π (Pi), někdy nazývaný Archimedean konstantní , je číslo reprezentován řeckým písmenem stejného jména v malými písmeny (n). To je konstantní poměr na obvodu části kruhu k jeho průměru v Euclidean letadle . To může také být definován jako poměr plochy jednoho disku na náměstí jeho poloměru .
Jeho výchozí přibližná hodnota na méně než 0,5 × 10 –15 je 3,141592653589793 v desítkovém zápisu .
Mnoho vzorců ve fyzice , inženýrství a samozřejmě matematice zahrnuje π , což je jedna z nejdůležitějších konstant v matematice.
Číslo π je iracionální , to znamená, že jej nelze vyjádřit jako poměr dvou celých čísel ; to znamená, že jeho desítkové zápisy nejsou ani konečné, ani periodické. Je to dokonce transcendentní číslo , což znamená, že neexistuje nenulový polynom s celočíselnými koeficienty, jehož π je kořen .
Stanovení dostatečně přesné přibližné hodnoty π a pochopení její podstaty jsou problémy, které překročily historii matematiky ; fascinace tímto číslem se dokonce stala součástí populární kultury.
Použití řeckým písmenem n, první písmeno περίμετρος ( „ obvod “ v starověkém Řekovi ), se ukázalo, pouze XVIII th století. Dříve byla její hodnota různými parafrázimi označována jako „konstanta kruhu“ nebo její ekvivalent v různých jazycích.
Ve slovnících a obecných prací, π je definován jako poměr, konstantní v obvyklé rovině, která je euklidovská rovina , mezi obvodem části kruhu a jeho průměru . Tento poměr nezávisí na zvoleném kruhu, zejména na jeho velikosti. Ve skutečnosti jsou všechny kruhy podobné a pro přechod z jednoho kruhu do druhého stačí znát poměr podobnosti. Z toho vyplývá, že pokud má kružnice pro každý kladný reálný k poloměr r (nebo průměr d = 2 r ) k krát větší než jiný, bude jeho obvod P také k krát větší, což dokazuje stálost zprávy.
.Navíc stejná podobnost vynásobí plochu A druhou mocninou k , což nyní dokazuje, že poměr A / r 2 je konstantní. Můžeme ukázat, například metodou nedělitelných , že tato konstanta má také hodnotu π .
.Výkres oproti ilustruje další metodu, v podstatě kvůli Archimédovi ( viz níže ): obvod polygonu je přibližně 2π r, zatímco přerozdělením vytvořených trojúhelníků si všimneme, že jeho plocha je přibližně stejná jako π r 2 . Abychom formalizovali „přibližně“, bylo by nutné, aby počet stran polygonu směřoval k nekonečnu, což již ilustruje „analytickou“ povahu π .
Geometrická definice výše, historicky první a velmi intuitivní, není nejpřímější definovat π matematicky ve všech důslednostech. Více specializovaná práce, například definovat π podle reálné analýze , někdy s použitím goniometrických funkcí , ale zavedla bez odkazu na geometrii:
Dvě předchozí metody ve skutečnosti spočívají ve výpočtu obvodu kruhu, který jsme definovali funkcí t ↦ exp (i t ) nebo funkcí t ↦ exp (2i π t ) .
Číslo π je iracionální , což znamená, že nemůžeme psát π = p / q, kde p a q by byla celá čísla . Al-Khwarizmi je IX th století, je přesvědčen, že π je iracionální. Maimonides také zmínil tuto myšlenku v průběhu XII -tého století.
To nebylo až do XVIII th století Johann Heinrich Lambert dokazuje tento výsledek. Ten vystavuje, v roce 1761, což je všeobecný expanzi kontinuální frakce o tangenciální funkce . On vyvozuje, že expanze tan ( m / n ) , přičemž m a n nenulových celých čísel, je psáno: .
Avšak za určitých předpokladů - zde ověřených - zobecněná pokračující expanze zlomků představuje iracionální, takže když x je nenulová racionální, tan ( x ) je iracionální. Nicméně, tan (π) je rovna na 0 ; je to racionální. By kontrapozici , to dokazuje, že π není racionální.
Během XX -tého století, byly nalezeny další demonstrace, které nevyžadují hlubší znalosti než kalkulu . Jeden z nich, Ivan Niven , je velmi široce známý. Podobné důkazy, zjednodušenou verzi Charlese Hermita , našla před nějakou dobou Mary Cartwrightová .
Nejen, že číslo π je iracionální (viz předchozí část), ale je transcendentní , to znamená, že není algebraické : neexistuje polynom s racionálními koeficienty, z nichž π je kořen .
To je XIX th století, který je zobrazen tento výsledek. V roce 1873 Hermite dokázal, že základ přirozeného logaritmu , číslo e , je transcendentní. V roce 1882 Ferdinand von Lindemann zobecnil své úvahy do věty ( Hermitova-Lindemannova věta ), která uvádí, že je-li x algebraické a odlišné od nuly, pak e x je transcendentní. Avšak e iπ je algebraické (protože se rovná –1). By kontrapozici , iπ je transcendentní, takže od té doby jsem je algebraické, π je transcendentní.
Historicky důležitým důsledkem transcendence π je, že není konstruovatelná . Vskutku, Wantzel teorém zejména uvádí, že jakýkoli constructible číslo je algebraické. Vzhledem k tomu, že souřadnice všech bodů, které lze zkonstruovat pomocí pravítka a kompasu, jsou konstruovatelná čísla, je kvadratura kruhu nemožná; jinými slovy, je nemožné postavit, pouze s pravítkem a kompasem, čtverec, jehož plocha by se rovnala ploše daného disku.
Více anekdoticky skutečnost, že π je transcendentní, umožnila Donovi Coppersmithovi ukázat, že když rozdělíme disk o n ≥ 4 souběžných linií, které mezi nimi tvoří všechny úhlyπne radiány , dva součty ploch získané uvažováním jedné části ze dvou se liší právě tehdy, je-li n liché.
