Pozitivní symetrické matice

Skutečná symetrická matice S řádu n se říká:

• pozitivní, pokud je přidružená (symetrická bilineární) forma pozitivní, tj. pokud

∀X∈Rne,XTSX≥0 ;{\ displaystyle \ forall \, x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \ qquad x ^ {\ mathsf {T}} Sx \ geq 0 ~;}

• pozitivní určitá, pokud je přidružená forma určitá a pozitivní, tj. pokud

∀X∈Rne∖{0},XTSX>0.{\ displaystyle \ forall \, x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}, \ qquad x ^ {\ mathsf {T}} Sx> 0.}

Poznámka: skutečná čtvercová matice, která kontroluje takovou nerovnost (širokou nebo dokonce přísnou), nemusí být nutně symetrická (srov. Matice rotace roviny ).

Konkrétní použití

Symetrická matice řádu 3 představuje kónický řez v homogenních souřadnicích v projektivní rovině konstruované z . VS3∖{(0,0,0)}{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3} \, \ zpětné lomítko \, \ {(0,0,0) \}}

Dodatky

Poznámky

1. (en) K. Fan (1949). Máme Weylovu větu o vlastních hodnotách lineárních transformací. Sborník Národní akademie věd USA 35, 652-655. [ číst online ]
2. (en) J. von Neumann (1937). Některé maticové nerovnosti a metrizace matricového prostoru. Tomsk University Review 1, 286-300. In Collected Works , Pergamon, Oxford, 1962, svazek IV, 205-218.
3. (en) CM Teobald (1975). Nerovnost pro stopu součinu dvou symetrických matic. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 77, 265-266.
4. (in) GH Hardy , JE Littlewood a G. Polya , Nerovnosti , Cambridge University Press , Cambridge, Velká Británie, 1952.

Příručka

(en) JM Borwein a AS Lewis , Konvexní analýza a nelineární optimalizace , New York, Springer ,2000

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">