Gaussova redukce
V algebře , snížení Gaussian je algoritmus , který umožňuje psát nějaký kvadratické formy jako lineární kombinace čtverců lineárně nezávislých lineárních forem (kvadratická forma je homogenní polynom stupně 2 s libovolným počtem proměnných , lineární forma je lineární kombinací těchto proměnných).
Použitá metoda je blízká kanonickému tvaru kvadratické rovnice . Tento algoritmus je pojmenován na počest matematika Carla Friedricha Gaussa .
Případ dvou proměnných
Je
q(X,y)=naX2+bXy+vs.y2{\ displaystyle q (x, y) = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}}
takový polynom, předpokládaný jako neidenticky nulový. Pokud koeficient a není nula, pokračujeme vyplněním čtverce :
q(X,y)=na(X2+bnaXy)+vs.y2=na(X+b2nay)2+(4navs.-b24na)y2{\ displaystyle q (x, y) = a \ left (x ^ {2} + {\ tfrac {b} {a}} xy \ right) + cy ^ {2} = a \ left (x + {\ tfrac {b} {2a}} y \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {4ac-b ^ {2}} {4a}} \ right) y ^ {2}}
Pokud a je nula a c není nula, postupujeme stejně jako u c . Pokud a c jsou oba nula, můžeme si všimnout, že
bXy=b4((X+y)2-(X-y)2).{\ displaystyle bxy = {\ tfrac {b} {4}} \ vlevo ((x + y) ^ {2} - (xy) ^ {2} \ vpravo).}
Obecný případ
Budeme ukazují silná indukce na n , že pro každý kvadratické formy Q s n proměnných, existuje n lineární kombinace l i z proměnných (jinými slovy n lineárních forem), které jsou lineárně nezávislé a n čísla c i tak, že
q=∑i=1nevs.ili2{\ displaystyle q = \ suma _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} l_ {i} ^ {2}}.
Pokud n = 0 , není co dokazovat.
Nyní předpokládejme n > 0 . Pokud je q nula, odpovídá c i = 0 , například ( l ) l i ( x ) = x i . Předpokládejme tedy, že q není nula a zapiš to ve tvaru:
q(X1,...,Xne)=∑i≤nenaiiXi2+2∑1≤i<j≤nenaijXiXj{\ displaystyle q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ součet _ {i \ leq n} a_ {ii} x_ {i} ^ {2} +2 \ součet _ {1 \ leq i <j \ leq n} a_ {ij} x_ {i} x_ {j}}.
Jsou dva případy.
1) Jeden z koeficientů čtvercových členů je nenulový.
naii{\ displaystyle a_ {ii}}
Můžeme to předpokládat, i když to znamená permutovat základní vektory . Podmínky, kde se vyskytují, píšeme samostatně :
na11≠0{\ displaystyle a_ {11} \ neq 0}X1{\ displaystyle x_ {1}}
q(X)=na11X12+2∑i=2nena1iX1Xi+∑2≤i,j≤nenaijXiXj{\ displaystyle q (x) = a_ {11} x_ {1} ^ {2} +2 \ součet _ {i = 2} ^ {n} a_ {1i} x_ {1} x_ {i} + \ součet _ {2 \ leq i, j \ leq n} a_ {ij} x_ {i} x_ {j}}.
Píšeme je v kanonické podobě:
na11X12+2∑i=2nena1iX1Xi=na11(X1+∑i=2nena1ina11Xi)2-1na11(∑i=2nena1iXi)2{\ displaystyle a_ {11} x_ {1} ^ {2} +2 \ sum _ {i = 2} ^ {n} a_ {1i} x_ {1} x_ {i} = a_ {11} \ vlevo (x_ {1} + \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ frac {a_ {1i}} {a_ {11}}} x_ {i} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {a_ {11}}} \ left (\ sum _ {i = 2} ^ {n} a_ {1i} x_ {i} \ right) ^ {2}}.
To tedy získáváme
q(X)=na11(X1+∑i=2nena1ina11Xi)2+q′(X)=vs.1l12(X)+q′(X){\ displaystyle q (x) = a_ {11} \ left (x_ {1} + \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ frac {a_ {1i}} {a_ {11}}} x_ { i} \ vpravo) ^ {2} + q ^ {\ prime} (x) = c_ {1} l_ {1} ^ {2} (x) + q ^ {\ prime} (x)},
nebo
-
vs.1=na11{\ displaystyle c_ {1} = a_ {11}}a ;l1(X)=X1+∑i=2nena1ina11Xi{\ displaystyle l_ {1} (x) = x_ {1} + \ součet _ {i = 2} ^ {n} {\ frac {a_ {1i}} {a_ {11}}} x_ {i}}
-
q′{\ displaystyle q ^ {\ prime}}je homogenní polynom stupně 2 vzhledem k .X2,...Xne{\ displaystyle x_ {2}, \ ldots x_ {n}}
Indukční hypotéza nám to říká
q′=∑i=2nevs.ili2{\ displaystyle q ^ {\ prime} = \ součet _ {i = 2} ^ {n} c_ {i} l_ {i} ^ {2}},
kde jsou lineární kombinace , nezávislé. Souřadnice se neobjevují v jejich psaní a objevují se v textu . Výsledkem je, že tvary jsou stále nezávislé, proto výsledek.