Prvních 16 číslic desetinného zápisu π je 3,141 592 653 589 793 (více desetinných míst naleznete v externích odkazech).
Zatímco v roce 2013 jsme již znali více než dvanáct bilionů desetinných míst π , konkrétní aplikace, jako je odhad obvodu kruhu, obecně nepotřebují více než deset číslic. V roce 1881 Simon Newcomb poznamenal, že deset desetinných míst je dostatečných k výpočtu obvodu Země na zlomek palce; třicet desetinných míst, abychom získali místo viditelného vesmíru, jaké bylo tehdy zadrženo, s nepostřehnutelnou přesností pod nejmocnějším mikroskopem té doby. V 90. letech byla desetinná reprezentace π zkrácená na 39 desetinných míst považována za dostatečnou pro výpočet obvodu kruhu o průměru stejného řádu jako velikost pozorovatelného vesmíru s přesností srovnatelnou s tímto. atom z vodíku , s přihlédnutím k odhadované a ve skutečnosti. V roce 2014 se Donald Byrd, počítačový vědec, vrátil k Newcombovu tvrzení, aby jej aktualizoval s ohledem na pokrok ve vědě od roku 1881: dospěl k závěru, že pro pozorovatelný vesmír 100 Ga.l. (tj. 9,46 × 10 26 m ) a přesnost Planckovy délky , trvá pouze asi 60 desetinných míst.
Protože π je iracionální číslo , jeho desítkové vyjádření není periodické z určité pozice . Sekvence z desetinná n vždy fascinovala profesionálních i amatérských matematiky, a mnoho úsilí bylo uvedeno do získání další a další desetiny a hledá určité vlastnosti, jako je například výskyt prvočísel. V zřetězení jeho desetinných míst ( viz část článku „ Prvočíslo vyplývající z konstantního zkrácení “).
Navzdory rozsáhlé analytické práci a provedeným výpočtům nebyl nalezen žádný jednoduchý model popisující tuto posloupnost čísel. Na mnoha webových stránkách jsou k dispozici první desetinná místa a existuje software, který z nich dokáže vypočítat miliardy, které lze nainstalovat do osobního počítače .
Desetinná expanze π navíc otevírá pole dalším otázkám, zejména otázce, zda vědět, zda je π normální číslo , to znamená, že jeho konečné posloupnosti číslic v desítkovém zápisu jsou rovnoměrně rozloženy. A fortiori, π by pak bylo číslo vesmíru , což znamená, že bychom mohli najít v jeho desítkové expanzi jakoukoli konečnou posloupnost číslic. V roce 2006 nebyly na tyto otázky zodpovězeny žádné odpovědi.
Následující celé zlomky čísel se používají k uložení nebo přiblížení π ve výpočtech (počet přesných platných číslic v závorkách):
Počáteční kalkulačky společnosti Hewlett-Packard (např.HP-25) neměly klíč pro π a uživatelská příručka doporučila355113, velmi snadno zapamatovatelné.
Níže uvádíme další zlomkové přístupy ( historie , numerická aproximace, pokračující zlomky a zapamatování π ).
Lze najít přibližnou hodnotu π tak empirickou , nakreslením kružnice, změřením jejího průměru a obvodu a následným dělením obvodu průměrem. Další geometrický přístup, přidělený Archimedův , spočívá ve výpočtu obvodu P n z pravidelného mnohoúhelníku s n stranami a v měření průměru d svého opsané kružnice , nebo po jeho vepsané kružnice . Čím větší je počet stran mnohoúhelníku, tím lepší je přesnost získaná pro hodnotu π .
Archimedes použil tento přístup porovnáním výsledků získaných vzorcem pomocí dvou pravidelných polygonů se stejným počtem stran, pro které je kruh pro jednu ohraničenou a druhou vepsanou. Dokázal s 96stranným mnohoúhelníkem určit 3+1071 <π <3 + 17 .
Můžeme také získat přibližné hodnoty π implementací modernějších metod. Většina vzorců použitých k výpočtu π je založena na trigonometrii a integrálním počtu . Některé jsou však obzvláště jednoduché, například „ Leibnizův vzorec “ ( viz níže ):
Tato řada konverguje tak pomalu, že k výpočtu π s přesností na šest desetinných míst stačí téměř dva miliony iterací. Je však možné definovat podobnou sekvenci, která konverguje k π mnohem rychleji, pózováním: a definování:
Výpočet π 10,10 pak vyžaduje čas podobný času potřebnému pro výpočet prvních 150 členů počáteční řady, ale přesnost je mnohem lepší, protože π 10,10 = 3,141592653… se blíží k π s devíti přesnými desetinnými místy. Podrobnější výpočetní metody budou nalezeny později, což poskytne mnohem rychlejší konvergence.
Starověká historie π , kterou lze vysledovat díky dostupným spisům, zhruba sleduje vývoj matematiky jako celku. Někteří autoři dělí historii n do tří částí: starověké období, během něhož π byla studována geometricky, klasické éry kolem XVII th století, kdy počet nástrojů, které umožnily pokrok v poznání číslem n , a doba digitálních počítačů.
Zdá se, že velmi brzy byli matematici přesvědčeni, že mezi obvodem kruhu a jeho průměrem, jakož i mezi oblastí disku a čtvercem poloměru existuje konstantní poměr. Z tablet Babylonian sahá až 2000 let před naším letopočtem. J. - C. a objevil v roce 1936 současné výpočty plochy vedoucí k hodnotě π 3 + 1/8.
Objevil v roce 1855 se Rhind papyrus obsahuje text zkopírován do XVI th století př.nl písaře Egyptian Ahmose , ale manuální nejstarší problémy. Několikrát se používá metoda k vyhodnocení plochy disku, přičemž se vezme čtverec, jehož strana se rovná průměru disku minus jedna devátá. Tato metoda vede k vyhodnocení π 256/81.
