Vlna na vibrujícím provázku

Probíhá návrh fúze mezi vibračním drátem a vlnou na vibračním drátu .

Názory na tento návrh jsou shrnuty v části Stránky ke sloučení na Wikipedii . Na stejné stránce by měly být komentovány zásadní změny, které byly mezitím provedeny.

Právě jste připojili šablonu {{to be merged}} , postupujte takto:

1.	Připevněte banner na další slučované stránky : vibrační kabel	Použijte tento text: {{à fusionner \|corde vibrante \|Onde sur une corde vibrante}}
2.	Důležité : Přidejte sekci na stránce ke sloučení a uveďte důvody svého návrhu.	Vytvoření sekce: Vytvořte sekci na stránce Stránky ke sloučení
3.	Pokud je to možné, nezapomeňte upozornit hlavní přispěvatele na stránku a přidružené projekty .	Použijte tento text: {{subst:Avertissement fusion \|corde vibrante \|Onde sur une corde vibrante}}

Připevněte banner na další slučované stránky :

vibrační kabel

Použijte tento text: {{à fusionner |corde vibrante |Onde sur une corde vibrante}}

Důležité : Přidejte sekci na stránce ke sloučení a uveďte důvody svého návrhu.

Vytvoření sekce:

Vytvořte sekci na stránce Stránky ke sloučení

Pokud je to možné, nezapomeňte upozornit hlavní přispěvatele na stránku a přidružené projekty .

Použijte tento text: {{subst:Avertissement fusion |corde vibrante |Onde sur une corde vibrante}}

Vibrační drát je fyzikální model použit k reprezentaci oscilační pohyby vztaženou drátu. Zde se bude předpokládat, že je držen svými dvěma konci, což není vždy případ (například u kyvadel nebo olovnic je spodní konec volný).

Vibrace, které jsou drženy svými dvěma konci, se odrážejí na každém konci, takže existuje jev stojatých vln .

Tento model umožňuje porozumět zvukům vydávaným strunnými nástroji , ale také pohybům, které mohou narušit mechanické struktury, jako jsou kabely , řetězovky a smyčky .

Tento jednoduchý model je také dobrým úvodem do podobných, ale složitějších jevů, jako jsou zvukové trubky , vibrace desek atd.

Fenomenologický přístup

Popis vibračního drátu

Vezměme si lano držené za dva konce. V nejjednodušším režimu vibrací, který se nazývá „základní“, vytváří v každém okamžiku oblouk a šipka tohoto oblouku se periodicky mění (křivka se zvětšuje, poté zmenšuje, poté se otáčí a poté se zvyšuje jiným způsobem ...).

Můžeme tedy definovat frekvenci $f$ vibrací a všimneme si, že tato frekvence závisí na lineární hustotě řetězce (uvedeno $μ$ ); síla , se kterou se toto lano natažené (napětí poznamenat, $T$ ); a délku šňůry (označenou $L$ ).

Hledáme-li vliv každého parametru, kvalitativně:

čím světlejší je struna ( $μ$ je slabá), tím vyšší je frekvence (to je důvod, proč jsou vysoké struny nástroje tenčí);
čím více je struna napnutá, tím vyšší je frekvence vibrací (z akustického hlediska se nota zvedne, když je struna napnutá);
čím delší je struna, tím nižší je frekvence (a proto je pro nástroj vážnější zvuk).

Rozměrová rovnice

V tomto článku buďte opatrní , abyste nezaměňovali $ν$ , frekvenci určenou řeckým písmenem nu a rychlost šíření vln, někdy také označovanou . $proti$ $vs.$

Čtyři fyzikální veličiny identifikované jako zasahující do jevu vibračního drátu mají pro rozměr příslušně:

$ν$ ( frekvence ) v s -1 ;
$μ$ ( lineární hustota ) v kg ⋅ m −1 ;
T ( mechanické napětí ) v kg ⋅ m ⋅ s -2 ;
L ( délka ) vm .

