Podobenství

Parabola je rovina křivka , symetrická kolem osy, přibližně ve tvaru písmene U.

Lze jej matematicky definovat několika ekvivalentními způsoby. Nejčastěji je parabola definována jako rovinná křivka, jejíž každý z bodů je umístěn ve stejné vzdálenosti od pevného bodu, ohniska a od pevné čáry, directrix . Můžeme jej však také definovat jako průsečík roviny s kuželem otáčení, když je rovina rovnoběžná s jinou rovinou tečnou k povrchu kužele.

Jeho jméno, podobenství (juxtapozice, podobnost), dal mu Apollonius z Perge a ve své konstrukci zaznamenal rovnost plochy mezi obdélníkem a čtvercem.

Jedná se o typ algebraické křivky , jejíž mnohé geometrické vlastnosti mají zainteresované matematici od starověku a získaly různé technické aplikace v optice , telekomunikace ,  atd.

Kónický řez

Paraboly patří do rodiny kuželoseček , to znamená křivek získaných průsečíkem rotačního kužele s rovinou; v tomto případě se parabola získá, když je rovina rovnoběžná s jednou z generatric kužele a kolmá k druhé rovině, která obsahuje stejnou generatrix a osu kužele.

Režisér, zaměření a výstřednost

Nechť D rovný a F bod nepatří do D , a je letadlo přes přímky D a bodem F . Parabolu s přímkou D a ohniskem F nazýváme množinou bodů v rovině ve stejné vzdálenosti od ohniska F a od přímky D , to znamená ověřování: P{\ displaystyle P} M{\ displaystyle M}P{\ displaystyle P}

d(M,F)=d(M,D){\ displaystyle d (M, F) = d (M, D)}

který měří vzdálenost od bodu M na bod F a měří vzdálenost od bodu M na pravé D . Parabola je kuželovitý tvar, jehož výstřednost je 1. d(M,F){\ displaystyle d (M, F)}d(M,D){\ displaystyle d (M, D)}E{\ displaystyle e}

Nastavení

V jeho Conics , Apollonius Perge vykazuje parametr umožňující charakterizovat body paraboly pomocí rovnost čtverce a obdélníku pevné výšce, odpovídající dvojnásobek toho, co je v současné době nazývá parametr p kónická. Pokud S je vrchol paraboly s osou (S, x), M bod paraboly, N se promítá na osu paraboly, pak se plocha čtverce se stranou MN rovná ploše obdélník rozměrů SN a 2p. Všimněte si, že v případě hyperboly je plocha čtverce větší než plocha obdélníku a že v případě elipsy je tato oblast menší, je to on, kdo pojmenuje tyto tři křivky: parabola (juxtapozice, podobnost) v případě rovnosti, hyperbola (aplikovaná s přebytkem) v případě, že čtverec je větší než obdélník a elipsa (aplikovaná s výchozím nastavením) v případě, že čtverec je menší než obdélník

Rovnice

Z domova a režiséra

Pokud je parabola dána jejím zaměřením F a její přímkou , nazýváme K ortogonální projekcí F na , nazýváme p (parametr paraboly) vzdálenost FK a nazýváme S středem [ FK ] . Pak v ortonormálním souřadnicovém systému, kde má stejný směr a význam jako , je rovnice paraboly D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}(S,i→,j→){\ displaystyle (S, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}K.F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {KF}}}

y=X22p{\ displaystyle y = {\ frac {x ^ {2}} {2p}}}

Z kvadratické funkce

Reprezentativní křivka kvadratické polynomické funkce rovnice

y=naX2+bX+vs.{\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}

kde , b a c jsou reálné konstanty nenulová), je parabola. V případě a = 1 , b = c = 0 , dostaneme jednoduchý výraz pro parabolu

y=X2{\ displaystyle y = x ^ {2}}.

