Maticový standard
V matematice je maticová norma zvláštním případem vektorové normy v prostoru matic .
V následujícím textu, K označuje pole v reálných čísel nebo komplexů .
Definice
Někteří autoři definují matice normu jednoduše jako standardu na vektorovém prostoru M , m, n ( K ) z matric s m řádků a n sloupců s koeficienty v K .
Pro ostatní je maticová norma definována pouze na algebře M n ( K ) čtvercových matic a je algebraickou normou , to znamená, že je dále sub-multiplikativní.
Příklady standardů matic
Frobenius standard
Frobenius normou na je ta, která se odvozuje z skalární nebo Hermitovské standardního výrobku na tomto místě, a to
Mm,ne(K.){\ displaystyle \ mathrm {M} _ {m, n} (K)}![{\ displaystyle \ mathrm {M} _ {m, n} (K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f232615d38ddb1351c7d91d61d948fa50fd19b6)
(NA,B)∈Mm,ne(K.)2↦⟨NA,B⟩=tr(NA∗B)=tr(BNA∗){\ displaystyle (A, B) \ in \ mathrm {M} _ {m, n} (K) ^ {2} \ mapsto \ langle A, B \ rangle = \ operatorname {tr} (A ^ {*} B ) = \ operatorname {tr} (BA ^ {*})}![{\ displaystyle (A, B) \ in \ mathrm {M} _ {m, n} (K) ^ {2} \ mapsto \ langle A, B \ rangle = \ operatorname {tr} (A ^ {*} B ) = \ operatorname {tr} (BA ^ {*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022fa3f9474e78d002a5aa5af43b7749cd7374b5)
,
kde označuje doplňkovou matrici z a na stopu . Norma Frobenius je často známá
NA∗{\ displaystyle A ^ {*}}
NA{\ displaystyle A}
tr{\ displaystyle \ operatorname {tr}}![\ operatorname {tr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e779faa4557258ea25e8101f307317fc771a1ef)
‖NA‖F: =(trNA∗NA)1/2=(trNANA∗)1/2=∑1≤i≤m1≤j≤ne|NAij|2{\ displaystyle \ | A \ | _ {F}: = (\ operatorname {tr} A ^ {*} A) ^ {1/2} = (\ operatorname {tr} AA ^ {*}) ^ {1 / 2} = {\ sqrt {\ sum _ {1 \ leq i \ leq m \ na vrcholu 1 \ leq j \ leq n} \ left | A_ {ij} \ right | ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ | A \ | _ {F}: = (\ operatorname {tr} A ^ {*} A) ^ {1/2} = (\ operatorname {tr} AA ^ {*}) ^ {1 / 2} = {\ sqrt {\ sum _ {1 \ leq i \ leq m \ na vrcholu 1 \ leq j \ leq n} \ left | A_ {ij} \ right | ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1952cf60e2d2497f5e51d35570fba97ba31d45cd)
.
Je to standardní euklidovská nebo hermitovská norma matice považovaná za soubor skalárů .
m×ne{\ displaystyle m \ krát n}
Pokud předchozí úhel pohledu umožňuje odvodit z něj dílčí diferenciál Frobeniovy normy, která je napsána v :
K.=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}
NA∈Mm,ne(R){\ displaystyle A \ in \ mathrm {M} _ {m, n} (\ mathbb {R})}![{\ displaystyle A \ in \ mathrm {M} _ {m, n} (\ mathbb {R})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92e959aa6e88f8f0d805cabebc5b531b81aa01f)
∂(‖⋅‖F)(NA)={B∈Mm,ne(K.)∣‖B‖F≤1, ⟨B,NA⟩=‖NA‖F}{\ displaystyle \ částečné (\ | \ cdot \ | _ {F}) (A) = \ {B \ v M_ {m, n} (K) \ střední \ | B \ | _ {F} \ leq 1, ~ \ langle B, A \ rangle = \ | A \ | _ {F} \}}![{\ displaystyle \ částečné (\ | \ cdot \ | _ {F}) (A) = \ {B \ v M_ {m, n} (K) \ střední \ | B \ | _ {F} \ leq 1, ~ \ langle B, A \ rangle = \ | A \ | _ {F} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c82464f20f6f75dba22b71d151585e750815b8f5)
.
Ve skutečnosti je diferencovatelné s výjimkou nuly, kde je jednotková koule pro Frobeniovu normu.