Podle Vaschy-Buckinghamovy věty , protože tyto čtyři fyzikální proměnné zapojené do zákona jevu závisí na třech základních veličinách, je možné sestrojit ekvivalentní rovnici zahrnující bezrozměrnou proměnnou vytvořenou z původních proměnných. Rychle vidíme, že taková proměnná, zde představovaná řeckým písmenem kappa, je:

{\ displaystyle \ kappa _ {1} = {T \ přes \ mu \ cdot L ^ {2} \ cdot \ nu ^ {2}} \ qquad}

buď ekvivalentním způsobem:

{\ displaystyle \ quad \ nu = {\ kappa _ {2} \ přes L} {\ sqrt {T \ přes \ mu}}}

Všimněte si, že výraz má rozměry rychlosti: je to rychlost šíření šoku po laně. Frekvence vibrací struny je proto úměrná rychlosti šíření po struně a nepřímo úměrná její délce. ${\ displaystyle {\ sqrt {T \ nad \ mu}}}$ $proti$

{\ displaystyle \ quad \ nu = \ kappa _ {2} {v \ přes L}}

Konstanta označená $κ 2$ je zde bezrozměrná konstanta, kterou nelze určit samotnou dimenzionální analýzou. Podrobnější analýza níže ukazuje, že jev ve skutečnosti připouští celou rodinu vlastních vibrací typu $κ 2 = n / 2,$ kde $n$ je celé číslo. Základní frekvence je tedy ta, pro kterou $κ 2 = 1/2$ .

Ladění strunného nástroje

Na nástroji má každá struna jinou lineární hustotu a napětí je upraveno tak, aby ladilo . Abychom mohli hrát, hrajeme na výběr struny, a když má nástroj krk, na délku struny tak, že si strunu strkáme prstem na krku.

Pokud jde o délku: frekvence se mění jako inverzní k délce. Pokud tedy délku vydělíme dvěma, vynásobíme frekvenci dvěma, to znamená, že půjdeme o oktávu nahoru . Všimli jsme si, že dvanáctý pražec kytary je uprostřed struny (protože oktáva je dvanáct půltónů v temperovaném měřítku ).

Řetězec však může vibrovat i jinými způsoby: pokud konce zůstanou pevné, tvar, který zaujme, může mít dva, tři… $n$ oblouky od hlavy k patě. Mluvíme o „režimu vibrací“. Pokud jsme v režimu $n$ , máme tedy $n$ oblouků a každý oblouk má délku $L / n$ . Vibruje tedy s frekvencí $nkrát$ vyšší než základní frekvence . Takto může řetězec vydávat zvuky několika různých výšek.

Skutečná vibrace je ve skutečnosti lineární kombinací různých režimů; mluvíme o „harmonických“. Amplituda různých harmonických je charakteristická pro nástroj a určuje jeho tón (jeho „ zabarvení “).

Nezáleží pouze na vibraci struny, ale také na celém nástroji, zejména rezonanční komoře .

Vlnová rovnice pro natažené lano

Vše, co následuje, předpokládá, že zvuková struna je tuhá a má nulový průměr, což se nikdy přísně neověří. Prezentace účinků tuhosti viz: Neharmoničnost klavíru .

Akord zpočátku v klidu zabírá segment podél osy $x$ . Protahuje se napětím $T$ (silou) působícím na oba konce. Zkroutíme lano ve směru $y$ a necháme ho jít. Řekněme $y ( x , t )$ posunutí tětivy na úsečce $x$ a v okamžitém $t$ . Všimněte si úhlu tečny k akordu a osy $Ox$ v bodě úsečky $x$ . $\ alfa$

Napište Newtonovu rovnici (Newtonovy zákony ) pro část akordové olovnice se segmentem $[ x , x + d x ]$ . Na koncích segmentu máme síly a modul $T$ a opačných směrů působících tangenciálně. ${\ vec {F_ {1}}}$ ${\ vec {F_ {2}}}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {1}}} = - T (\ cos \ alpha (x, t) {\ overrightarrow {e_ {x}}} + \ sin \ alpha (x, t) {\ overrightarrow { e_ {y}}}) = - T \ cos \ alpha (x, t) ({\ overrightarrow {e_ {x}}} + \ tan \ alpha (x, t) {\ overrightarrow {e_ {y}}} )}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {2}}} = T (\ cos \ alpha (x + \ mathrm {d} x, t) {\ overrightarrow {e_ {x}}} + \ sin \ alpha (x + \ mathrm {d} x, t) {\ overrightarrow {e_ {y}}}) = T \ cos \ alpha (x + \ mathrm {d} x, t) ({\ overrightarrow {e_ {x}}} + \ tan \ alpha (x + \ mathrm {d} x, t) {\ overrightarrow {e_ {y}}})}

Předpokládá se, že napětí je malé, takže úhel $α$ je vždy malý. V tom případě :