V souřadnicovém systému , jehož vrchol S paraboly je souřadnice bodu . Jeho osou symetrie je osa . (Ó,i→,j→){\ displaystyle (O, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}(-b2na,-b2-4navs.4na){\ displaystyle \ left (- {\ tfrac {b} {2a}}, - {\ tfrac {b ^ {2} -4ac} {4a}} \ right)}(Sj→){\ displaystyle (S {\ vec {j}})}

V rámci je jeho rovnice(S,i→,j→){\ displaystyle (S, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})} Y=naX2,{\ displaystyle Y = aX ^ {2},}Jeho ohnisko je bod a jeho přímka je rovnice rovnice . F(0;14na){\ displaystyle F \ left (0; {\ tfrac {1} {4a}} \ right)}D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}Y=-14na{\ displaystyle Y = - {\ frac {1} {4a}}}

V souřadnicovém systému má proto kontaktní bod souřadnice a directrix rovnice kde . (Ó,i→,j→){\ displaystyle (O, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}(-b2na,1-Δ4na){\ displaystyle \ left (- {{frac {b} {2a}}, {\ frac {1- \ Delta} {4a}} \ right)}y=-1+Δ4na{\ displaystyle y = - {\ frac {1+ \ Delta} {4a}}}Δ=b2-4navs.{\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac}

Demonstrace

V rámci uvažujeme (S,i→,j→){\ displaystyle (S, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}

F(0;14na){\ displaystyle F \ left (0; {\ tfrac {1} {4a}} \ right)} D:Y=-14na{\ displaystyle {\ mathcal {D}}: Y = - {\ frac {1} {4a}}}.

Nechť M ( X , Y ) , vypočítáme přímo vzdálenost d od bodu M k přímce  : D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}

d=|Y+14na|{\ displaystyle \ mathrm {d} = \ vlevo | Y + {\ frac {1} {4a}} \ vpravo |}

Poté vypočítáme vzdálenost d '= FM  :

d′=(Y-14na)2+X2{\ displaystyle \ mathrm {d} '= {\ sqrt {\ vlevo (Y - {\ frac {1} {4a}} \ vpravo) ^ {2} + X ^ {2}}}}.

Interpretujeme podmínku d = d ' ekvivalencí

d=d′⟺d2=d′2⟺(Y+14na)2=(Y-14na)2+X2{\ displaystyle \ mathrm {d} = \ mathrm {d} '\ Longleftrightarrow \ mathrm {d} ^ {2} = \ mathrm {d}' ^ {2} \ Longleftrightarrow \ left (Y + {\ frac {1} {4a}} \ right) ^ {2} = \ left (Y - {\ frac {1} {4a}} \ right) ^ {2} + X ^ {2}} d=d′⟺Yna=X2⟺Y=naX2{\ displaystyle \ mathrm {d} = \ mathrm {d} '\ Longleftrightarrow {\ dfrac {Y} {a}} = X ^ {2} \ Longleftrightarrow Y = aX ^ {2}}

proto

d=d′⟺M∈P:Y=naX2{\ displaystyle \ mathrm {d} = \ mathrm {d} '\ Longleftrightarrow M \ v {\ mathcal {P}}: Y = aX ^ {2}}.

Z obecné rovnice

Nechte rovnici Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 v ortonormálním souřadném systému. Pokud B 2 - AC = 0, pak tato rovnice je rovnice paraboly nebo dvou paralelních linií.

Naopak, pokud (C) je parabola, pak má v jakémkoli ortonormálním souřadném systému rovnici předchozí formy.

Nechte rovnici Ax 2 + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 v ortonormálním souřadném systému. Pokud AC = 0 s AE nebo DC není nula, pak tato rovnice je rovnice paraboly, jejíž osa je rovnoběžná s jednou z os referenčního rámce.

Polární rovnice

Vezmeme-li jako pól ohniskový bod F paraboly a jako polární osu ohniskovou osu směřující k directrixu, promítnutím na osu, přijde r + r cos ( θ ) = p .

Dedukujeme, že polární rovnice paraboly spočívá v tom, že rozpoznáme jako konkrétní případ kuželosečky excentricity e = 1. r→=FP→=p1+cos⁡(θ)E→θ{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} = {\ overrightarrow {FP}} = {\ frac {p} {1+ \ cos (\ theta)}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}

Parametrizace

V kartézském souřadnicovém systému, kde S je bod umístěný uprostřed segmentu tvořeného fokusem F a jeho projekcí K na přímku a kde je jednotkový vektor orientovaný od S do F , můžeme uvažovat o několika parametrizacích paraboly : (S,i→,j→){\ displaystyle (S, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}