Možné odůvodnění je založeno na opačném diagramu. Pokud má disk průměr 9, je plocha disku o něco větší než plocha (nepravidelného) osmiúhelníku získaná oříznutím rohů čtverce stranou 9. Tento osmiúhelník má plochu 63; plocha disku se poté vyhodnotí na 64, tj. plocha čtverce strany 8. Poměr mezi plochou disku a čtvercem poloměru se poté vyhodnotí pomocí 64 / (9/2) 2 , c ', tj. 256/81. Ale hypotéza, že tento proces vedl k aproximaci Rhindova papyru, není mezi historiky jednomyslná.
Kolem 700 před naším letopočtem. AD , indický text Shatapatha Brahmana udává aproximaci π : 25/8 (= 3,125) a Baudhāyana Sulbasūtra dává další dva: 900/289 (≈ 3,11) a 1156/361 (≈ 3, 20). Astronomické výpočty pak vedly k další védské aproximaci : 339/108 (≈ 3139). Brzy v VI -tého století našeho letopočtu. AD , Aryabhata dává přesnější přiblížení:62 83220 000 ≈ 3,1416. Jako | π - 3,1416 | <0,0000075, to je pozoruhodný výsledek s přesností na 10 −5 .
V Archimédově pojednání (287 až 212 př. N. L. ) S názvem Na míru kruhu si můžeme přečíst demonstraci spojující plochu disku a oblast trojúhelníku majícího délku základny po obvodu kruh a pro výšku poloměr, což ukazuje, že stejná konstanta se objevuje ve vztahu mezi oblastí disku a čtvercem poloměru a mezi obvodem a průměrem.
Tato demonstrace je založena na absurdní metodě vyčerpání a uvažování . Počínaje čtvercem vepsaným do kruhu a čtvercem ohraničeným do kruhu a vynásobením počtu stran na neurčito číslem 2 dokazuje, že plocha disku nemůže být menší než nebo větší než plocha příslušného trojúhelníku .
Kruh a jeho čtverce vepsané a ohraničené.
Kruh a jeho osmiúhelníky vepsané a ohraničené.
Řezání kruhu na 8 částí.
Jeho demonstrace využívá myšlenku rozřezávání na čtvrtiny: kruh je rozřezán na několik čtvrtin, které od začátku do konce vytvářejí křivočaré trojúhelníky stejné výšky. Vynásobením počtu čtvrtin je základna křivočarých trojúhelníků téměř rovná a výška je blízká poloměru; součet základen pak odpovídá obvodu kruhu a plocha je pak 1/2 základny vynásobená výškou, to znamená 1/2 obvodu vynásobená poloměrem.
Ve stejném pojednání stanoví Archimedes rámování obvodu kruhu pomocí obvodů pravidelných mnohoúhelníků vepsaných a ohraničených do kruhu a majících 96 stran. Pro výpočet obvodů těchto polygonů vychází z vepsaných a ohraničených šestiúhelníků a zdůrazňuje vzorce, které dávají obvod polygonu, jehož počet stran se zdvojnásobil. Jeho výpočet se rovná ukázce, že 3 + 10/71 < π <3 + 1/7. Průměr těchto dvou hodnot je přibližně 3,14185. Archimedes se zastaví na 96 stranách, protože výpočty, které musí provést, s přibližnými hodnotami, jsou již dlouho dlouhé. Tím ale nastavuje metodu, kterou využijí jeho nástupci a která teoreticky umožňuje tak velkou přesnost, jaká je požadována. Při prvních výpočtech je však vyžadována stále větší přesnost pokaždé, když se zdvojnásobí počet stran mnohoúhelníku. Ptolemaios , řecký vědec, který žil tři století po Archimédovi, dává hodnotu , kterou se mu podařilo získat díky Apolloniovi z Pergy , nebo pomocí trigonometrické tabulky a vynásobením délky podkladové struny o 360 o úhel jeden stupeň.
Archimédovy vzorceArchimedes používá vlastnost spojující úpatí půlové osy se sousedními stranami: na opačném obrázku je SS ′ půlová osa úhlu vrcholu S
Pro ohraničený mnohoúhelník. Na obrázku protilehlé, a jsou poloviční strany dvou po sobě jdoucích přesně stanovené polygonů. Archimedes to ukazuje pomocí předchozí vlastnosti a operaci opakujte 4krát od šestiúhelníku.
Pro zapsaný mnohoúhelník. Na obrázku naproti a jsou strany dvou po sobě jdoucích vepsaných polygonů. Archimedes to ukazuje pomocí podobných trojúhelníků a vlastnosti půlící čáryMůžeme tedy ukázat, že obvody a vepsané a ohraničené polygony získané po n krocích (tj. V případě Archimeda, který začíná šestiúhelníkem, polygony se 6 × 2 n stranami) splňují následující relace opakování: . Trigonometrické identity také umožňují rychle získat tyto vztahy ( viz níže ).
Archimédův důkaz tedy spočívá ve výpočtu a zdůvodnění v každé fázi racionálních hodnot standardně a přesahujícím obvod kruhu, aby bylo možné po n = 4 fázích (96 stran) uzavřít požadovaný rám.Pokud lze praktické výpočty provést s dobrou přesností pomocí hodnoty 3.14 jako aproximace π , zvědavost matematiků je tlačí k určení tohoto čísla s větší přesností. Na III th století , Čína, Liu Hui , komentátor devíti kapitol , stanoví jako poměr mezi obvodem a průměru praktickou hodnotu 3, ale se vyvíjí v blízkosti těchto výpočtů Archimedes ale účinnější a poskytuje aproximaci n k 3.1416. Čínský matematik Zu Chongzhi dává přesnější racionální aproximace n : n ≈ 355/113 (jehož desítková expanze jsou identické s 6 th desetinná n ≈ 3141 592 6 a 355/113 ≈ 3141 592 9 ), a ukazuje, že 3,141 592 6 < π <3,141 592 7 , pomocí algoritmu Liu Hui (en) aplikovaného na polygon s 12 288 stranami. Tato hodnota zůstává nejlepší aproximací π během příštích 900 let.
