Program Erlangen

Program Erlangen je matematický výzkumný program publikovaný německým matematikem Felixem Kleinem v roce 1872 v jeho Srovnávací studii různých nedávných výzkumů v geometrii . Cílem je porovnat různé geometrie během objevily XIX th století k identifikaci bodů podobnosti: to je tak mnohem jasněji odlišit rafinovaný geometrii , na projektivní geometrie , v euklidovské geometrie , v non-Euclidean geometrie až po globální vizí. Základním kamenem tohoto programu je založit geometrii na pojmech skupinové akce a invariantu . Tento program vypadal jako dotazování geometrie a měl velmi silný vliv na jeho vývoj a vývoj. I dnes jeho filozofie ovlivňuje mnoho matematiků, stejně jako výukové a výzkumné programy.

Přečtení tohoto článku vyžaduje určitou znalost konceptů a slovní zásoby skupinových akcí .

Historické pozadí a principy

Vzhledem k tomu psaní Prvky Euclid (a dokonce i dříve), geometrie snažil se účet za okolního prostoru prostřednictvím formalizace a axiomatization euklidovské geometrie ve velikostech 2 nebo 3. XIX th století zažili vzkvétající matematiky, zejména geometrie. V reakci na otázku nezávislosti Euklidových axiomů a také z praktických důvodů byly zavedeny nové geometrie, jako je hyperbolická geometrie nebo projektivní geometrie . V té době jsme tyto geometrie neviděli jako paletu nástrojů, ale spíše jako základní modely reagující na soubor axiomů, ze kterých bylo třeba odvodit geometrické výsledky. Tato vize geometrie, známá jako syntetická geometrie , se odehrává v touze po matematické přesnosti.

Klein, tehdy třiadvacetiletý, se zmocnil svého křesla na univerzitě v Erlangenu a měl tradičně navrhnout pracovní program. Jde o zpochybňování tohoto tradičního pohledu. Jeho myšlenkou je založit geometrii na teorii skupin a umístit koncept symetrie (nebo transformace) do středu geometrie.

Pojem skupina zavedl Évariste Galois v roce 1831, aby studoval problém rozpustnosti polynomiálních rovnic . Je to stejná představa, kterou Klein používá k pochopení geometrie, ale ve zcela jiném kontextu. V programu Erlangen, geometrie je popisován jako působením skupiny G na nastavenou X . Je to méně definice než hledání estetiky. V této souvislosti, definujeme geometrický objekt na místo bodů X neměnný izotropní podskupina G . To může být zajímavé i pro třídy objektů levé invariantní indukovanou působení G , který pak tvoří novou oblast, na které působí G , a potom se pokusí klasifikovat tyto objekty pro poskytování skupiny G . Můžeme také vzít podskupinu G a porovnat dvě získané geometrie.

Zde jsou příklady, které ilustrují tyto principy, přičemž zůstávají v rámci rovinné geometrie. Uvažujme euklidovské roviny X a tří skupin: do afinní skupina z X skupina isometries z X a skupina podobnosti afinní X . Tyto skupiny fungují přechodně na X a definují tři geometrie.

V prvním příkladu, máme zájem párů různých bodů X (nebo v segmentech z X ). Afinní skupina a skupina podobností fungují přechodně na množině těchto párů a není tedy nutné je pro tyto skupiny klasifikovat. U skupiny izometrií umožňuje jejich klasifikaci vzájemná vzdálenost bodů páru.
Ve druhém příkladu, máme zájem trojúhelníky z X . Afinní skupina funguje přechodně na množině trojúhelníků a není třeba je klasifikovat. Pro skupinu afinních podobností, co umožňuje klasifikaci trojúhelníků, jsou to úhly trojúhelníků (případ podobností trojúhelníků). Pro skupinu izometrií, co umožňuje klasifikaci trojúhelníků, jsou to délky stran (případ rovnosti trojúhelníků).
Afinní skupina X působí přechodně na množinu protínajících se přímek . Pro skupinu izometrií (nebo afinních podobností) můžeme provést klasifikaci pomocí úhlu úseček (jedná se o reálné číslo).

