Modul komplexního čísla
V matematice je modul z komplexního čísla je pozitivní, skutečný počet , který měří jeho „velikost“ a zobecňuje absolutní hodnotu o reálné číslo . Tato představa je zvláště užitečná pro definování vzdálenosti na komplexní rovině .
Modul komplexního čísla z je označen | z |. V případě, že komplex je z vyjádřené v algebraické formě, s + i , b , kde i je fiktivní jednotka , je reálná část ze Z a b její imaginární části , tento modul je odmocnina ze součtu z čtverců z A a b :
|z|=na2+b2.{\ displaystyle | z | = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}
Termín modulus zavedl Jean-Robert Argand a odhalil způsob reprezentace imaginárních veličin geometrickými konstrukcemi.
Příklady
- Modul 0 je 0. Modul nenulového komplexního čísla je nenulový.
- Modul reálného je jeho absolutní hodnota.
- Modul 1 + i je √ 2 .
-
12+i32{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ rm {i}} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}
má pro modul 1.
Vlastnosti
Pro všechny reálné a příslušné absolutní hodnoty a pro všechna komplexní čísla z , z 1 , z 2 ,…, z n :
na{\ displaystyle a}
b{\ displaystyle b}
|na|{\ displaystyle | a |}
|b|{\ displaystyle | b |}![| b |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881f49e94388a46a05d329251551ce20baf4f05d)
- |na|≤na2+b2=|na+ib|a|b|≤na2+b2=|na+ib|{\ displaystyle | a | \ leq {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = | a + {\ rm {i}} b | \ quad {\ text {and}} \ quad | b | \ leq {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = | a + {\ rm {i}} b |}
![| a | \ leq {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = | a + {\ rm {i}} b | \ quad {\ text {a}} \ quad | b | \ leq {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = | a + {\ rm {i}} b |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a621c6cdfb6872dacc9aacd82347f0c33252c81)
- |z|≥0{\ displaystyle | z | \ geq 0}
![| z | \ geq 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6506224a1dd2262556a29a789033f192f9d3bfef)
- |z|=0⇔z=0{\ displaystyle | z | = 0 \ šipka doleva z = 0}
![| z | = 0 \ Šipka vlevo z = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/728b1a6c5297e0ef8ccd81914c9fd409e3d1792e)
- |z1z2|=|z1||z2|{\ displaystyle | z_ {1} z_ {2} | = | z_ {1} || z_ {2} |}
![{\ displaystyle | z_ {1} z_ {2} | = | z_ {1} || z_ {2} |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b02d1ad12d0d8c33da0f3d0412b065de200adb7)
- |z1z2|=|z1||z2|-liz2≠0{\ displaystyle \ left | {z_ {1} \ over {z_ {2}}} \ right | = {| z_ {1} | \ přes {| z_ {2} |}} \ quad {\ text {si}} \ quad z_ {2} \ neq 0}
![\ left | {z_ {1} \ over {z_ {2}}} \ right | = {| z_ {1} | \ přes {| z_ {2} |}} \ quad {\ text {si}} \ quad z_ {2} \ neq 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d208b76f1908e76cfb86a4301cabe2c6c967b756)
-
|z¯|=|z|=|-z¯|=|-z|{\ displaystyle | {\ overline {z}} | = | z | = | - {\ overline {z}} | = | -z |}
, kde označuje konjugát komplexního číslaz¯{\ displaystyle {\ overline {z}}}
z{\ displaystyle z}
- zz¯=|z|2{\ displaystyle z {\ overline {z}} = | z | ^ {2}}
![z {\ overline {z}} = | z | ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/636b3450f9b9ff3da4fae9a11142929b1a91a083)
-
|z1+z2|≤|z1|+|z2|{\ displaystyle | z_ {1} + z_ {2} | \ leq | z_ {1} | + | z_ {2} |}