Do asi 1400 nepřesahovala přesnost aproximací π 10 desetinných míst. Pokrok v integrálním počtu a řadě tuto přesnost zlepší. Série umožňuje přiblížit se k π se zvýšenou přesností, protože pro výpočet jsou použity členy řady. Kolem roku 1400 se indický matematik Madhava Sangamagrama je co, v moderním jazyce, vývoj funkce arctan (nově objevený James Gregory a Gottfried Wilhelm Leibniz v XVII th století): Zvláštní případ x = 1 je výše uvedená Leibnizova řada - známá také jako Madhava-Leibnizova řada - jejíž konvergence je příliš pomalá.
Zvláštní případ x = 1 / √ 3 : konverguje mnohem rychleji , což umožnilo Madhavě dát přibližnou hodnotu π 3,141 592 653 59, která má 11 správných desetinných míst. Ale tato práce zůstaly neznámé mimo Kerala do XIX -tého století , v návaznosti na dobytí Indie Brity . Madhavův rekord překonal v roce 1424 perský matematik Al-Kachi ( Pojednání o obvodu ), kterému se podařilo dát 16 desetinných míst, a to pomocí metody Archimeda na polygon 3 × 2 s 28 stranami.
První významný příspěvek z Evropy od Archimeda přinesl François Viète , který udává dvanáct desetinných míst, zbytek je koncipován v jeho Canon mathatique z roku 1579 . Za ním následuje Adrien Romain , který v roce 1591 udává 15 desetinných míst , a Němec Ludolph van Ceulen (1540-1610), který stejnou geometrickou metodou použil odhad π správný na 35 desetinných míst. Byl tak hrdý na svůj výpočet, který mu vzal tolik života, že nechal na svém náhrobku vyryta desetinná místa.
Okamžitě ho následuje Willebrord Snell , jeho žák, který najde rychlejší metody získání stejné aproximace. Ve stejném období se v Evropě začaly objevovat metody integrálního počtu a určování nekonečných řad a produktů pro geometrické veličiny . První vzorec tohoto typu je Viète vzorec :
vystaven Viète v roce 1579 ve svém Matematickém kánonu a znovu v roce 1593, v jeho Různé problémy . Dalším slavným výsledkem je produkt Wallis :
které dlužíme Johnu Wallisovi , který to prokázal v roce 1655. Isaac Newton sám použil sériové rozšíření π / 6 = arcsin (1/2) k výpočtu 15 desetinných míst π ; mnohem později řekl: „Stydím se ti říct, kolik desetinných míst jsem díky těmto výpočtům našel, protože jsem v té době neměl žádné jiné zaměstnání. "
V roce 1706 John Machin jako první našel 100 desetinných míst π pomocí vzorce: a výše uvedený vývoj v celé řadě arktanů .
Vzorce tohoto typu, nyní známé jako Machinovy vzorce , byly použity k překonání několika záznamů o známých desetinných místech π a dnes zůstávají nejznámějšími vzorci pro výpočet π pomocí počítačů. Pozoruhodný rekord drží zázračný kalkulátor Johann Dase, který v roce 1844 na základě Gaussovy rovnice vypočítal Machinův výpočet 200 desetinných míst π . Nejlepší hodnota získaná na konci XIX th století je vzhledem k Williamu Shanks , který strávil patnáct let pro výpočet 607 desetinná místa a počet desetinných míst na 707 n , ačkoliv z důvodu chyby, pouze první 527 byla správná. V dnešní době je snadné se těmto chybám vyhnout tím, že počítač necháte provádět výpočty a pomocí dvou různých vzorců eliminujete riziko chyb při výpočtu, programování nebo mikroprocesoru.
Teoretické posune XVIII th století vedl matematiků zpochybňovat povahu n , včetně absence pravidelných vzorců v jejich dekadické, přiměřené předpokladu dané numerické výpočty, ale pro kterou potřeba radikální přístupu odlišného, aby to dokázal důsledně. Tuto cestu provedl Johann Heinrich Lambert v roce 1761, který tak jako první dokázal iracionalitu π , následně také Adrien-Marie Legendre prokázala, že π 2 byla také iracionální. Tato konstanta ( π 2 ) hraje významnou roli v matematice, protože se objevil v řešení problému, Basel , který měl zjistit přesnou hodnotu , která je π 2 /6 (o čemž svědčí Leonhard Euler , který navázal této příležitosti hluboké spojení mezi π a prvočísly ). V tomto procesu Legendre a Euler předpokládali, že π je transcendentní číslo , což nakonec dokázal v roce 1882 Ferdinand von Lindemann .
To bylo během XVIII -tého století, které stanoví používání řecké písmeno „ n “, první písmeno slova řeckého περιφέρεια ( obvodu , to znamená, že obvod ) na základě poměru obvodu kruhu k jeho průměru.
Od XVII th století, někteří matematici pomocí notace π / δ kde π označuje obvod a delta průměr. První, kdo jednoduše použil π, je William Jones ve své knize Synopsis palmariorum mathesios publikované v roce 1706 o chytrém výpočtu tohoto počtu sérií jeho přítele Machina . Matematici však nadále používají jiné notace. Mezi nimi začal Euler používat Jonesovu notaci ve své korespondenci z roku 1736. Přijal ji ve své knize Introductio in analysin infinitorum vydané v roce 1748, která měla rozhodně velký vliv. Bodování přišel ovládat pozdní XVIII -tého století.
Zatímco několik desítek desetinných míst π je do značné míry dostatečných pro praktické výpočty prováděné fyzikem, dobývání desetinných míst čísla π nepřestalo s příchodem počítačů, což umožnilo vypočítat velmi velký počet tato desetinná místa.