{\ displaystyle \ cos \ alpha (x, t) \ simeq 1}

{\ displaystyle \ cos \ alpha (x + \ mathrm {d} x, t) \ simeq 1}

To vím

{\ displaystyle \ tan (\ alpha) = {\ částečné y \ nad \ částečné x} (x, t)}

Výraz a stává se: ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {1}}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {2}}}}$

\ overrightarrow {F_ {1}} = - T \ left (\ overrightarrow {e_ {x}} + {\ částečné y \ over \ částečné x} (x, t) \ overrightarrow {e_ {y}} \ vpravo)

\ overrightarrow {F_ {2}} = + T \ vlevo (\ overrightarrow {e_ {x}} + {\ částečné y \ over \ částečné x} (x + {\ mathrm d} x, t) \ overrightarrow {e_ { y}} \ vpravo)

Odkud :

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Delta F}} = {\ overrightarrow {F_ {2}}} + {\ overrightarrow {F_ {1}}} = T \ vlevo ({\ částečné y \ nad \ částečné x} ( x + \ mathrm {d} x, t) - {\ částečné y \ nad \ částečné x} (x, t) \ doprava) {\ overrightarrow {e_ {y}}}}

Podle věty Taylora omezena na 1 st pořadí ( $d x$ se předpokládá velmi malá) se získá:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Delta F}} = T \ vlevo ({\ částečné y \ nad \ částečné x} (x + \ mathrm {d} x, t) - {\ částečné y \ nad \ částečné x} (x, t) \ vpravo) \ mathrm {\ cdot} {\ overrightarrow {e_ {y}}} = T {\ částečné ^ {2} y \ nad \ částečné x ^ {2}} (x, t) \ mathrm {d} x \ cdot {\ overrightarrow {e_ {y}}}}

Pokud nazýváme $μ$ lineární hustotu tětivy, je hmotnost prvku malého tětivy $μ d x$ a síla setrvačnosti tohoto tětivového prvku ve směru posunu, tj. Kolmo na strunu, je: ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {i}}}}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {i}}} = \ mu {\ částečné ^ {2} y \ nad \ částečné t ^ {2}} (x, t) \ mathrm {d} x \ cdot {\ overrightarrow {e_ {y}}}}

Aplikujeme základní princip dynamiky vyvážením síly setrvačnosti a obnovovací síly (při zanedbání gravitační síly ):

{\ displaystyle \ mu {\ částečné ^ {2} y \ nad \ částečné t ^ {2}} (x, t) = T {\ částečné ^ {2} y \ nad \ částečné x ^ {2}} (x , t)}

Pokud nastavíme , $v$ je rychlost šíření rušení podél akordu. Rovnice d'Alembert je pak zapsána ${\ displaystyle v = {\ sqrt {\ tfrac {T} {\ mu}}}}$

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} y \ nad \ částečné t ^ {2}} = {v ^ {2}} {\ částečné ^ {2} y \ nad \ částečné x ^ {2}}}

Nebo:

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné ^ {2} y} {\ částečné x ^ {2}}} - {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} y} {\ částečné t ^ {2}}} = 0}

Tato rovnice je historická. Je to jedna z prvních parciálních diferenciálních rovnic . To bylo předloženo d'Alembert v roce 1747 na Královské akademii věd v Berlíně. Jedná se o vlnovou rovnici, která se rozšíří na tři dimenze prostoru a použije se na šíření zvuku a poté na šíření elektromagnetických vln .

Význam $v$ jako rychlost šíření kmene

Předpokládejme, že akord je nekonečný. V tomto případě je možné řešení vlnové rovnice: kde $f$ je libovolná funkce proměnné, která je $x - vt$ . $y (x, t) = f (x-vt)$

Poznámka: je také přijatelné řešení, ale odpovídá vlně šířící se ve směru záporného $x$ . $y (x, t) = f (x + vt)$

Rovnice je skutečně splněna pro všechna $f$ . Zejména pokud nastavíme $t = 0$ , máme počáteční deformaci akordu:

f (x) = y (x, 0)

V čase $t 1$ najdeme stejný tvar, ale přesunutý do $vt 1$ .

Deformace vypěstované z $VT 1$ v průběhu času $t 1$ , s rychlostí $V$ , aniž by došlo k deformaci.