‖⋅‖F{\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {F}}
∂(‖⋅‖F)(0){\ displaystyle \ částečné (\ | \ cdot \ | _ {F}) (0)}![\ částečné (\ | \ cdot \ | _ {F}) (0)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7349f738abd2bc7696d1289ba3b8e3a5c69cba40)
Frobeniova norma není standardní předmět , protože (tam byl operátor identity ), ale je to sub-multiplikativní kód: .
‖Jáne‖F=ne{\ displaystyle \ | I_ {n} \ | _ {F} = {\ sqrt {n}}}
Jáne{\ displaystyle I_ {n}}
Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
‖NAB‖F⩽‖NA‖F‖B‖F{\ displaystyle \ | AB \ | _ {F} \ leqslant \ | A \ | _ {F} \, \ | B \ | _ {F}}![{\ displaystyle \ | AB \ | _ {F} \ leqslant \ | A \ | _ {F} \, \ | B \ | _ {F}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a34b81b51a91b03eee56f40f8959a4bcc88fa40c)
Frobeniova norma se může rozšířit na hilbertovský prostor (nekonečné dimenze); pak mluvíme o Hilbert-Schmidtově normě nebo Schattenově normě 2 .
Standardy provozovatele
Můžeme také vidět matici A ∈ M m, n ( K ) jako lineární operátor od K n do K m a asociovat s ní různé typy norem operátorů , z norem použitých na K n a K m . Například, pokud se vybavit K m s normou p a K n s normou q (s p , q ∈ [1, ∞] ), získáme normu operátora
‖NA‖p,q: =sup‖X‖q⩽1‖NAX‖p{\ displaystyle \ | A \ | _ {p, q}: = \ sup _ {\ | x \ | _ {q} \ leqslant 1} \; \ | sekera \ | _ {p}}![{\ displaystyle \ | A \ | _ {p, q}: = \ sup _ {\ | x \ | _ {q} \ leqslant 1} \; \ | sekera \ | _ {p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d879e7a0744bfa488ee4516984809e51d81462d)
.
Obzvláště si občas povšimneme
‖NA‖: =‖NA‖2,2{\ displaystyle \ | A \ |: = \ | A \ | _ {2,2}}![{\ displaystyle \ | A \ |: = \ | A \ | _ {2,2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8943712e1e5d026d08934b962cdfa1c0ae9a2d6d)
,
někdy volal spektrální normou nebo Schatten ∞ normou .
Jaderný standard
Dvojí norma spektrálního normy pro skalární nebo standardní Hermitovské produkt M , m, n ( K ), označený a definovaný
‖⋅‖{\ displaystyle \ | \ cdot \ |}![\ | \ cdot \ |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113f0d8fe6108fc1c5e9802f7c3f634f5480b3d1)
‖NA‖∗: =sup‖B‖⩽1|⟨NA,B⟩|{\ displaystyle \ | A \ | _ {*}: = \ sup _ {\ | B \ | \ leqslant 1} \; \ left | \ langle A, B \ rangle \ right |}![{\ displaystyle \ | A \ | _ {*}: = \ sup _ {\ | B \ | \ leqslant 1} \; \ left | \ langle A, B \ rangle \ right |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1055d09b376dafb6f8d14422290b600e7d0c1b68)
,
má různá jména: jaderná norma nebo standard Ky Fan nebo standard 1 Schatten .
Schattenovy standardy
Schatten norma p (de) , v důsledku Robert Schatten , je definován v ∈ M , m, n ( K ) o
‖NA‖σp: =‖σ(NA)‖p{\ displaystyle \ | A \ | _ {\ sigma _ {p}}: = \ | \ sigma (A) \ | _ {p}}![{\ displaystyle \ | A \ | _ {\ sigma _ {p}}: = \ | \ sigma (A) \ | _ {p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc50c922d54517e5d6c9d6f96d495e55b5b637d)
,
kde je vektor singulárních hodnot pro . Tyto normy mají souvislost s předchozími normami, protože bez ohledu na A ∈ M m, n ( K ) mámeσ(NA){\ displaystyle \ sigma (A)}
NA{\ displaystyle A}![NA](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
‖NA‖F=‖NA‖σ2,‖NA‖=‖NA‖σ∞,‖NA‖∗=‖NA‖σ1.{\ displaystyle \ | A \ | _ {F} = \ | A \ | _ {\ sigma _ {2}}, \ qquad \ | A \ | = \ | A \ | _ {\ sigma _ {\ infty} }, \ qquad \ | A \ | _ {*} = \ | A \ | _ {\ sigma _ {1}}.}
Ze vztahu mezi normami matice a normami vektorů a nerovností na těchto normách odvodíme , že pro všechny A ∈ M m, n ( K ):
σ(NA){\ displaystyle \ sigma (A)}![\ sigma (A)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a507cac58b93e190d8f9ff7e470e6c28ff772d0)
‖NA‖⩽‖NA‖F⩽‖NA‖∗≤rg(NA)1/2‖NA‖F⩽rg(NA)‖NA‖,{\ displaystyle \ | A \ | \ leqslant \ | A \ | _ {F} \ leqslant \ | A \ | _ {*} \ leq \ operatorname {rg} (A) ^ {1/2} \ | A \ | _ {F} \ leqslant \ operatorname {rg} (A) \ | A \ |,}
kde označuje pozici ve .