1. Kartézská parametrizace úsečkou :, pro všechnySP→(X)=Xi→+X22pj→{\ displaystyle {\ overrightarrow {SP}} (x) = x {\ vec {i}} + {\ frac {x ^ {2}} {2p}} {\ vec {j}}}X∈R{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}
2. Kartézská parametrizace souřadnicí :, pro všechnySP→(y)=(±2py)i→+yj→{\ displaystyle {\ overrightarrow {SP}} (y) = (\ pm {\ sqrt {2py}}) {\ vec {i}} + y {\ vec {j}}}y∈R+{\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {+}}
3. Kartézská parametrizace, každá v závislosti na libovolné konstantě a > 0 :, pro všechnySP→(t)=2pnati→+2pna2t2j→=2pna(ti→+nat2j→){\ displaystyle {\ overrightarrow {SP}} (t) = 2pat {\ vec {i}} + 2pa ^ {2} t ^ {2} {\ vec {j}} = 2pa (t {\ vec {i} } + v ^ {2} {\ vec {j}})}t∈R{\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}

(Pro = 1 / (2 p ), najdeme parametrizaci o vodorovné ose). Tyto parametrizace jsou pravidelné ( tj vektor odvozený nezmizí). Vektor (1, 2 v ) poté směruje tečnu v bodě s parametrem t .

Některé geometrické vlastnosti paraboly

Paralelní struny

Všechny řetězce paraboly rovnoběžné se stejnou přímkou D ' mají svůj střed umístěný na stejné přímce D rovnoběžně s osou: jedná se o průměr ve vztahu ke směru D' . Dvě tečny k paraboly na koncích tohoto kabelu se protínají v D . Tangenta k paralelnímu podobenství v D " má svůj styčný bod na D .

Tečna a půlení

Pokud A je bod na parabole definovaný ohniskem F a přímkou ​​(d), pak tečna paraboly na A je vnitřní půlící úhel úhlu tvořeného F , A a ortogonální projekce A na (d) .

D

Tato vlastnost vysvětluje princip parabolických zrcadel: úhel vytvořený přímkami (AF) a (b) se rovná úhlu vytvořenému přímkami (AH) a (b), proto jsou čáry (AH) a (AF) symetrické ve srovnání s tečna, stejně jako ve srovnání s normální k tečně. V optice to znamená, že paprsek vycházející z F a dopadajícího A prochází směrovým zrcadlovým odrazem (AH), protože podle zákona Snell-Descartes se úhel dopadu rovná úhlu odrazu. Takže všechny paprsky přicházející z F se odrážejí ve stejném směru, kolmém na (d).

Majetek týkající se ortoptiky

Nechť M a M 'jsou průsečíky přímek procházejících ohniskem paraboly s parabolou. Dvě tečny paraboly procházející M a M 'se protínají na přímce a tvoří mezi nimi pravý úhel. Navíc, pokud H a H nazýváme „ příslušné projekce M a M“ na přímku a O průsečík dvou tečen a přímky, pak O je střed [ HH ' ] .

Při pohybu podél jeho přímky je parabola vždy vidět v pravém úhlu.

Demonstrace

Označíme O průsečík dvou tečen. Pro jednodušší zápis úhlů označíme

α=FMÓ^{\ displaystyle \ alpha = {\ widehat {FMO}}}a .β=FM′Ó^{\ displaystyle \ beta = {\ widehat {FM'O}}}

Podle výše uvedené korelace mezi tangensem a bisectorem máme:

FMH^=2α{\ displaystyle {\ widehat {FMH}} = 2 \ alpha} FM′H′^=2β{\ displaystyle {\ widehat {FM'H '}} = 2 \ beta}

Protože úsečky (HM) a (H'M ') jsou rovnoběžné, jsou dva předchozí úhly, zkrácené o (MM') na těchto úsecích, další. Takže máme:

2β+2α=π⇔β+α=π2{\ displaystyle 2 \ beta +2 \ alpha = \ pi \ šipka vlevo \ beta + \ alpha = {\ frac {\ pi} {2}}}

Dedukujeme přímo ze součtu úhlů trojúhelníku:

MÓM′^=π-(α+β)=π2{\ displaystyle {\ widehat {MOM '}} = \ pi - \ left (\ alpha + \ beta \ right) = {\ frac {\ pi} {2}}}

Říkáme P průsečík kolmice na ( MM ' ) procházející F s přímkou. Trojúhelníky FMP a HMP jsou stejné, protože FM = HM, proto je bod P na půle úhlu FMH, je tedy na tečně procházející M  ; podobně je bod P na tečně procházející M ' . Bod P je tedy také bodem O průsečíku dvou tečen, který je tedy dobře na přímce.

Tyto dvě tečny se proto protínají v pravém úhlu na přímce.