Pokud máme v čase $t = 0$ co do činění s kmenem sinusového typu:

f (x) = A \ cos \ left (2 \ pi {x \ over \ lambda} \ right)

kde $λ$ je vlnová délka, najdeme v každém okamžiku:

y (x, t) = A \ cos \ left (2 \ pi {x-vt \ over \ lambda} \ right)

že můžeme přepsat ve formě:

{\ displaystyle y (x, t) = A \ cos (kx- \ omega t) = \ Re \ doleva [A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (kx- \ omega t)} \ doprava] }

kde je číslo vlny a je puls. $k = {\ tfrac {2 \ pi} {\ lambda}}$ $\ omega = {2 \ pi \ nu}$

Frekvence je dána přímo s rychlostí pomocí a . $\ nu = {\ tfrac v \ lambda}$ $\ omega = kv$

Vlastní režimy vibrací struny

Podívejme se na řešení vlnové rovnice, která je harmonická v čase, pózováním

y (x, t) = u (x) \ cos \ omega t = \ Re [u (x) e ^ {{- i \ omega t}}]

Najdeme tedy jako rovnici:

v ^ {2} {{\ \ mathrm d} ^ {2} u \ nad {\ mathrm d} x ^ {2}} = - \ omega ^ {2} u (x)

odkud

{{\ mathrm d} ^ {2} u \ nad {\ mathrm d} x ^ {2}} + k ^ {2} u (x) = 0

s . Obecné řešení výše uvedené rovnice je: ${\ displaystyle k = {\ frac {\ omega} {v}}}$

u (x) = A \ cos kx + B \ sin kx

kde $A$ a $B$ jsou dvě integrační konstanty. Pokud má tětiva délku $L$ a je pevná na svých dvou koncích ( $x = 0$ a $x = L$ ), musíme uložit jako okrajové podmínky $u (0) = u ( L ) = 0$ . První podmínka stanoví, že $A = 0$ a druhá dává $B sin ( kL ) = 0$ .

Kromě triviálního řešení $B = 0$ (z čehož vyplývá, že $u = 0$ , které není zajímavé), je tato podmínka také splněna, pokud $kL = n π$ . Nacházíme tedy rodinu řešení:

u_ {n} (x) = B_ {n} \ sin \ left (n \ pi {x \ over L} \ right)

Proč pulsace $ω = nπ v / L$ .

Odpovídající frekvence jsou $ν = n v / 2 L$ , tj. Násobek základní frekvence v / 2 L (inverzní k času okružní jízdy podél tětivy). Prezentace účinků tuhosti, které zvyšují přirozené frekvence o to více, čím vyšší je počet přirozeného režimu, viz: Neharmoničnost klavíru .

Existuje tedy nekonečno čistých režimů vibrací, které popisuje:

y (x, t) = B_ {n} \ sin \ left (n \ pi {x \ over L} \ right) \ cos \ left (n \ pi {vt \ over L} \ right)

Amplitudy $B n$ jsou libovolné.

Obecné řešení vlnové rovnice lze napsat ve formě superpozice všech vlastních režimů:

y (x, t) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} B_ {n} \ sin \ left (n \ pi {x \ over L} \ right) \ cos \ left ( n \ pi {vt \ over L} \ right)

V čase $t = 0$ , zejména

y (x, 0) = \ suma _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} B_ {n} \ sin \ left (n \ pi {x \ over L} \ right)

Pokud si dáme počáteční tvar řetězce, tj. Pokud předpokládáme jako funkci $f ( x ) = y ( x , 0)$ , $B n$ představují koeficienty Fourierovy řady v sinu $f ( x )$ :

B_ {n} = {2 \ over L} \ int _ {{0}} ^ {{L}} f (x) \ sin \ left (n \ pi {x \ over L} \ right) {\ mathrm d } X

Poznámky a odkazy

Guillaume Jouve, Nepředvídané události a pasti vibrujících strun u d'Alemberta (1755-1783). Pochybnosti a jistoty o parciálních diferenciálních rovnicích, řadách a funkcích. , Lyon, práce Claude Bernard University - Lyon I,4. května 2009, 167 s. ( číst online ) , s. 79-107
Pan d'Alembert, „ Výzkum křivky vytvořené napnutou šňůrou umístěnou ve vibracích “, Historie Královské akademie v Berlíně , 1747, publikováno v roce 1749, s. 1. 214-249 ( číst online )

Podívejte se také

Související články

externí odkazy

Java applet simulující vibrace řetězce