V roce 1949, s použitím ENIAC , John von Neumann získá 2,037 desetinná místa n bylo na základě výpočtu, která se 70 hodin. Během následujících desetiletí byly nalezeny tisíce dalších desetinných míst, přičemž milionmístná fáze prošla v roce 1973. Pokroky nebyly způsobeny pouze stále rychlejšími počítači, ale také novými použitými algoritmy. Jedním z nejvýznamnějších pokroků byl objev rychlé Fourierovy transformace v 60. letech , která umožnila počítačům rychle manipulovat s velmi velkým počtem.
Na začátku XX th století, indický matematik Srinivasa Ramanujan našel mnoho nových vzorců zahrnujících n ; některé z nich jsou pozoruhodné svou elegancí a matematickou hloubkou. Jedním z těchto vzorců je následující řada, která dává 8 nových desetinných míst pro každý nový termín:
Vzorec níže, úzce související s výše uvedeným, objevil David a Gregory Chudnovsky v roce 1987:
Tento vzorec udává 14 nových desetinných míst π v každém členu. Na konci osmdesátých let to bratři Chudnovští využili k překonání několika rekordů v počítaných desetinných místech π . Zůstává nejpoužívanějším vzorcem pro výpočet π na osobních počítačích.
Zatímco řada umožňuje získat přibližné hodnoty π s dodatečnou rychlostí přesnosti u každého členu, která je konstantní, existují iterační algoritmy, které násobí počet správných desetinných míst v každém kroku, s nevýhodou, že každý krok obecně vyžaduje „drahý“ výpočet. Průlom nastal v roce 1975, kdy Richard Brent a Eugene Salamin (ne) nezávisle objevili vzorec Brent-Salamin , který v každém kroku zdvojnásobuje počet správných číslic. Je založen na starém výsledku očekávaném a poté demonstrovaném Gaussem . V roce 1818 demonstroval souvislost mezi aritmeticko-geometrickým průměrem M (1, √ 2 ) 1 a √ 2 - délkou Bernoulliho lemniscate - a π . Délka lemniscate je L = 2 ϖr, kde r představuje vzdálenost OA mezi středem a vrcholem lemniscate a kde ϖ je konstanta lemniscate. Označíme-li G , Gaussovu konstantu , tj. Inverzní k M (1, √ 2 ), pak: Salamin a Brent použili tento výsledek k sestavení algoritmu, který nese jejich jméno, a díky kterému bude dobytí desetinných míst π postupovat společně s desetinnými místy √ 2 .
Algoritmus spočívá v pózování: , poté definujte následující relace opakování: a nakonec se pro výpočet těchto hodnot, dokud se n a b n jsou dostatečně blízko. Pak máme přibližnou hodnotu π danou: .
Pomocí tohoto algoritmu je k výpočtu 45 milionů desetinných míst potřeba pouze 25 iterací. Podobný algoritmus, který čtyřnásobně zvyšuje přesnost v každém kroku, našli Jonathan a Peter Borweinovi. Díky těmto metodám překonal Yasumasa Kanada a jeho spolupracovníci v letech 1981 až 1999 rekord v počtu desetinných míst π jedenáctkrát (více než 2 × 10 11 desetinných míst v roce 1999).
V roce 1997 vzorec BBP , který objevil Simon Plouffe , dále zlepšil znalosti o π . Vzorec, je pozoruhodné, protože umožňuje vypočítat jakoukoli číslici zápisu π v hexadecimálním nebo binárním základu , aniž by se počítaly ty předchozí. V letech 1998 až 2000, PiHex distribuované výpočetní projekt používá variantu BBP vzorce kvůli Fabrice Bellard pro výpočet 1,000,000,000,000,000 th binární číslice n , což se ukázalo být 0.
Pokud vzorec formuláře: Bylo zjištěno, že s kladnými celými čísly b a c a polynomy stupně p a q fixovanými na celočíselné koeficienty (jako u výše uvedeného vzorce BBP), by to byl jeden z nejúčinnějších způsobů výpočtu jakékoli číslice při zápisu π v základně b c (a tedy v základu b ), aniž by bylo nutné počítat ty předchozí, v čase závislém pouze na indexu vypočítaného členu a stupni polynomů.
V roce 2006 našel Simon Plouffe několik vzorců zahrnujících π . Nastavením q = e π ( Gelfondova konstanta ) máme: jakož i : kde k je liché číslo a a , b , c jsou racionální čísla .
Od roku 2010, program záznamy pomocí y-cruncher uspět (viz "Section XXI th století" v sekci "sbližování n " ). Na konci roku 2016 rekord překročil 2 × 10 13 desetinných míst.
14. března 2019, v den Pi, společnost Google zveřejnila nový rekord desetinné čárky vypočítaný jedním z jejích zaměstnanců pomocí výkonných strojů. Nový světový rekord dosahuje 31 415 miliard desetinných míst. Trvalo 111 dní nepřetržitých výpočtů, než se Emma Haruka Iwao zapsala do Guinnessovy knihy rekordů.
π se objevuje v mnoha vzorcích geometrie zahrnujících kruhy a koule :
Geometrický tvar | Vzorec |
---|---|
Obvod kruhu s poloměrem r a průměrem d | |
Oblast z disku s poloměrem r | |
Plocha elipsy s poloosami a a b | |
Objem na míč o poloměru r | |
Plocha koule o poloměru r | |
Objem válce o výšce h a poloměru r | |
Boční plocha válce o výšce h a poloměru r | |
Objem kuželu o výšce h a poloměru r | |
Boční plocha kuželu o výšce h a poloměru r |
π se také nachází ve výpočtu povrchů a objemů hypersfér (s více než třemi rozměry).
Komplexní číslo z může být vyjádřena v polárních souřadnicích následujícím způsobem: .