Můžeme také vzít v úvahu dvojice paralelních linií X a potom afinní skupina a skupina afinních podobností fungují přechodně na této množině a vzdálenost mezi liniemi se použije pro jejich klasifikaci pro skupinu izometrií. Z hlediska projektivní geometrie, vezmeme-li v projektivní dokončení P z X (jedná se o projektivní rovina ), pak linie X stávají linie P , a pak se dva typy párů řad X jsou korespondence v X pro projektivní skupinu P , a tato skupina funguje přechodně na dvojicích odlišných linií P (dvě linie P jsou nutně sekanční, a proto v P nejsou žádné odlišné paralelní linie ).

K správné kuželosečky z X, jsou rozděleny do tří drah pro afinní skupinou: elipsy ( včetně kruhů ), hyperbolas a paraboly . Pro skupinu afinních podobností X tvoří tyto vlastní kuželosečky třídy X invariantní objekty klasifikované podle jejich výstřednosti . Pro skupinu izometrií X umožňuje „normalizovaná rovnice“ klasifikaci.

Z hlediska projektivní geometrie, vezmeme-li v projektivní dokončení P z X (jedná se o projektivní rovina), pak se projektivní skupina P působí přechodně na správných kuželoseček z P , zatímco stopy na X těchto kónické P jsou přesně vlastní kónické X : a přidáním čáry v nekonečnu X již nelze kónické X rozlišit .

V praxi jsou skupinami, které zasahují do geometrií XIX . Století, klasické skupiny , tj. Podskupiny lineárních skupin , a podskupiny afinních skupin a projektivních skupin s nimi spojených. Tyto skupiny jsou v geometrii stále široce používány. $GL_ {n} (\ mathbb {R})$

Druhou předností programu Erlangen je objasnění zvláštností každého typu geometrie. Například projektivní geometrie bere v úvahu zarovnání kuželoseček , ale ne kružnic , úhlů a vzdáleností, protože tyto pojmy nejsou projektivními transformacemi neměnné (stačí si je představit v perspektivě, abychom tomu porozuměli.). Z pohledu tohoto programu se pochopení souvislosti mezi různými typy geometrie potom rovná úvahám o podskupinách skupiny symetrií.

Podle Bourbakiho by klasická geometrie zemřela jako pole výzkumu, protože s jasností získanou klasifikací výsledků geometrií prostoru pomocí skupin, do kterých patří, a zejména od pokroku teorie invarianty , výsledky klasické geometrie lze získat téměř automaticky a systematicky. Zůstává však vidět, v jakém jazyce budou tyto výsledky nejjednodušší a nejelegantnější: „Klasická geometrie, překonaná jako autonomní a živá věda, byla proměněna na univerzální jazyk současné matematiky, pružný a nesrovnatelný. "

Různé geometrie ve světle programu Erlangen

Tato tabulka ukazuje korespondenci mezi hlavními geometrií zavedených v XIX th století a skupinových akcí:

Geometrie	Prostor	Skupina	Invarianty
Rafinovaný	Afinní prostor $\ mathbb {R} ^ {n}$	$GA ({\ mathbb {R}} ^ {n}) \ simeq {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rtimes GL_ {n} ({\ mathbb {R}})$ skupina afinních izomorfismů $\ mathbb {R} ^ {n}$	Afinní podprostory
Euklidovský	Euklidovský prostor ${\ mathbb {R}} ^ {n}, např$	$Isom ({\ mathbb {R}} ^ {n}) = {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rtimes O_ {n} ({\ mathbb {R}})$ skupina afinních izometrií $\ mathbb {R} ^ {n}$	Afinní podprostory, koule
Sférické	Euklidovská sféra $S ^ {n}$	$O _ {{n + 1}} ({\ mathbb {R}})$ : ortogonální skupina	Velké kruhy
Projektivní	Skutečné projektivní prostory $P_ {n} {\ mathbb {R}}$	$PG_ {n} {\ mathbb {R}}$ : projektivní skupina	Projektivní podprostor
Eliptický	Skutečný projektivní prostor $P_ {n} {\ mathbb {R}}$	$PO _ {{n + 1}} ({\ mathbb {R}}) = O _ {{n + 1}} ({\ mathbb {R}}) / ({\ mathbb {Z}} / 2 {\ mathbb {Z}})$ : ortogonální projektivní skupina	Projektivní podprostory