Nakonec rovnosti FP = HP a FP = H'P dokazují, že P proto O je středem [ HH ' ] .  

Vzetím dvou kolmých tečen pro osy získá rovnice pozoruhodnou podobu: Xna+yb-1=0{\ displaystyle {\ sqrt {{x} \ nad {a}}} + {\ sqrt {y \ nad b}} - 1 = 0}

kde ( a , 0) a (0, b ) jsou nové souřadnice kontaktních bodů.

Konstantní sub-normální

Z bodu M křivky vede jedna normála, která protíná osu Δ v N , tj. H ortogonální průmět M na Δ . Hodnota HN se nazývá subnormální. Ukážeme, že připouští jako konstantní hodnotu p parametr paraboly.

Demonstrace

Sklon dotyčné bytosti , který dává pravý trojúhelník MHN . y′=opálení⁡θ{\ displaystyle y '= \ tan \ theta}HNE¯=PH×opálení⁡θ=yy′{\ displaystyle {\ overline {HN}} = PH \ krát \ tan \ theta = yy '}

Pokud však odvodíme s ohledem na x rovnici paraboly y 2 - 2 px = 0 , získáme přesně yy '= p .

Aplikace

Balistický

Parabola je trajektorie popsal objekt, který je spuštěn, pokud můžeme zanedbat zakřivení Země , na tření vzduchu (větru, zpomalení předmětu její aerodynamický odpor) a variace gravitace s výškou.

Torricelli v roce 1640 prokázal , že obálka těchto trajektorií je sama o sobě parabolou: parabolou bezpečnosti .

V praxi se však trajektorie předmětu vymrštěného do vzduchu (sportovní míč, střela z pušky, skořápka) velmi liší od paraboly, a to díky atmosférickému odporu, což značně komplikuje výpočty balistů. Zvláštním případem je křivka popsaná vodním paprskem (obrázek naproti), protože pokud je tento vodní paprsek zcela pravidelný, pouze atmosférické třecí síly zpomalují stěny paprsku (nedochází k žádnému tlakovému odporu): třecí odpor má řádově mnohem nižší než tlakový odpor (tento tlakový odpor je na druhou stranu velmi silný u projektilů, jako jsou sportovní míče).

Hertzianovy, akustické a světelné vlny

Tím, metonymie , je parabola určí parabolickou anténu . Jedná se přesněji o aplikaci vlastností povrchu zvanou paraboloid revoluce .

Paraboloidy umožňují soustředění vln nebo paprsků na bod, který je středem paraboly. Tuto vlastnost využívají parabolické antény ke koncentraci elektromagnetické vlny , parabolický reflektor spojený s mikrofonem ke koncentraci akustických vln nebo dokonce některé solární pece ke koncentraci slunečního záření .

Naopak mohou také difundovat ve formě válcového paprsku světlo produkované lampou v ohnisku paraboly. Tuto vlastnost provozuje světlomet a maják .

Část válce s parabolickou částí také umožňuje soustředit světlo na přímku, například v solárních koncentrátorech.

Reference

1. Vitrac , rámeček 5: Kuželosečky podle Apollónia .
2. Árpád Szabó, Úsvit řecké matematiky , Vrin,2000( číst online ) , s.  223.
3. Animovaná ilustrace s GeoGebrou .
4. Tuto podmínku lze snadno respektovat, protože gravitační pole se s výškou na naší planetě mění velmi málo (samotné satelity obíhající v gravitačním poli se příliš neliší od stavu existujícího na povrchu Země).

Podívejte se také

Související články

• Kuželovitý
  • Hyperbola
  • Elipsa
• Semicubique parabola  (v)

externí odkazy

• Xavier Hubaut, „Belgické“ věty - Conicsova a Dandelinova věta
• Xavier Hubaut, spuštění závaží - bezpečnostní parabola
• Bernard Vitrac, „  Geometři starověku - 8 Apollonius z Perge a tradice kuželoseček  “ , o cultureMATH (zdroje pro učitele matematiky, stránky odborníků vyšších normálních škol a ministerstvo národního školství )
• Parabola , na webu MathCurve.

Bibliografie

• Jean-Denis Eiden, Classical analytical geometry , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN  978-2-91-635208-4 ) .
• Jean Fresnel, Moderní metody v geometrii .
• Bruno Ingrao, Affine, Euclidean and Projective Conics , C&M ( ISBN  978-2-916352-12-1 ) .