Častý výskyt π v komplexní analýze pochází z chování komplexní exponenciální funkce popsané Eulerovým vzorcem : kde i je imaginární jednotka splňující vztah i 2 = −1 a e ≈ 2,71828 je Neperova konstanta . Tento vzorec znamená, že imaginární síly e popisují rotace na jednotkové kružnici o komplexní roviny ; tyto rotace mají periodu 360 ° = 2 π rad . Zejména rotace o 180 ° = π rad dává identitu Eulera .
Četné posloupnosti nebo řady se sbíhají k π nebo k racionálnímu násobku π a jsou dokonce počátkem výpočtů přibližných hodnot tohoto čísla.
Archimédova metoda
Dvě posloupnosti definované s n = n sin (π / n ) a t n = n tan (π / n ) představují pro n ≥ 3 poloviční obvody pravidelných polygonů s n stranami, zapsaných do trigonometrické kružnice pro s n , exinscription for t n . Jsou využívány extrahovanými sekvencemi, jejichž index (počet stran mnohoúhelníku) se zdvojnásobuje při každé iteraci, aby se získalo π přechodem na hranici výrazů pomocí elementárních aritmetických operací a druhé odmocniny . Lze tedy odvodit z Archimédova zákona metodou ( viz výše ), definice vyvoláním sekvencí získanou z termínů s 2 k + 1 a t 2 k + 1 (od s 4 = 2 √ 2 a t 4 = 4), nebo s 3 x 2 k a t 3 x 2 k (z to 3 = 3 √ 3 /2 a t 3 = 3 √ 3 ): .
Z této definice vyplývá, že dvě odpovídající extrahované sekvence sekvence c n : = s n / t n = cos (π / n ) ověřují: a .
(Alternativně můžeme pro všechny n ≥ 2 dokázat první dva vztahy pomocí trigonometrických identit ( srov. „ Poloobloukové vzorce “) a ( srov. „ Vzory s dvojitým úhlem “) a poslední dva přímo pomocí trigonometrické identity 2sin ( x / 2) = √ 2 - 2cos ( x ) a 2cos ( x / 2) = √ 2 + 2cos ( x ) pro x ∈ [0, π] .)
Můžeme tedy vyjádřit s 2 k +1 a s 3 × 2 k (pro k ≥ 1), pak π (přechodem k limitu) ve formě vzorců, kde se druhé odmocniny překrývají : ( k je počet odmocnin) nebo:
Další výraz s 2 k +1 , který lze odvodit jednoduše z první z těchto dvou rovností (vynásobit √ 2 + √… ), vede k následujícímu nekonečnému součinu (vzorec François Viète , 1593):
Nekonečné částky a produktyPokračování inspirované vzorcem Brent-Salamina (1975):
Dovolit být tři sekvence ( A n ) , ( B n ) a ( C n ) definované současně: my máme : .
Počet správných desetinných míst (v základu 10 ) se s každou iterací téměř zdvojnásobí.
Funkce Riemann zetaObecněji Euler dokázal, že ζ (2 n ) je racionální násobek π 2 n pro jakékoli kladné celé číslo n .
Logistická sadaNechť ( x n ) je posloupnost iterací logistické funkce s parametrem μ = 4 aplikovaným na reálné x 0 zvolené v intervalu [0, 1] (to znamená, že definujeme pro všechna n ≥ 0, ) . Sekvence ( x n ) opouští interval [0, 1] a diverguje téměř pro všechny počáteční hodnoty.
Máme pro téměř všechny počáteční hodnoty x 0 .
IntegrálníČíslo π se také jeví jako dvojnásobek limitu integrálního sinusu v nekonečnu:
V pravděpodobnosti a statistice existuje mnoho zákonů, které používají konstantu π , včetně:
Následující dva vzorce převzaté z analýzy naleznou pravděpodobné praktické aplikace. Jeden umožňuje ukázat konvergenci binomického zákona k Gaussovu zákonu a druhý umožňuje vypočítat hustotu Gaussova zákona.
Na druhou stranu existují různé pravděpodobnostní experimenty, kde π zasahuje do teoretické pravděpodobnosti. Mohou být proto použity k provedení aproximace π provedením velkého počtu testů .
Jehla cynomolgus je zkušenost z pravděpodobnosti navržené George Louis Leclerc, počet cynomolgus a výpočtu pravděpodobnosti, že délka jehly je spuštěn kryt, vyrobený z lamel šířka L , obepíná dvě lamely. Tato pravděpodobnost p je: i když jehla je ohnutá.
Tento vzorec lze použít k určení přibližné hodnoty π : kde n je počet hozených jehel a x počet jehel, které jsou na dvou lištách současně.
Tato metoda rychle představuje své limity; i když je výsledek matematicky správný, nelze jej použít k experimentálnímu určení více než několika desetinných míst π . Chcete-li získat pouze přibližnou hodnotu 3,14, je nutné provést miliony hodů a počet požadovaných hodů se exponenciálně zvyšuje s požadovaným počtem desetinných míst. Navíc velmi malá chyba v měření délek L a a bude mít významný dopad na nalezenou hodnotu π . Například rozdíl v měření jednoho atomu na jehle o délce 10 centimetrů bude nalezen od devátého desetinného místa π . V praxi případy, kdy se zdá, že se jehla dotýká přesně hranice mezi dvěma lamelami, zvýší nepřesnost experimentu, takže chyby se objeví dlouho před devátým desetinným místem.
Metoda Monte Carlo je dalším pravděpodobnostním experimentem, který spočívá v náhodném pořízení bodu ve čtverci strany 1 , pravděpodobnost, že tento bod je ve čtvrtém disku o poloměru 1, je π / 4 ; to lze snadno pochopit vzhledem k tomu, že plocha čtvrtiny disku je π / 4, zatímco plocha čtverce je 1 .