Jedna z Kleinových základních myšlenek spočívá v ponoření různých geometrií do projektivní geometrie: opravíme postavu projektivního prostoru a odvozíme od této postavy nebo od postavy s ní spojené skupinu projektivních transformací, které zůstávají stabilní. Poté hledáme invarianty a veličiny, které nám umožňují je klasifikovat podle činnosti skupiny. Získá se tímto způsobem hlavní konvenční geometrie: na afinní geometrie je euklidovská geometrie je sférická geometrie na eliptické geometrie je hyperbolické geometrie a konformní geometrie (v) . Protože projektivní geometrie může být založena na lineární algebře, všechny tyto geometrie přijímají modely založené na lineární algebře. Lineární algebra je navíc mocným teoretickým nástrojem pro studium těchto geometrií.

Hlavní geometrie jsou zde interpretovány jako subgeometrie projektivní (nebo afinní) geometrie.

Afinní geometrii lze získat pomocí projektivní geometrie následujícím způsobem: vezmeme projektivní prostor P indukovaný skutečným vektorovým prostorem E konečné dimenze ( například) a opravíme nadrovinu L z P ( například) a vezmeme stabilizátor G z L pro projektivní skupinu P (která indukuje lineární skupinou E ). Poté je doplněk L v P identifikován se skutečným afinním prostorem dimenze n ( v příkladu) a skupinou transformací vyvolaných v tomto afinním prostoru je jeho afinní skupina (afinní skupina v příkladu). Ve skutečnosti jsme provedli obrácenou operaci projektivního dokončení afinního prostoru, která spočívá v ponoření afinního prostoru do projektivního prostoru a v ponoření jeho afinní skupiny do projektivní skupiny. Afinní geometrie je tedy subgeometrií projektivní geometrie. To vše funguje, pokud pole reálných čísel nahradíme polem komplexních čísel (nebo komutativním polem). $P_ {n} R$ $P _ {{n-1}} R$ $R ^ {n}$ $R ^ {n}$
Můžeme interpretovat euklidovskou geometrii s její skupinou podobností z hlediska projektivní geometrie (je to abstraktnější). Existuje něco, co se nazývá „imaginární kvadricie“: čtvercová norma definuje skutečný homogenní polynom stupně 2 a nahrazením skutečných souřadnic komplexními souřadnicemi získáme komplexní homogenní polynom stupně 2 (stejné rovnice, ale ve složitých proměnných). Body komplexu projektivní prostoru, které ruší tento polynom je projektivní quadric z (projektivní kuželovou, pokud n = 2 a dva body, pokud n = 2). Je to imaginární kvadrik . V předchozím příkladu afinní geometrie jsme viděli, že afinní skupina je identifikována s podskupinou projektivní skupiny . Skupina afinních podobností je podskupinou projektivní skupiny (nebo afinní skupiny) transformací, které ponechávají imaginární kvadrickou stabilní (skutečné souřadnice nahradíme komplexními souřadnicemi a vše zde má význam). Podobná euklidovská geometrie je tedy subgeometrií projektivní geometrie. $P _ {{n-1}} R$ $R ^ {n}$ $R ^ {n}$ $C ^ {n}$ $P _ {{n-1}} C$ $P _ {{n-1}} C$ $P _ {{n-1}} R$ $R ^ {n}$ $P_ {n} R$ $R ^ {n}$
Můžeme poskytnout další interpretaci eliptické geometrie. K tomu vezmeme imaginární kvadricu z předchozího příkladu ( zvětšíme dimenzi o 1). Potom je ortogonální projektivní skupina podskupinou projektivní skupiny, která ponechává imaginární kvadrik stabilní. Říkáme, že tato imaginární kvadrika je absolutní eliptického prostoru . Můžeme tedy říci, že nadrovina v nekonečnu euklidovského prostoru je eliptický prostor. Vzdálenost eliptického prostoru lze vyjádřit pomocí imaginárních kvadrických a křížových poměrů . $P_ {n} R$ $P_ {n} R$ $P_ {n} R$ $P_ {n} R$