l2,...,lne{\ displaystyle l_ {2}, \ tečky, l_ {n}}X2,...,Xne{\ displaystyle x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}l1{\ displaystyle l_ {1}}(li)1≤i≤ne{\ displaystyle (l_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n}}
2) Všechny jsou nulové.
naii{\ displaystyle a_ {ii}}
Vzhledem k tomu, že q je považováno za nenulové, existují různá celá čísla i a j taková . Stejně jako v prvním případě můžeme předpokládat, že tomu tak je . Píšeme
naij≠0{\ displaystyle a_ {ij} \ not = 0}na12{\ displaystyle a_ {12}}q(X)=2na12X1X2+2X1(∑i=3nena1iXi)+2X2(∑i=3nena2iXi)+∑3≤i,j≤nenaijXiXj{\ displaystyle q (x) = 2a_ {12} x_ {1} x_ {2} + 2x_ {1} \ vlevo (\ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {1i} x_ {i} \ doprava ) + 2x_ {2} \ left (\ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {2i} x_ {i} \ right) + \ sum _ {3 \ leq i, j \ leq n} a_ {ij } x_ {i} x_ {j}}.
Součet podmínek v nebo je také zapsán
X1{\ displaystyle x_ {1}}X2{\ displaystyle x_ {2}}2(na12X1+∑i=3nena2iXi)(X2+1na12∑i=3nena1iXi)-2na12(∑i=3nena2iXi)(∑i=3nena1iXi){\ displaystyle 2 \ left (a_ {12} x_ {1} + \ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {2i} x_ {i} \ right) \ left (x_ {2} + {\ frac {1} {a_ {12}}} \ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {1i} x_ {i} \ doprava) - {\ frac {2} {a_ {12}}} \ vlevo ( \ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {2i} x_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {1i} x_ {i} \ right)}.
Vidíme, že to má formu
q(X){\ displaystyle q (x)}2l1(X)l2(X)+q′(X){\ displaystyle 2l_ {1} (x) l_ {2} (x) + q ^ {\ prime} (x)},
kde záleží jen na . Na závěr použijeme indukční hypotézu a uvedeme to . Nezávislost forem se ukazuje jako v prvním případě.
q′{\ displaystyle q ^ {\ prime}}X3,...Xne{\ displaystyle x_ {3}, \ ldots x_ {n}}q′{\ displaystyle q ^ {\ prime}}4l1l2=(l1+l2)2-(l1-l2)2{\ displaystyle 4l_ {1} l_ {2} = (l_ {1} + l_ {2}) ^ {2} - (l_ {1} -l_ {2}) ^ {2}}li{\ displaystyle l_ {i}}
Příklady
- Jeq(X)=X12+X22+X32-2X1X2-2X2X3-2X3X1.{\ displaystyle q (x) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -2x_ {1} x_ {2} -2x_ {2} x_ { 3} -2x_ {3} x_ {1}.}Takže .q(X)=(X1-X2-X3)2-4X2X3=(X1-X2-X3)2-(X2+X3)2+(X2-X3)2{\ displaystyle \ quad q (x) = (x_ {1} -x_ {2} -x_ {3}) ^ {2} -4x_ {2} x_ {3} = (x_ {1} -x_ {2} -x_ {3}) ^ {2} - (x_ {2} + x_ {3}) ^ {2} + (x_ {2} -x_ {3}) ^ {2}}
- Další příklad :q(X)=X1X2+X2X3+X1X3.{\ displaystyle q (x) = x_ {1} x_ {2} + x_ {2} x_ {3} + x_ {1} x_ {3}.} Pak mámeq(X)=(X1+X3)(X2+X3)-X32=14(X1+X2+2X3)2-14(X1-X2)2-X32.{\ displaystyle q (x) = (x_ {1} + x_ {3}) (x_ {2} + x_ {3}) - x_ {3} ^ {2} = {\ frac {1} {4}} (x_ {1} + x_ {2} + 2x_ {3}) ^ {2} - {\ frac {1} {4}} (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} -x_ {3 } ^ {2}.}
Poznámky
- Tyto výpočty jsou platné pro jakékoli pole s charakteristikou jinou než 2.
- Počet čtverců se rovná hodnosti studované kvadratické formy.
- Pokud jsou koeficienty skutečné, počet kladných čtverců, stejně jako záporných čtverců, nezávisí na použité metodě ( Sylvestrov zákon setrvačnosti ).
Odkaz
Marcel Berger , Geometry [ detail vydání ], let. 2, Nathan, 1990, 13.4.8
Související článek
Shodné matice
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">