Protože π je transcendentní, neexistuje žádné vyjádření tohoto čísla, které volá pouze po číslech a algebraických funkcích. Vzorce pro výpočet π pomocí elementární aritmetiky obvykle zahrnují nekonečné součty. Tyto vzorce umožňují přiblížit se k π s chybou tak malou, jak chceme, s vědomím, že čím více výrazů přidáme do výpočtu, tím blíže bude výsledek k π .
Numerické výpočty proto musí používat aproximace π .
První numerická aproximace π byla určitě 3. V případech, kdy situace vyžaduje malou přesnost, může tato hodnota sloužit jako vhodná aproximace. Pokud je 3 výchozí odhad, je to proto, že se jedná o poměr mezi obvodem pravidelného šestiúhelníku vepsaného do kruhu a průměrem tohoto kruhu.
V mnoha případech jsou dostatečné přiblížení 3.14 nebo 22/7 , ačkoli inženýři již pro větší přesnost dlouho používali 3,1416 (5 platných číslic) nebo 3,14159 (6 platných číslic). Tyto aproximace 22/7 a 355/113, s, respektive 3 a 7 platných číslic, se získají od psaní v kontinuálním frakci z n . Byl to však čínský matematik Zu Chongzhi (祖 沖 之 v tradičních sinogramech , 祖 冲 之 ve zjednodušených sinogramech, Zǔ Chōngzhī v piyinu) (429-500), který pomocí Archimédovy metody pro výpočet obvodu pravidelný mnohoúhelník s 12 288 stranami vepsanými do kruhu. Dnes jsou numerické aproximace, které inženýři nejčastěji používají, předdefinované výpočetní konstanty.
Aproximace n v 355/113, je nejlepší, který může být vyjádřen pouze 3 číslic v čitatele a jmenovatele. Aproximace 103 993/33 102 (která poskytuje 10 platných číslic) vyžaduje mnohem větší číslo: vychází to z výskytu vysokého čísla 292 v pokračující frakční expanzi π .
V obvyklých numerických výpočtech na počítači se místo toho používá správně zaokrouhlená konstanta, ale předdefinovaná s přesností alespoň 16 platných číslic (toto je nejlepší přesnost, kterou lze vyjádřit číslem s plovoucí desetinnou čárkou ve standardním formátu IEEE 754 na 64 bitech , typ obecně označovaný jako „dvojitá přesnost“) a zvolený tak, aby výpočet jeho sinusu vracel 0 přesně funkcí definovanou ve stejné přesnosti. Standardní soubor záhlaví <math.h>používaný v jazyce C nebo C ++ tedy definuje konstantu s M_PIdvojitou přesností (typ s plovoucí desetinnou čárkou používaný ve výchozím nastavení v mnoha funkcích standardních matematických knihoven) na hodnotu 3,141592653589793 (někdy s dalšími číslicemi, pokud platforma podporuje více rozšířené přesnosti pro typ long double). Stejná hodnota se používá v jazyce Java , který je založen na stejném standardu IEEE 754 se standardní konstantou java.lang.Math.PI). Tuto konstantu definujeme tímto způsobem v mnoha programovacích jazycích s nejlepší možnou přesností v podporovaných formátech čísel s plovoucí desetinnou čárkou, protože typ „dvojité přesnosti“ standardu IEEE 754 se etabloval jako minimální referenční přesnost. jazyky pro nespočet aplikací.
Na mikroprocesorech rodiny x86 jsou hardwarové výpočetní jednotky (FPU) schopné reprezentovat čísla s plovoucí desetinnou čárkou přes 80 bitů (použitelné s touto přesností v jazyce C nebo C ++ s typem, long doubleale bez záruky hardwarové podpory), což přináší přesnost π na 19 platných číslic. Nejnovější revize standardu IEEE 754 publikovaná v roce 2008 zahrnuje také definici čísel s plovoucí desetinnou čárkou v „čtyřnásobné přesnosti“ (nebo quad) kódovaných na 128 bitech, což by umožnilo definovat aproximaci konstanty π s přesností 34 číslic. významné (tato přesnost však zatím není nativně podporována mnoha programovacími jazyky, protože jen málo procesorů umožňuje tuto přesnost přímo na hardwarové úrovni bez další softwarové podpory).
U platforem nebo jazyků, které nativně podporují pouze čísla s „jednou přesností“, kódovaná ve standardu IEEE 754 na 32 užitečných bitech, může být podporováno 7 platných číslic (minimální přesnost podporovaná v jazyce C podle typu float), tj. Konstanta správně zaokrouhleno na 3,141593 a v přesnosti ekvivalentní k hodnotě dané zlomkem 355/113 (tento zlomek také umožňuje rychlé výpočty v softwaru pro světelné systémy neobsahující výpočet plovoucí desetinné čárky hardwarové jednotky).
Sekvence dílčích jmenovateli na řetězový zlomek expanze z n neodhaluje žádnou zjevnou vzor:
Nicméně :
Stále vyvstává mnoho otázek: π a e jsou dvě transcendentní čísla, ale jsou algebraicky nezávislá nebo existuje polynomiální rovnice se dvěma proměnnými a s celočíselnými koeficienty, jejichž pár ( π, e ) je řešením? Otázka je stále otevřená. V roce 1929 Alexandre Gelfond dokazuje, že e π je transcendentní, a v roce 1996 Yuri Nesterenko (en) dokazuje, že π a e π jsou algebraicky nezávislé.
Jak již bylo řečeno , není jasné, zda π je normální číslo , nebo dokonce číselný vesmír v základně 10 .
Není pochyb o tom, že díky jednoduchosti jeho definice je číslo pi a zejména jeho desítkové zápisy zakořeněny v populární kultuře ve větší míře než jakýkoli jiný matematický objekt. Navíc objev většího počtu desetinných míst π je často předmětem článků v obecném tisku, což je známka toho, že π je známý objekt i pro ty, kteří matematiku nepraktikují.