Sférickou geometrii lze získat z afinní geometrie následujícím způsobem. Opravili jsme jednotkovou sféru S z . Potom ortogonální skupina je skupina afinních (nebo lineárních) transformací, které ponechávají S stabilní, a pak skupina izometrií S je skupina transformací S indukovaných ortogonální skupinou. $R ^ {n}$ $R ^ {n}$
Lze interpretovat hyperbolickou geometrii z hlediska projektivní geometrie. Bereme jako prostor hyperbolický prostor jako vnitřní H o s oválným quadric Q skutečného projektivní prostoru P dimenze n (vnitřku projektivní kuželosečky skutečného projektivní rovině, například) a jejichž skupina je skupina transformací z H získané omezením, H z prvků podskupiny projektivní skupiny P , které opouštějí H stabilní (získáme skupinu isometries hyperbolického prostoru H ). Říká se, že oválný quadric Q je absolutní hyperbolické prostor H . Je to Kleinův projektivní model hyperbolické geometrie. Můžeme vyjádřit vzdálenost hyperbolického prostoru pomocí Q a křížových poměrů s.
K dispozici je také geometrie Möbius (nebo konzistentní geometrie (in) ). Vycházíme ze stejného projektivního prostoru P a ze stejného kvadrického Q jako v případě hyperbolické geometrie. Bereme jako prostor oválného quadric Q a P , a bereme jako skupina skupina transformací Q získá omezení na Q prvky projektivní skupiny P , které zanechávají Q stabilní .
Prostor Möbiovy geometrie s její skupinou je v zásadě ekvivalentní (je-li n větší než 3) s euklidovskou sférou, která jako skupina není svou skupinou izometrií ( ortogonální skupina je vidět výše), ale skupinou, která jej obsahuje. je jeho konformní skupina (en) , nebo skupina Möbiových transformací , to znamená transformace koule, které posílají kruhy na kruhy (nebo opět skupina difeomorfismů této sféry, která zachovává úhly křivek nakreslených na této sféře). Abychom to viděli, stačí vidět, že projektivní dokončení euklidovské koule je oválný kvadrik projektivního prostoru (v euklidovské sféře nejsou žádné body v nekonečnu).
Prostor Möbius geometrie s jeho skupiny je také v podstatě ekvivalentní prostoru dosaženo přídavkem bodu v nekonečnu na euklidovském prostoru X ( compactified zvuk z Alexandrov ) a s ohledem na skupinu transformací vytvářených odrazy z X vzhledem k afinní nadrovin z X a od inverzních situací v X s ohledem na X sfér . Abychom to viděli, stačí se vrátit do euklidovské sféry pomocí stereografické projekce . Poté stabilizátor bodu v nekonečnu X pro tuto skupinu indukuje na X skupinu afinních podobností X a poté získáme euklidovskou podobnou geometrii.

Chcete-li zahrnout větší třídu objektů, je žádoucí rozšířit definici invariantů. Může být zajímavé zaměřit studii na sady částí globálně invariantních vyvolaným působením skupiny. Oválné kvadriky (neboli vlastní kuželosečky) tedy tvoří soubor částí skutečného projektivního prostoru (nebo skutečné projektivní roviny) invariantních projektivní skupinou.

Je třeba poznamenat, že dva typy geometrie mohou odpovídat izomorfním skupinám, aniž by byly geometrie ekvivalentní. Zde jsou dva příklady.