rg(NA){\ displaystyle \ operatorname {rg} (A)}
NA{\ displaystyle A}![NA](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
Tyto nerovnosti ukazují, že hodnost je snížena jadernou normou na jednotkové kouli . Přesněji můžeme ukázat, že největší uzavřenou konvexní funkcí, která snižuje pořadí, je omezení této koule jaderné normy.
B: ={NA∈Mm,ne(K.)∣‖NA‖⩽1}{\ displaystyle {\ mathcal {B}}: = \ {A \ in \ mathrm {M} _ {m, n} (K) \ mid \ | A \ | \ leqslant 1 \}}
B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}![{\ mathcal {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5622de88a69f68340f8dcb43d0b8bd443ba9e13)
Když K je obor reálných čísel, to množství, a upozorňuje na indikatrix o , jako kdybychom řekli, že biconjugate funkce je funkce . Bez omezení hodnosti na množinu získáme identitu malého použití.
JáB{\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}
B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}
rg+JáB:Mm,ne(R)→R¯{\ displaystyle \ operatorname {rg} + {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}: \ mathrm {M} _ {m, n} (\ mathbb {R}) \ do {\ overline {\ mathbb {R}}}}
‖⋅‖∗+JáB{\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {*} + {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}
rg∗∗=0{\ displaystyle \ operatorname {rg} ^ {**} = 0}![\ operatorname {rg} ^ {{**}} = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9705df6e1d1a494be981691122d45c536f1486e)
Vlastnosti
- Příkladem Banachovy algebry je prostor M n ( K ), obdařený sub-multiplikativní normou (jako normou operátora ║ ∙ ║ p , p ) .
- Pro jakoukoli normu N na M n ( K ), přičemž bilineární mapa ( A , B ) ↦ AB je spojitá (jsme v konečné dimenzi ), jsme si jisti existencí konstanty k > 0 takové, že∀NA,B∈Mne(K.)NE(NAB)≤kNE(NA)NE(B){\ displaystyle \ forall A, B \ in \ mathrm {M} _ {n} (K) \ quad N (AB) \ leq kN (A) N (B)}
.V důsledku toho je norma kN sub-multiplikativní. Jakákoli norma na M n ( K ) je tedy úměrná normě algebry.
Poznámky a odkazy
-
A. Quarteroni , R. Sacco a F. Saleri , Numerické metody: Algoritmy, analýza a aplikace , Springer ,2007, 538 s. ( ISBN 978-88-470-0495-5 , číst online ) , s. 22.
-
M. Ghil a J. Roux , Matematika aplikovaná na vědy o životě a planetách : Opravené kurzy a cvičení , Dunod ,2010, 400 s. ( ISBN 978-2-10-056033-2 , číst online ) , s. 50.
-
(in) Are Hjørungnes, komplexní maticové deriváty: With Applications in Signal Processing and Communications , UPC ,2011( číst online ) , s. 121.
-
(en) Terence Tao , Témata v teorii náhodné matice , al. " GSM " ( n o 132)2012( číst online ) , s. 47.
-
(in) B. Recht, pan Fazel a P. Parrilo, „ Zaručené řešení minimálních řad lineárních maticových rovnic pomocí minimalizace jaderných norem “ , SIAM Review , sv. 53,2010, str. 471-501 ( DOI 10.1137 / 070697835 ).
-
(in) Mr. Fazel, Matrix minimization with applications PhD thesis , Stanford (California), Department of Electrical Engineering, Stanford University ,2002.
-
Tato vlastnost zasahuje do problémů, kde se člověk snaží získat šetrné objekty minimalizací pořadí (například při kompresi obrázků). Hodnost, která je funkcí s celočíselnými hodnotami, a proto je obtížné ji minimalizovat, někdy dává přednost konvexní aproximaci problému, který spočívá v minimalizaci jaderné normy.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">