Jezero v Kanadě , který se nachází v Quebecu v neorganizovaného území města Riviere-aux-Outardes , nese jméno Lac 3,1416 .
Podle anglosaské tradice se výročí π slaví v určitých matematických odděleních univerzit 14. března . 14. březen, který je v americké notaci označen jako „3/14“, se proto nazývá den pí .
Mnoho míst nebo děl naznačuje přítomnost čísla π v pyramidách a přesněji to π je poměr mezi obvodem základny a dvojnásobnou výškou pyramid. Je pravda, že Cheopsova pyramida má sklon 14/11, a proto je poměr mezi základnou a výškou 22/14. Poměr 22/7 je dobrá aproximace π , poměr mezi obvodem a dvojnásobkem výšky Cheopsovy pyramidy je velmi blízký π . Je nutné, aby to všechno hledalo záměr? Nic není méně jisté, protože sklon pyramid není konstantní a že podle regionů a doby najdeme svahy 6/5 ( červená pyramida ), 4/3 ( Khephrenova pyramida ) nebo 7/5 ( kosodélníková pyramida ), které vedou k poměru mezi obvodem a zdvojnásobením výšky od π .
Je každopádně jisté, že π je přítomno v moderní umělecké kultuře. Například v románu Kontakt , román Carla Sagana , hraje klíčovou roli ve scénáři a navrhuje se, aby tam byla zpráva pohřbená hluboko na desetinná místa π , umístěná kýmkoli, kdo stvořil vesmír. Tato část příběhu byla vynechána z filmové adaptace románu.
Na kinematografické úrovni π sloužil jako název prvního celovečerního filmu Darrena Aronofského , kterému vděčíme zejména za Requiem za sen . Pi je matematický thriller o nalezení perfektní sekvence, odhalující přesný vzorec akciových trhů na Wall Street nebo dokonce skutečné jméno Boha .
V hudebním rejstříku vydala písničkářka Kate Bush v roce 2005 album Aerial , které obsahovalo skladbu „ π “, jejíž texty jsou složeny převážně z desetinných míst π .
Kromě zapamatování π , obvykle jeho prvních 3 až 6 číslic, nebo díky pozoruhodné přibližné hodnotě zlomku 355/113 (7 platných číslic), memorování rekordního počtu desetinných míst π již dlouho bylo a zůstává posedlostí pro mnoho lidí. the14. března 2004, v Oxfordu , mladý autista Asperger Daniel Tammet recituje (za 5 hodin, 9 minut a 24 sekund) 22 514 desetinných míst. Záznam memorování π uznaný v roce 2005 Guinnessovou knihou rekordů byl 67 890 číslic (Lu Chao, mladý čínský absolvent, za 24 hodin a 4 minuty). V říjnu 2006 Akira Haraguchi , japonský inženýr ve výslužbě, přednesla 100 000 desetinných míst π za 16 a půl hodiny, ale tento výkon nebyl potvrzen Guinnessovými světovými rekordy . Oficiální záznam jde v březnu 2015 na 70 000 desetinných míst za 9 h 27 min (indický student Rajveer Meena), poté v říjnu na 70 030 za 17 h 14 min (Suresh Kumar Sharma, další Ind).
17.června 2009, Andriy Slyusarchuk (in) , je neurochirurg a profesor na Ukrajině , prohlašoval, že má uloženo 30 milionů desetinná místa n , které byly vytištěny v 20 svazcích. Ačkoli nerecitoval 30 milionů číslic, o nichž si řekl, že si je pamatoval (což by mu mimochodem trvalo více než rok), některá média tvrdí, že dokázal recitovat deset desetinných míst náhodně vybraných z vytištěných svazků . Srovnání s hodnotami, které si oficiálně uchovávají Guinnessovy knihy, však vede odborníky k vážnému zpochybnění tohoto tvrzení .
Existuje několik způsobů, jak si zapamatovat desetinná místa π , včetně básní, ve kterých počet písmen v každém slově odpovídá jednomu desetinnému desetipísmennému slovu představujícímu 0. Zde je příklad:
Jak rád učím mudrce užitečné číslo!
Nesmrtelný Archimedes, umělec, inženýr,
Kdo podle vašeho úsudku může mít hodnotu?
Váš problém měl pro mě podobné výhody.
Dříve záhadný problém zablokoval
Veškerý obdivuhodný proces, velkolepé dílo,
které Pythagoras objevil ve starověkých Řekech.
Ó kvadratura! Staré trápení filozofa
Nerozpustná kulatost, příliš dlouho jste
vyzývali Pythagora a jeho napodobitele.
Jak integrovat kruhový půdorysný prostor?
Tvoří trojúhelník, kterému bude ekvivalentní?
Nový vynález: Archimedes vepsá
do šestiúhelníku; ocení jeho plochu
Podle poloměru. Ne příliš se toho bude držet:
Duplikuje každý předchozí prvek;
Vždy vypočítaná koule se přiblíží;
Definovat limit; konečně oblouk, omezovač
Z tohoto rušivého kruhu, příliš vzpurný nepřítel
profesor, naučte svůj problém s horlivostí.
Tato metoda má své limity pro ukládání velmi velkého počtu desetinných míst, kde se zdá vhodnější použít metody, jako je metoda loci .
V roce 2001 napsal matematik Robert Palais článek π se mýlí! , ve kterém se domnívá, že konstanta je nedefinovaná a měla by být nastavena jako poměr mezi obvodem kruhu a jeho poloměrem, čímž se její číselná hodnota zvýší na 6,1831853071795 ..., aby se zjednodušily obvyklé vzorce, které by zapojit 2π častěji než π . Michael Hartl převzal své argumenty v Tau Manifestu , ve kterém navrhl upřednostnit použití nové konstanty τ = 2π . Od té doby obránci τ vytvořili den Tau 28. června (6/28) v soutěži s dnem Pi 14. března (3/14).