S geometrií orientované koule a s projektivním prostorem je spojena v sudé dimenzi stejná skupina, viz . Nicméně tyto geometrie mají být porovnány: dnes můžeme říci, že je univerzální potah z , povlak se dvěma listy. $SO _ {{n + 1}} (R)$ $S ^ {n}$ $P_ {n} R$
Podobně jsou skupiny hyperbolické geometrie a konformní geometrie izomorfní (jsou indukovány stejnou podskupinou projektivní skupiny), ale prostory nejsou izomorfní: hyperbolický prostor je homeomorfní s afinním euklidovským prostorem (tedy není kompaktní ), zatímco prostor konformní geometrie je homeomorfní s euklidovskou sférou (tedy kompaktní). Mezi těmito geometriemi však existuje souvislost: konformní geometrie je absolutní hyperbolická geometrie.

Vliv na moderní geometrii

Dopad programu Erlangen je zcela mimo vizi Felixe Kleina. Nalezne se skrytý při každém použití skupin v geometrii. Je zřejmé, že program Erlangen nemohly odpovídat nové geometrické struktury se vyskytly během XX th století: rozdíl potrubí , algebraické odrůda ... ale stopa je stále přítomen.

V diferenciální geometrii je homogenní prostor diferenciální potrubí X, na které přechodně působí Lieova skupina . Homogenní prostory hrají ústřední roli, zejména v Riemannově geometrii . Klasifikace symetrických prostorů je založena na geometrii homogenních prostorů (mezi symetrickými prostory najdeme euklidovské prostory, euklidovské koule, eliptické prostory a hyperbolické prostoryHyperbolický prostor ).
Základní skupina z topologického prostoru X působí na jakýkoli povlak Y na X . Tato akce je ústřední v teorii povlaků. Umožňuje například klasifikaci povlaků až po izomorfismus.
Rozdíl potrubí je topologický prostor získaný lepením otvory R n o difeomorfismus , takže je možné provést diferenciálního počtu . Možná ale budeme chtít omezit údaje o slučování. Lepením otvorů R n afinními izometriemi (resp. Afinními symplektickými mapováními, resp. Afinními mapováními) získáme přesně ploché Riemannovy varieté (resp. Symplektické varietá , resp. Varietá vybavené spojením nulového zakřivení). Omezením skupin obohatíme geometrickou strukturu. Získáváme teorii pseudoskupin (en) transformací.
Když vezmeme v úvahu tečné prostory diferenciálního potrubí X dimenze n všech základen, získá se prostor, který se nazývá svazek referenčních rámců X, a na tomto novém prostoru působí skutečná lineární skupina stupně n . Obohacením odrůdy X strukturou, která splňuje určité vlastnosti ( G-struktury (v) , například Riemannova metrika ), považujeme referenční rámce přizpůsobené této struktuře (například ortonormální referenční rámce) a poté podskupina odpovídající lineární skupiny (v tomto příkladu ortogonální skupina) pracuje na tomto novém souřadnicovém systému obecně netranzitivním způsobem. Naopak, vezmeme-li v úvahu Lieovu podskupinu lineární skupiny (například ortogonální skupinu), můžeme určit struktury na potrubí, které tuto skupinu připouští jako strukturní skupinu (všechny Riemannovy metriky v tomto příkladu). Byl to Élie Cartan, kdo představil tyto koncepty, a díky teorii spojení dokázal sladit Erlangenův program s Riemannovou geometrií Bernharda Riemanna .

Poznámky a odkazy

(De) Felix Klein , „Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen“ , Gesammelte mathematische Abhandlungen , sv. i ( číst online ) , s. 460-497
Lizhen Ji a Athanase Papadopoulos (eds), Sophus Lie a Felix Klein: Program Erlangen a jeho dopady v matematice a fyzice , Curych, nakladatelství European Mathematical Society Publisher, kol. "IRMA přednášky matematiky a teoretické fyziky" ( n o 23),2015.
N. Bourbaki , Elements of mathematics , Algebra , 1959, kap. 9, Historické poznámky