( trojúhelníková nerovnost , která se zobecňuje v )|z1+z2+⋯+zne|≤|z1|+|z2|+⋯+|zne|{\ displaystyle | z_ {1} + z_ {2} + \ cdots + z_ {n} | \ leq | z_ {1} | + | z_ {2} | + \ cdots + | z_ {n} |}![| z_ {1} + z_ {2} + \ cdots + z_ {n} | \ leq | z_ {1} | + | z_ {2} | + \ cdots + | z_ {n} |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf2b5d07e857513ed2bec88c8af80c1b6e7d596)
-
|z1+z2|≥| |z1|-|z2| |{\ displaystyle | z_ {1} + z_ {2} | \ geq | ~ | z_ {1} | - | z_ {2} | ~ |}
(odvozeno od trojúhelníkové nerovnosti)
- Případ rovnosti v trojúhelníkové nerovnosti: tehdy a jen tehdy , nebo dokonce tehdy a jen tehdy, pokud existuje pozitivní reálný jako nebo .|z1+z2|=|z1|+|z2| {\ displaystyle | z_ {1} + z_ {2} | = | z_ {1} | + | z_ {2} | ~}
z1¯z2∈R+{\ displaystyle {\ overline {z_ {1}}} z_ {2} \ in \ mathbb {R} _ {+}}
λ{\ displaystyle \ lambda}
z2=λz1 {\ displaystyle z_ {2} = \ lambda z_ {1} ~}
z1=λz2 {\ displaystyle z_ {1} = \ lambda z_ {2} ~}![z_ {1} = \ lambda z_ {2} ~](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03108a7c20f3acdd49545b3c59ff6e5b9b842fa2)
Geometrická interpretace
Pokud interpretujeme z jako bod v rovině, to znamená, vezmeme-li v úvahu jeho obraz , pak | z | je vzdálenost od (obrazu) z k počátku.
Je užitečné interpretovat výraz | x - y | jako vzdálenost mezi (obrazy) dvou komplexních čísel x a y v komplexní rovině.
Z algebraického hlediska je modul absolutní hodnota , která dává množině komplexních čísel strukturu hodnotného pole .
Jedná se zejména o normu , takže komplexní rovina je normovaný vektorový prostor ( dimenze 2). Z toho vyplývá, že se jedná o metrický prostor (tedy topologický prostor ). Ve skutečnosti, aplikace: , je vzdálenost .
VS×VS→R+{\ displaystyle \ mathbb {C} \ krát \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {R} _ {+}}
(z1,z2)↦|z1-z2|{\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}) \ mapsto | z_ {1} -z_ {2} |}![(z_ {1}, z_ {2}) \ mapsto | z_ {1} -z_ {2} |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb9a30f43c9bac64aa65a6c1c9c5f69aa3f9acb)
Složitá čísla modulu 1
Žádost o inu je skupina morphism . Její jádro není nikdo jiný než sady komplexních čísel z modulu 1, což je tedy podskupina of . Nazývá se skupina jednotek na .
z↦|z|{\ displaystyle z \ mapsto | z |}
(VS∗,×){\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}, \ krát)}
(R∗,×){\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {*}, \ krát)}
U{\ displaystyle \ mathbb {U}}
(VS∗,×){\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}, \ krát)}
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}![\ mathbb {C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
Mapa je morfismem skupin v . Tento morfismus je periodický a označujeme jej. Tato definice čísla π je dána kolektivem Nicolase Bourbakiho .
X↦exp(iX){\ displaystyle x \ mapsto \ exp ({\ rm {i}} x)}
(R,+){\ displaystyle (\ mathbb {R}, +)}
(U,×){\ displaystyle (\ mathbb {U}, \ krát)}
2π{\ displaystyle 2 \ pi}![2 \ ft](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06)
Poznámky a odkazy
-
Jean-Robert Argand, Úvahy o nové teorii imaginářů , následovaná ukázkou analytické věty , Annales de Gergonne , svazek 5, s. 197-209, příloha eseje o způsobu reprezentace imaginárních veličin geometrickými konstrukcemi , Gauthier-Villars, Paříž (1874), s. 122 .
-
Jak je vysvětleno v tomto videu: „ Modul daného komplexního čísla “ ( Archive • Wikiwix • Archive.is • Google • Co dělat? ) , On Video-Maths .
Související články
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">